8．6　空間直線、平面的垂直8.6.3　平面與平面垂直第2課時　平面與平面垂直的性質
?1．借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面垂直的性質定理，并加以證明．2．能用平面與平面垂直的性質定理解決一些簡單的空間線面位置關系問題．?在發(fā)現、推導和應用平面與平面垂直的性質定理的過程中，發(fā)展學生的數學抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).
[提醒]　對面面垂直的性質定理的理解(1)定理成立的條件有三個：①兩個平面互相垂直；②直線在其中一個平面內；③直線與兩平面的交線垂直．(2)定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．(3)已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直．
[拓展]　平面與平面垂直的其他性質與結論(1)如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.(2)如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面．即α⊥β，γ∥β?γ⊥α.(3)如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內．即α⊥β，b⊥β?b∥α或b?α.(4)如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ.(5)三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直．即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n?l⊥m，m⊥n，l⊥n.
練一練：平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關系是_______.[解析]　因為α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
(多選題)已知兩個平面垂直，下列命題中不正確的是( 　　　 )A．一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線B．一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線C．一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面D．過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面
[解析]　一個平面內只有垂直交線的線和另一個平面垂直，才和另一個平面內任意一條直線垂直，所以A，C錯誤；因為一個平面內有無數條平行直線垂直于該平面，都與該直線是垂直的，所以B正確；過平面內任意一點作交線的垂線，該垂線在平面內時，則此垂線必垂直于另一個平面，若點在交線上時，作交線的垂線，則垂線不一定在平面內，此垂線不一定垂直于另一個平面．[歸納提升]　對于D，很容易認為是正確的，其實與面面垂直的性質定理是不同的，“兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直”與“兩個平面垂直，過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線與另一個平面垂直”是不同的，關鍵是過平面內一點作的直線不一定在平面內．
對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是( 　　)A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β[解析]　對于C選項，在β內取兩條相交直線a與b，因為n⊥β，所以n⊥a，n⊥b，又m∥n，所以m⊥a，m⊥b，又a與b相交，所以m⊥β，又m?α，所以α⊥β，所以C正確.
[歸納提升]　若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質定理將其轉化為線面垂直、線線垂直．應用面面垂直的性質定理，注意三點：①兩個平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個平面內；③直線必須垂直于它們的交線．
如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，過A，D，N三點的平面交PC于M，E為AD的中點．求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.
又∵E為AD的中點，∴MN∥DE且MN＝DE.∴四邊形DENM為平行四邊形．∴EN∥DM，且DM?平面PDC，EN?平面PDC，∴EN∥平面PDC.
(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵側面PAD是正三角形，且E為中點，∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB?平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.
[歸納提升]　垂直關系的轉化在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：
如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點，且平面PAC⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、PC的中點．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)求證：BD⊥PC.
證法三：取CD中點I，連接EI，FI，由于E，F，I均為中點，所以FI∥PD，EI∥AD，FI∩EI＝I，FI，EI?平面FIE，PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，平面EFI∥平面PAD，EF?平面FIE，所以EF∥平面PAD.
(2)因為正方形ABCD中，BD⊥AC，又平面ABCD⊥平面PAC;平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，因為PC?平面PAC，所以BD⊥PC.
垂直的綜合應用 　如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中點，側面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求證：AD⊥CC1；(2)過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于點M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥側面BB1C1C，則AM＝MA1嗎？請敘述你的判斷理由．
[分析]　(1)根據面面垂直的性質定理易證AD⊥CC1；(2)先證C1N⊥側面BB1C1C，根據面面垂直的判定定理即可得證；(3)先證M，E，D，A四點共面，再證四邊形AMED是平行四邊形，進而即可證明．[解析]　(1)因為AB＝AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC.因為底面ABC⊥側面BB1C1C，底面ABC∩側面BB1C1C＝BC，所以AD⊥側面BB1C1C.又CC1?平面BB1C1C，所以AD⊥CC1.
(2)證明：延長B1A1與BM交于點N，連接C1N.因為AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.因為A1C1＝A1N＝A1B，所以C1N⊥B1C1，所以C1N⊥側面BB1C1C.所以截面MBC1⊥側面BB1C1C.
(3)結論正確．證明如下：過M作ME ⊥BC1于點E，連接DE.因為截面MBC1⊥側面BB1C1C，所以ME⊥側面BB1C1C，又AD⊥側面BB1C1C，所以ME∥AD，所以M，E，D，A四點共面．因為MA∥側面BB1C1C，所以AM∥DE.所以四邊形AMED是平行四邊形，又AM∥CC1，所以DE∥CC1.
如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，M，N分別為線段PC，AD的中點．(1)求證：AD⊥平面PBN；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P－NBM的體積．
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則( 　　)A．α∥γB．α⊥γC．α與γ相交但不垂直D．以上都有可能
2．(2022·長春高一檢測)已知直線a和平面α、β有如下關系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，則下列命題為真的是( 　　)A．①③?④B．①④?③C．③④?①D．②③?④[解析]　由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a?α，故A錯誤；由α⊥β，a∥α，可得a?β或a∥β或a與β相交，故B錯誤；由a∥α，過a作平面γ與α相交，交線為b，則a∥b，因為a⊥β，所以b⊥β，而b?α，可得α⊥β，故C正確；由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D錯誤．
3．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則( 　　)A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n[解析]　因為α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.
4．如圖所示，三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，則△ABC是_______三角形．[解析]　設P在平面ABC上的射影為O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中點，∴△ABC是直角三角形．
5．如圖，在直二面角α－AB－β中，AC和BD分別在平面α和β上，它們都垂直于AB，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD＝________.

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8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

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