10.3.1 頻率的穩(wěn)定性
對于樣本點(diǎn)等可能的實(shí)驗(yàn)，我們可以用古典概型公式計(jì)算有關(guān)事件的概率.但在現(xiàn)實(shí)中，很多試驗(yàn)的樣本點(diǎn)往往是等可能的或者是否等可能不容易判斷.例如，拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，或者投擲一枚圖釘，此時(shí)無法通過古典概型公式計(jì)算有關(guān)事件的概率，我們需要尋求新的求概率的方法.
我們知道，事件的概率越大，意味著事件發(fā)生的可能性越大，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越大；事件的概率越小，則事件發(fā)生的可能性越小，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越小.在初中，我們利用頻率與概率的這種關(guān)系，通過大量重復(fù)試驗(yàn)，用頻率去估計(jì)概率.那么，在重復(fù)試驗(yàn)中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關(guān)系呢？
用折線圖表示頻率的波動情況.
例1.新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù).通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.(1)分別估計(jì)我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率，精確到0.001)；(2)根據(jù)估計(jì)結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷可靠嗎？
解：(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計(jì)有較高的可信度.因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論.
解：當(dāng)游戲玩了10次時(shí)，甲、乙獲勝的頻率都是0.5；當(dāng)游戲玩了1000次時(shí)，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7.根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.相對10次游戲，1000次游戲時(shí)的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時(shí)的頻率離概率更近.而游戲玩到1000次時(shí)，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認(rèn)為游戲是不公平的.因此，應(yīng)該支持甲對游戲公平性的判斷.
問題3：氣象工作者有時(shí)用概率預(yù)報(bào)天氣，如某氣象臺預(yù)報(bào)“明天的降水概率是90%.如果您明天要出門，最好攜帶雨具”.如果第二天沒有下雨，我們或許會抱怨氣象臺預(yù)報(bào)得不準(zhǔn)確.那么如何理解“降水概率是90%”？又該如何評價(jià)預(yù)報(bào)的結(jié)果是否準(zhǔn)確呢？
降水的概率是氣象專家根據(jù)氣象條件和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)分析推斷得到的.對“降水的概率為90%”比較合理的解釋是：大量觀察發(fā)現(xiàn)，在類似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨. 只有根據(jù)氣象預(yù)報(bào)的長期記錄，才能評價(jià)預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性.如果在類似氣象條件下預(yù)報(bào)要下雨的那些天(天數(shù)較多)里，大約有90%確實(shí)要下雨了，那么應(yīng)該認(rèn)為預(yù)報(bào)是準(zhǔn)確的；如果真實(shí)下雨的天數(shù)所占的比例與90%差別較大，那么就可以認(rèn)為預(yù)報(bào)不太準(zhǔn)確.
10.3.2 隨機(jī)模擬
畫出頻率折線圖，從圖中可以看出：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于概率0.4.
我們稱利用隨機(jī)模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法.
解：方法1 根據(jù)假設(shè)，每個(gè)人的出生月份在12個(gè)月中是等可能的，而且相互之間沒有影響，所以觀察6個(gè)人的出生月份可以看成可重復(fù)試驗(yàn). 因此，可以構(gòu)建如下有放回摸球試驗(yàn)進(jìn)行模擬：在袋子中裝入編號為1,2，…，12的12個(gè)球，這些球除編號外沒有什么差別.有放回地隨機(jī)從袋中摸6次球，得到6個(gè)數(shù)代表6個(gè)人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗(yàn).如果這6個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)相同，表示事件發(fā)生了.重復(fù)以上模擬試驗(yàn)20次，就可以統(tǒng)計(jì)出事件發(fā)生的頻率.
例4.在一次奧運(yùn)會男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)甲獲得冠軍的概率.
答案：D.解：①錯，次品率是大量產(chǎn)品的估計(jì)值，并不是針對200件產(chǎn)品來說的.②③混淆了頻率與概率的區(qū)別.④正確.
例2.某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣的方法，對投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：(1)若每輛車的投保金額為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；
例2.某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣的方法，對投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.
變2.某公司在過去幾年內(nèi)使用了某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：(1)將各組的頻率填入表中；(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率.
例3.有兩個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子都裝有4個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.(1)甲從其中一個(gè)箱子中摸出一個(gè)球，乙從另一個(gè)箱子中摸出一個(gè)球，誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；
例3.有兩個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子都裝有4個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.(2)摸球方法與(1)相同，若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同甲獲勝，所標(biāo)數(shù)字不相同則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？請說明理由.
方法技巧： 游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法 (1)標(biāo)準(zhǔn)：游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同.若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平.(2)判斷方法：具體判斷時(shí)，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較.
變3.轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.游戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝.猜數(shù)方案從以下兩種方案中選一種：A.猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B.猜“是4的整數(shù)倍”或“不是4的整數(shù)倍”.請回答下列問題：(1)為了盡可能獲勝，乙應(yīng)怎么選？(2)為了保證游戲的公平性，乙應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

10.3 頻率與概率

版本： 人教A版 (2019)

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