8．6　空間直線、平面的垂直8．6.2　直線與平面垂直第2課時(shí)　直線與平面垂直的性質(zhì)
?1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明．2．會(huì)應(yīng)用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證明一些空間的簡(jiǎn)單線面關(guān)系．?在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用直線與平面垂直的性質(zhì)定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)．
直線與平面垂直的性質(zhì)定理
練一練：1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是( 　　)A．b∥αB．b?αC．b⊥αD．b與α相交[解析]　由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.故選C.
2．如圖，已知AF⊥平面ABCD，平面DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝_____.[解析]　∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.∵AF＝DE，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴EF＝AD＝6.
1．直線與平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上___________到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．2．兩個(gè)平行平面間的距離如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都_______，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．
想一想：1．l∥平面α，A∈l，B∈l，則A，B到平面α的距離有什么關(guān)系？提示：相等．2．在棱柱、棱臺(tái)的體積公式中，它們的高的本質(zhì)是什么？提示：它們的高的本質(zhì)就是它們的上、下底面間的距離．
2．線段AB在平面α的同側(cè)，點(diǎn)A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到α的距離為_(kāi)____.[解析]　 如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，分別過(guò)A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4.
已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個(gè)不同平面，給出下列命題：
其中正確命題的序號(hào)是( 　　)A．②③B．③④C．①②D．①②③④[解析]?、僦衝，α可能平行或n在平面α內(nèi)；②③正確；④兩直線m，n平行或異面，故選A.
[歸納提升]　判定兩條直線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)．(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．
已知l，m，n是三條不同的直線，α是一平面．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為( 　　)①若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n；③若l∥α，l⊥m，則m⊥α.A．1B．2C．3D．0[解析]　對(duì)于①，因?yàn)閘∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正確；對(duì)于②，因?yàn)閙⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正確；對(duì)于③，因?yàn)閘∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m與α斜交，即③錯(cuò)誤.
如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，∠PDA＝45°，M∈AB，N∈PC，且MN⊥AB，MN⊥CP，E為PD中點(diǎn)．求證：AE∥MN.
[證明]　∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰三角形．∵E為中點(diǎn)，∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AD⊥CD，且PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD，∴CD⊥AE.又AE⊥PD，且CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD.又MN⊥AB，且AB∥CD，所以MN⊥CD，又∵M(jìn)N⊥CP，且CP∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.∵AE⊥平面PCD，∴AE∥MN.
[歸納提升]　(1)若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直．(2)在證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．
如圖，正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.
[證明]　如圖所示，連接AB1，B1C，BD.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1.又BD1?平面BDD1，所以AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因?yàn)镋F⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.
[分析]　(1)根據(jù)AC2＋BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四邊形ACNM為正方形，進(jìn)而即可求證；(2)利用等體積法的思想求點(diǎn)到平面的距離．
[歸納提升]　空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點(diǎn)到平面的距離．(2)利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點(diǎn)條件，將一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，借助中點(diǎn)(等分點(diǎn))，轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面的距離．(3)通過(guò)換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展(分割)，以方便求底面積和高．
如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.(1)證明：BC1∥平面D1AC；(2)求直線BC1到平面D1AC的距離．[解析]　(1)證明：因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，故四邊形ABC1D1為平行四邊形，故BC1∥AD1，顯然BC1?面D1AC，于是直線BC1∥平面D1AC.
如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.
[證明]　因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB⊥BC.因?yàn)镾A∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因?yàn)锳E?平面SAB，所以BC⊥AE.因?yàn)镾C⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因?yàn)锽C∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
[歸納提升]　線線、線面垂直問(wèn)題的解題策略(1)證明線線垂直，一般通過(guò)證明一條直線垂直于經(jīng)過(guò)另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過(guò)哪條直線的平面．(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題時(shí)一定要體現(xiàn)出來(lái)．
本例中“過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G”改為“過(guò)A作AF⊥SC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥SC交SB于點(diǎn)E”，結(jié)論不變，如何證明？[解析]　因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB⊥BC.因?yàn)镾A∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因?yàn)锳E?平面SAB，所以BC⊥AE.又因?yàn)锳F⊥SC于點(diǎn)F，EF⊥SC交SB于點(diǎn)E，所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.又因?yàn)锽C∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
[錯(cuò)因分析]　解答本題時(shí)只考慮A，B在平面同一側(cè)的情況，沒(méi)有考慮A，B在平面兩側(cè)的情況而出現(xiàn)漏解．[正解]　①當(dāng)點(diǎn)A，B在平面α的同側(cè)時(shí)，由題意知直線AB與平面α所成的角為30°.②當(dāng)點(diǎn)A，B位于平面α的兩側(cè)時(shí)，如右圖，過(guò)點(diǎn)A，B分別向平面α作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB與平面α相交于點(diǎn)C，A1B1為AB在平面α上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1為AB與平面α所成的角．在Rt△BCB1中，BB1＝2.在Rt△ACA1中，AA1＝1.
在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝_______.
1．對(duì)于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l( 　　)A．平行B．相交C．垂直D．互為異面直線[解析]　在平面α內(nèi)必有直線m和直線l所成的角為90°，所以二者垂直．
2．已知△ABC所在的平面為α，l，m是兩條不同的直線，l⊥AB，l⊥AC，m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是( 　　)A．相交B．異面C．平行D．不確定[解析]　∵l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α，且AB∩AC＝A，∴l(xiāng)⊥α，同理可證m⊥α，∴l(xiāng)∥m，∴直線l，m的位置關(guān)系是平行．故選C.
3．已知PA垂直平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是( 　　)A．平行四邊形B．矩形C．正方形D．菱形[解析]　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因?yàn)镻C⊥BD，且PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以AC⊥BD.
4．若構(gòu)成教室墻角的三個(gè)墻面記為α，β，γ，交線記為BA，BC，BD，教室內(nèi)一點(diǎn)P到三墻面α，β，γ的距離分別為3 m，4 m，1 m，則P與墻角B的距離為_(kāi)_____m.
5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，如圖所示，A1A＝AB＝a，G，E，F(xiàn)分別是A1C1，AB，BC的中點(diǎn)，求證：直線EF⊥直線GB.

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8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

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