本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第十章《概率》，以下是本章的課時(shí)安排：
在初中學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生能利用頻率與概率的關(guān)系，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，用頻率去估計(jì)概率，這節(jié)課繼續(xù)探究在重復(fù)試驗(yàn)中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關(guān)系。
1、理解頻率的穩(wěn)定性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2、理解頻率與概率的關(guān)系，掌握用頻率估計(jì)概率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
1.重點(diǎn)：用頻率估計(jì)概率
2.難點(diǎn)：頻率與概率的關(guān)系以及用頻率估計(jì)概率
（一）新知導(dǎo)入
小剛拋擲一枚硬幣100次，出現(xiàn)正面朝上48次.
【問(wèn)題】 (1)你能計(jì)算出正面朝上的頻率嗎？
(2)拋擲一枚硬幣一次出現(xiàn)正面朝上的概率是多少？
【提示】 (1)正面朝上的頻率為0.48.
(2)正面朝上的概率為0.5.
（二）頻率的穩(wěn)定性
知識(shí)點(diǎn)一 頻率的穩(wěn)定性 頻率是概率的估計(jì)值，概率是頻率的穩(wěn)定值
大量的試驗(yàn)證明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱(chēng)頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).
頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系
【思考1】頻率和概率可以相等嗎？
【提示】 可以相等.但因?yàn)槊看卧囼?yàn)的頻率是多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的.
【思考2】隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生與概率的大小有什么關(guān)系？
【提示】 隨機(jī)事件的概率表明了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定發(fā)生，概率小的事件一定不發(fā)生.
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)頻率就是概率．( )
(2)隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值．( )
（3）小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然要發(fā)生的事件.( )
（4）某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的.( )
【答案】(1)× (2)√ （3）× （4）×
【做一做】某人將一枚硬幣連擲了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”這一事件，則A出現(xiàn)的( )
A．概率為eq \f(3,5) B．頻率為eq \f(3,5) C．頻率為6 D．概率為6
【解析】事件A出現(xiàn)的頻數(shù)是6，頻率＝eq \f(頻數(shù),試驗(yàn)次數(shù))，故頻率是eq \f(6,10).
【答案】B
（三）典型例題
1.頻率與概率的關(guān)系
例1.下列說(shuō)法中正確的有( )
①任何事件的概率總是在[0,1]之間；
②概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定；
③頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)；
④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．
A．①④B．②③ C．①③④ D．①②③④
【解析】頻率是不能脫離試驗(yàn)次數(shù)的實(shí)驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依賴(lài)于試驗(yàn)次數(shù)的理論值，故②③不正確．①④顯然正確．
【答案】A
【類(lèi)題通法】頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率．
【鞏固練習(xí)1】給出下列四個(gè)命題：
①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；
②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是eq \f(51,100)；
③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率；
④拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是eq \f(9,50).
其中正確命題為_(kāi)_______(填序號(hào))．
【解析】①錯(cuò)，次品率是大量產(chǎn)品的估計(jì)值，并不是針對(duì)200件產(chǎn)品來(lái)說(shuō)的，所以任取200件，不一定有10件是次品．②③混淆了頻率與概率的區(qū)別．④正確．
【答案】④
2.用頻率估計(jì)概率
例2.下表是某品牌乒乓球的質(zhì)量檢查統(tǒng)計(jì)表：
(1)計(jì)算各組優(yōu)等品頻率，填入上表：
(2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計(jì)事件“抽取的是優(yōu)等品”的概率.
【解析】(1)根據(jù)優(yōu)等品頻率＝eq \f(優(yōu)等品數(shù),抽取球數(shù))，可得優(yōu)等品的頻率從左到右依次為：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
(2)由(1)可知乒乓球抽取的優(yōu)等品頻率逐漸穩(wěn)定在0.95附近，故估計(jì)優(yōu)等品的概率是0.95.
【類(lèi)題通法】隨機(jī)事件概率的理解及求法
(1)理解：概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。?dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率越來(lái)越趨近于概率．當(dāng)次數(shù)足夠多時(shí)，所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率．
(2)求法：通過(guò)公式fn(A)＝eq \f(nA,n)＝eq \f(m,n)計(jì)算出頻率，再由頻率估算概率．
【鞏固練習(xí)2】某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：
(1)填寫(xiě)表中擊中靶心的頻率；
(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？
【解析】(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.9附近，所以這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9.
3.游戲的公平性
例3.某校高二年級(jí)(1)(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉行晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱烈、有趣，策劃整場(chǎng)晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤(pán)游戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目開(kāi)始時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，勝者獲得一件獎(jiǎng)品，負(fù)者表演一個(gè)節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)(如圖所示)，設(shè)計(jì)了一種游戲方案：兩人同時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(shí)(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對(duì)雙方是否公平？為什么？
【解析】該方案是公平的，理由如下：各種情況如表所示：
由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有6種，為奇數(shù)的情況也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，(2)班代表獲勝的概率P2＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2) 即P1＝P2，機(jī)會(huì)是均等的，所以該方案對(duì)雙方是公平的．
【類(lèi)題通法】 游戲規(guī)則公平的判斷標(biāo)準(zhǔn)：
(1)在各類(lèi)游戲中，如果每人獲勝的概率相等，那么游戲就是公平的，這就是說(shuō)是否公平只要看獲勝的概率是否相等.
(2)例如：體育比賽中決定發(fā)球權(quán)的方法應(yīng)該保證比賽雙方先發(fā)球的概率相等，這樣才是公平的；每個(gè)人購(gòu)買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)的概率應(yīng)該是相等的，這樣才是公平的；抽簽決定某項(xiàng)事務(wù)時(shí)，任何一支簽被抽到的概率也是相等的，這樣才是公平的.

