教學(xué)基本信息
課題
平面與平面垂直的概念及判定
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段： 高一
年級(jí)
高一
教材
書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊 出版社：人民教育出版社
出版日期： 2019年6月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
本節(jié)課在類比直線與直線垂直、直線與平面垂直定義的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“二面角”、“二面角的平面角”、“直二面角”的定義，進(jìn)而理解平面與平面垂直的概念，掌握平面與平面垂直的判定定理及其簡單應(yīng)用.教學(xué)過程中重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生直觀想象、邏輯推理能力的發(fā)展.
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
引入
前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的判定及性質(zhì)，下面我們來研究平面與平面的垂直.像研究直線與平面垂直一樣，我們首先應(yīng)給出平面與平面垂直的定義.那么，該如何定義呢？
我們不妨來回顧一下直線與平面、直線與直線垂直的定義過程.
1.在定義直線與平面垂直時(shí)，我們利用了直線與直線垂直.所以，直線與直線垂直是研究直線、平面垂直問題的基礎(chǔ)；
2.在平面幾何中，我們先定義了角的概念，利用角刻畫兩條相交直線的位置關(guān)系，進(jìn)而研究直線與直線垂直這種特殊情況.
類似地，我們需要先引進(jìn)二面角的概念，用以刻畫兩個(gè)相交平面的位置關(guān)系，進(jìn)而研究兩個(gè)平面互相垂直.
從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的直線與平面垂直、直線與直線垂直的相關(guān)知識(shí)與研究思路，類比地研究平面與平面的垂直.
新課
一、二面角的概念
如圖，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.
棱為，面分別為的二面角記作二面角.
有時(shí)為了方便，也可以在內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)，將二面角記作二面角.如果棱記作，那么這個(gè)二面角記作二面角或二面角.
二、二面角的平面角的概念
【思考】如圖，在日常生活中，我們常說“把門開大一些”，是指哪個(gè)角大一些？受此啟發(fā)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫二面角的大小呢？
如圖，在二面角的棱上任取一點(diǎn),以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角多少度，就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
由定義可知，二面角的平面角的范圍是：.
三、平面與平面垂直的定義
【觀察】房間中相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角？它們的平面角的度數(shù)是多少？
房間中的墻面所在平面與地面所在平面相交，它們所成的二面角是直二面角，因此我們常說墻面直立于地面上.
一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面與平面垂直，記作.
畫兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫成垂直.
在明確了兩個(gè)平面互相垂直的定義的基礎(chǔ)上，我們研究兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì).先研究平面與平面垂直的判定.
四、平面與平面垂直的判定
【觀察】如圖，建筑工人在砌墻時(shí)，常用鉛垂線來檢測所砌的墻面與地面是否垂直.如果系有鉛錘的細(xì)線緊貼墻面，工人師傅就認(rèn)為墻面垂直于地面，否則他認(rèn)為墻面不垂直于地面.這種方法說明了什么道理？
這種方法告訴我們，如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻面與地面垂直.類似地，在長方體中，平面經(jīng)過平面的一條垂線,此時(shí)，平面垂直于平面.
一般地，我們有下面判定兩個(gè)平面互相垂直的定理：
定理 如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.
用符號(hào)語言表示如下：
已知平面，直線.若，則.
用圖形表示為如下圖
這個(gè)定理說明，可以由直線與平面垂直證明平面與平面垂直.
直接給出二面角的概念和表示方法，其中“半平面”的概念學(xué)生可能會(huì)比較陌生：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.可以提前將此概念給學(xué)生，另外可以用實(shí)物（一本書即可）幫助學(xué)生理解,同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)二面角是一個(gè)圖象而并非角.
從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)讓學(xué)生體會(huì)二面角之間是有差異的，應(yīng)該用角度來刻畫它們之間的差異，但二面角是“圖形”，需要另外定義角——二面角的平面角來刻畫.
給出二面角的平面角之后，要讓學(xué)生體會(huì)的大小與點(diǎn)在上的位置無關(guān)，因?yàn)槲覀冇腥缦露ɡ恚喝绻臻g中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，此處易證是相等的情況.
在定義平面與平面垂直之前，先讓學(xué)生觀察身邊存在的面面垂直，便于學(xué)生理解和接受.
先讓學(xué)生從實(shí)際生活中感知平面與平面垂直的判定方法，再通過觀察立方體中的面面垂直來驗(yàn)證，為后面定理的理解做好了鋪墊.
定理內(nèi)容實(shí)際上就是將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“降維”思想的應(yīng)用
例題
例題 如圖所示，在正方體中，
求證：平面平面.
例題 是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的任意一點(diǎn).
求證：平面平面.
例題 如圖所示，在正方體中，
求證：平面平面.
例題 如圖所示，四邊形ABCD為菱形，PC⊥平面ABCD，E為PA的中點(diǎn)．
求證：平面BDE⊥平面ABCD．
例題 如圖所示，在四面體S-ABC中，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°，且SA=SB=SC．
求證：平面ABC⊥平面SBC．
課堂練習(xí) 如圖，在三棱錐V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC= ∠ABC=90°，判斷平面VAB與平面VBC的位置關(guān)系，并說明理由．
課堂練習(xí) 如圖，在三棱錐V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC= ∠ABC=90°，判斷平面VAB與平面VBC的位置關(guān)系．
課堂練習(xí) 如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值．
課堂練習(xí) 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．平面AEF與平面PBC是否互相垂直？如果垂直，請(qǐng)證明，如果不垂直，請(qǐng)說明理由．
課堂練習(xí) 如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M為EA的中點(diǎn)．
求證：（1）DE=DA；（2）平面BDM⊥平面ECA．
進(jìn)一步鞏固平面與平面垂直的判定，同時(shí)也可以鞏固直線與平面垂直的判定，在證明過程中進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.
鞏固所學(xué)知識(shí)以及例題中提到的方法.
總結(jié)
本節(jié)課我們類比研究直線與直線垂直的方法，首先給出了二面角、二面角的平面角的定義，進(jìn)而定義了平面與平面垂直，給出了判定平面與平面垂直的定理，將平面與平面的垂直問題轉(zhuǎn)化為直線與平面的垂直.
回顧本節(jié)課的研究過程，進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué).
作業(yè)
1．如圖，檢查工件的相鄰兩個(gè)（平）面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺邊和這個(gè)面是否密合就可以了．這是為什么？
2．已知直線與平面，能使得充分條件是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．如圖，,,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？
4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，DC⊥AD．
求證：平面PDC⊥平面PAD．
熟悉平面與平面垂直的判定定理以及證明平面與平面垂直的一般方法.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊

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