8.6.3 平面與平面垂直第2課時 平面與平面垂直的性質(zhì)
1.如果兩個平面互相垂直,那么一個平面內(nèi)的直線是否一定垂直于另一個平面呢?2.如果兩個平面互相垂直,一個平面內(nèi)滿足什么條件的直線才垂直于另一個平面呢?
1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理問題1 如圖,設α⊥β,α∩β=a.則β內(nèi)任意一條直線b與a有什么位置關系?相應地,b與α有什么位置關系?為什么?b與a平行或相交.當b∥a時,b∥α;當b與a相交時,b與α也相交.平面β內(nèi)什么樣的直線與平面α垂直?在平面與平面垂直的條件下,在其中一個平面作垂直于交線的直線,則該直線垂直于另一個平面.
平面與平面垂直的性質(zhì)定理:兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直.圖形語言:符號語言:若α⊥β,α∩β=a,b?β,b⊥a,則b⊥α.證明:在α內(nèi)過點A作c⊥a,因為α⊥β,所以二面角α-a-β為直二面角,所以b⊥c.又因為a⊥b,所以b⊥α.
問題2 設平面α⊥平面β,點P在平面α內(nèi),過點P作平面β的垂線a,直線a與平面α具有什么位置關系?a在平面α內(nèi).證明：如圖,設α∩β=c,過點P在平面α內(nèi)作直線b⊥c,根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理,b⊥β.因為過一點有且只有一條直線與平面β垂直,所以直線a與直線b重合,因此a?α.
在立體幾何中,我們常需過平面外一個點向平面作垂線,這個問題的難點在于確定垂足的位置,問題2能給你什么樣的啟發(fā)?問題2給出了這個難題的一個解決方案——欲確定平面α外一點P在α內(nèi)射影的位置,可尋找或構造一個過點P且與α垂直的平面β,則根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理,只需過點P向平面α與β的交線作垂線即可.
比如,如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,BC1⊥AC,則CC1上的點P在平面ABC1上的射影H位于何處?P在平面ABC1上的射影H位于直線AC1上.
2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應用
問題3 我們學習了線線垂直、線面垂直、面面垂直的一些判定和性質(zhì),這些判定和性質(zhì)是如何實現(xiàn)線線、線面、面面垂直關系之間轉(zhuǎn)化的?
1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理 兩個平面互相垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直.2.線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的聯(lián)系.

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高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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