【鞏固練習(xí)3】有一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.游戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝.猜數(shù)方案從以下三種方案中選一種：
A.猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；
B.猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”；
C.猜“是大于4的數(shù)”或“不是大于4的數(shù)”.
請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜數(shù)方案，并且怎樣猜？為什么？
(2)為了保證游戲的公平性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？為什么？
(3)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種其他的猜數(shù)方案，并保證游戲的公平性.
【解析】(1)A方案中，“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率都為0.5；B方案中，“是4的整數(shù)倍的數(shù)”的概率為0.2，“不是4的整數(shù)倍的數(shù)”的概率為0.8；C方案中，“是大于4的數(shù)”的概率為0.6，“不是大于4的數(shù)”的概率為0.4.故選擇B方案，猜“不是4的整數(shù)倍的數(shù)”獲勝的概率最大.
(2)為了保證游戲的公平性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A.因?yàn)榉桨窤猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該游戲是公平的.
(3)可以設(shè)計(jì)為：猜“是大于5的數(shù)”或“不是大于5的數(shù)”，也可以保證游戲的公平性.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，下列說(shuō)法正確的是( )
A．正面向上的概率為0.48 B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的頻率為0.48 D．反面向上的頻率是0.48
2.設(shè)某廠產(chǎn)品的次品率為2%，估算該廠8 000件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)可能為( )
A.160 B.7 840C.7 998 D.7 800
3.下列說(shuō)法：①頻率反映的是事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映的是事件發(fā)生的可能性大??；②做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的頻率eq \f(m,n)就是事件的概率；③百分率是頻率，但不是概率；④頻率是不能脫離具體的n次的試驗(yàn)值，而概率是確定性的、不依賴(lài)于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.其中正確的說(shuō)法是________(填序號(hào)).
4.玲玲和倩倩下跳棋，為了確定誰(shuí)先走第一步，玲玲決定拿一個(gè)飛鏢射向如圖所示的靶中．若射中區(qū)域所標(biāo)的數(shù)字大于3，則玲玲先走第一步，否則倩倩先走第一步．這個(gè)游戲規(guī)則________(填“公平”或“不公平”)．
【答案】1.C 2.B 3.①④⑤ 4.不公平
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第254頁(yè) 練習(xí) 第1，2,3題
第257頁(yè) 習(xí)題10.3 第1,2,3,4題










第十章 概率
課時(shí)內(nèi)容
10.1 隨機(jī)事件與概率
10.2 事件的相互獨(dú)立性
10.3 頻率與概率
所在位置
教材第226頁(yè)
教材第246頁(yè)
教材第251頁(yè)
新教材內(nèi)容分析
教材首先在認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，利用集合論的知識(shí)，抽象出樣本點(diǎn)、樣本空間；類(lèi)比集合的關(guān)系與運(yùn)算，理解事件的關(guān)系與運(yùn)算；通過(guò)古典概型的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解規(guī)律的意義，掌握建立規(guī)律模型的一般方法。
事件的獨(dú)立性是事件之間的一種重要的關(guān)系，它不同于事件的包含、相等、互斥和對(duì)立關(guān)系，需要用概率來(lái)定義，在實(shí)際問(wèn)題中，可以利用乘法公式，求積事件AB的概率。
頻率的穩(wěn)定性是概率論的基礎(chǔ)，說(shuō)明隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性是客觀存在的，事件發(fā)生的可能性的大小是可以度量的。我們結(jié)合具體的隨機(jī)試驗(yàn)，通過(guò)具體的試驗(yàn)或借助計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)來(lái)認(rèn)識(shí)頻率與概率的關(guān)系。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過(guò)樣本點(diǎn)、樣本空間的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過(guò)事件的關(guān)系與運(yùn)算，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過(guò)古典概型的計(jì)算，提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
通過(guò)相互獨(dú)立事件的判斷，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過(guò)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的計(jì)算，提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
通過(guò)理解頻率與概率的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。
教學(xué)主線
隨機(jī)事件的概率
名稱(chēng)
區(qū)別
聯(lián)系
頻率
本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)之前無(wú)法確定，大多會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變．做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，得到的頻率值也可能會(huì)不同
(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率
(2)在實(shí)際問(wèn)題中，事件的概率通常情況下是未知的，常用頻率估計(jì)概率
概率
是一個(gè)[0，1]中的確定值，不隨試驗(yàn)結(jié)果的改變而改變
抽取球數(shù)
50
100
200
500
1 000
2 000
優(yōu)等品數(shù)
45
92
194
470
954
1 902
優(yōu)等品頻率
射擊次數(shù)n
10
20
50
100
200
500
擊中靶心次數(shù)m
8
19
44
92
178
455
擊中靶心的頻率eq \f(m,n)
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

10.3 頻率與概率

版本： 人教A版 (2019)

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