教學(xué)基本信息
課題
平面與平面垂直性質(zhì)及應(yīng)用
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段： 高一
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊 出版社：人民教育出版社
出版日期： 2019年6 月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點
本節(jié)課主要掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理并能夠初步運用性質(zhì)定理解決問題；對“垂直”關(guān)系進(jìn)行梳理，理解直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)之間的關(guān)系，體會“降維”思想在立體幾何中的應(yīng)用.教學(xué)過程中重點關(guān)注學(xué)生直觀想象、邏輯推理能力的發(fā)展.
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動
設(shè)置意圖
引入
前面我們研究了平面與平面垂直的判定，下面我們來研究平面與平面垂直的性質(zhì).也就是在兩個平面互相垂直的條件下，能推出哪些結(jié)論.
如果兩個平面互相垂直，根據(jù)以往的研究經(jīng)驗，我們從哪兒入手開始研究呢？我們可以先研究一個平面內(nèi)的直線與另一個平面具有怎樣的位置關(guān)系.
平面與平面垂直的判定與性質(zhì)是我們研究的兩個方面，性質(zhì)的出發(fā)點是已知兩個平面垂直，那么按照立體幾何中“降維”的思想，很自然想到可以從“直線與平面”的位置關(guān)系入手進(jìn)行研究.
新課
【探究】如圖，設(shè).則內(nèi)任意一條直線與是什么關(guān)系？相應(yīng)地，與有什么位置關(guān)系？為什么？
顯然，與平行或相交.
（1）當(dāng)時，；
（2）當(dāng)與相交時，與也相交.
平行關(guān)系我們在前面已經(jīng)研究過了，下面我們來研究特殊的相交情況，即的情況.
【思考】當(dāng)時，與是什么位置關(guān)系？
設(shè)與的交點為，過點在內(nèi)作直線，則直線所成的角就是二面角的平面角.
由，則.（平面與平面垂直的定義）
又因為，,則有.
由此，我們得到平面與平面垂直的性質(zhì)定理：
定理 兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.
用符號語言表示如下：
已知平面，直線.若，且，則有
用圖形表示如下圖：
這個定理說明，由平面與平面垂直可以得到直線與平面垂直.
這個定理可以用于解決現(xiàn)實生活中的問題.例如，裝修房子時，要在墻壁上畫出與地面垂直的直線，只需在墻面上畫出地面與墻面交線的垂線即可.
【探究2】設(shè)，點在平面內(nèi)，過點作平面的垂線，直線與平面具有什么位置關(guān)系？
設(shè)，過點在平面內(nèi)作直線，根據(jù)平面與平面的性質(zhì)定理知，.
因為過一點有且只有一條直線與平面垂直，所以直線與直線重合，因此有.

此結(jié)論說明，若兩個平面垂直，則過一個平面內(nèi)的點且垂直于另一個平面的直線必在此平面內(nèi).（垂直于兩個平面的交線）
對于兩個平面互相垂直的性質(zhì)，我們前面探究了一個平面內(nèi)的直線與另一個平面的特殊位置關(guān)系.如果直線不在平面內(nèi)，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結(jié)論？希望同學(xué)們能在課下進(jìn)行探究.
本探究問題的方法包含了兩個層次：
1.將面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系；
2.在一個平面內(nèi)研究線線關(guān)系，再從線線關(guān)系出發(fā)研究線面關(guān)系.
這樣做更加易于學(xué)生接受.
進(jìn)一步熟悉平面與平面垂直的概念以及線面垂直的判定定理.
實現(xiàn)定理三種語言之間的統(tǒng)一，便于學(xué)生直觀理解.
此結(jié)論一定程度上可以看做是平面與平面垂直性質(zhì)定理的逆定理，它也實現(xiàn)了從“面面關(guān)系”到“線線關(guān)系”的“降維”過程.
例題
例題 如圖，已知，直線
判斷與的關(guān)系.
例題 已知,,
求證：.
例題 如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求證：BC⊥平面PAB．
例題 如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．
求證：平面VBC⊥平面VAC．
例題 如圖，三棱柱ABC-A'B'C'的側(cè)棱與底面垂直，AC=9， BC=12，AB=15，AA'=12 ，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥B'C；
（2）求證：AC'∥平面CDB'．
例題 如圖，已知平面α⊥平面β，直線a⊥β，a α，判斷 a與α的位置關(guān)系．
例題 已知平面α⊥平面β，平面γ∥平面α．
求證： γ⊥β．
例題 如圖，已知平面滿足，求證：.
課堂練習(xí) 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD．
求證：AD⊥AC．
課堂練習(xí) 如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PDC是正三角形，且側(cè)面PDC⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（1）求證：平面BDE⊥平面PBC；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．
課堂練習(xí) 如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，E為DC的中點．以AE為折痕將△ADE折起，使D到達(dá)點P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE．
（1）求證：BE⊥PA；
（2）對于線段PB上任意一點M，是否都有PA⊥EM成立？
請證明你的結(jié)論．
課堂練習(xí) 如圖所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求證：CF⊥平面BDE．
進(jìn)一步熟悉平面與平面垂直的性質(zhì)定理，體會直線、平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；在證明過程中要厘清證明的思路，強調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗鸵?guī)范的書寫，進(jìn)一步提高學(xué)生的邏輯推理能力.
前面采用是“在一個平面內(nèi)找一條直線，研究它與另一個平面的特殊位置關(guān)系”的方法，此處幾個例題是從另一個角度進(jìn)行研究：即如果直線不在平面內(nèi)或者直線變成平面的情況.從而深化對平面與平面垂直性質(zhì)定理的理解.
總結(jié)
至此，直線、平面間的垂直關(guān)系我們就討論完了.由我們的討論知道：
1.由直線與直線垂直可以判定直線與平面垂直；由直線與平面的垂直的定義可以得到直線與直線垂直；
2.由直線與平面垂直可以判定平面與平面垂直；而由平面與平面垂直的性質(zhì)可以得到直線與平面垂直.
這進(jìn)一步揭示了直線、平面之間的位置關(guān)系可以互相轉(zhuǎn)化.
性質(zhì)
判定
判定
直線與直
線垂直
直線與平面垂直
平面與平面垂直
將直線、平面之間的垂直關(guān)系進(jìn)行總結(jié)，進(jìn)一步體會直線、平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.
作業(yè)
1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.
（1）如果，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面. （ ）
（2）如果，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面. （ ）
（3）如果平面不垂直于平面，那么平面垂直于內(nèi)一定不存在直線平面. （ ）
2.若，且，則下列命題中正確的個數(shù)是（ ）
（1）平面內(nèi)的直線必垂直于平面內(nèi)的任意一條直線.
（2）平面內(nèi)的已知直線必垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.
（3）平面內(nèi)的任一條直線必垂直于平面.
（4）過平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面.
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
3.已知是兩個不同的平面，為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（ ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
4.已知平面，直線，且，，，判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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