1. 能用待定系數(shù)法列方程組求二次函數(shù)的解析式；
2. 經(jīng)歷探索由已知條件特點(diǎn)，靈活選擇二次函數(shù)三種形式的過程，正確求出二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)三種形式是可以互相轉(zhuǎn)化的．
【要點(diǎn)梳理】
1.二次函數(shù)解析式常見有以下幾種形式 ：
(1)一般式：(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；
(2)頂點(diǎn)式：(a，h，k為常數(shù)，a≠0)；
(3)交點(diǎn)式：(，為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0)．
2.確定二次函數(shù)解析式常用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟如下
第一步，設(shè)：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根據(jù)題中所給條件，代入二次函數(shù)的解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程(組)；
第三步，解：解此方程或方程組，求待定系數(shù)；
第四步，還原：將求出的待定系數(shù)還原到解析式中．
特別說明：
在設(shè)函數(shù)的解析式時，一定要根據(jù)題中所給條件選擇合適的形式：①當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時，可設(shè)函數(shù)的解析式為；②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值、最小值時．可設(shè)函數(shù)的解析式為；③當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)時，可設(shè)函數(shù)的解析式為．
【典型例題】
類型一、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式——頂點(diǎn)式
1．已知：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)；求此二次函數(shù)的解析式．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出，拋物線的解析式為：，再把代入，求出的值，即可得出二次函數(shù)的解析式．
解：設(shè)拋物線的解析式為：，
把代入解析式得，
則拋物線的解析式為：．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握在已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，通常用頂點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)的解析式．
舉一反三：
【變式1】已知一條拋物線頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)，求該拋物線的解析式．
【答案】y=-2x2+8x-3
【分析】設(shè)出頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求解．
解：因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，5)，
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）2+5，
代入（3,3）得3=a（3-2）2+5，
解得a=-2，
∴解析式為y=-2（x-2）2+5=-2x2+8x-3．
【點(diǎn)撥】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握解題不是是解決問題的關(guān)鍵：一設(shè)二代三解四寫．
【變式2】已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，－3），且圖像過點(diǎn)（－3，－2），求這個二次函數(shù)的解析式．
【答案】
【分析】已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+2）2﹣3，將（﹣3，﹣2）代入即可．
解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+2）2﹣3，
將（﹣3，﹣2）代入得：﹣2=a（﹣3+2）2﹣3，
解得：a=1，
∴這個二次函數(shù)的解析式為：y=（x+2）2﹣3．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
類型二、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式—— 一般式
2．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．
【答案】
【分析】把點(diǎn)、代入二次函數(shù)關(guān)系式，即可求出a、b的值，進(jìn)而可得二次函數(shù)解析式．
解：把，代入二次函數(shù)解析式得
解得，
∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為．
【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．解題的關(guān)鍵在于正確的計(jì)算．
舉一反三：
【變式1】已知拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．
(1)填空：拋物線的對稱軸為直線x= ，拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；
(2)畫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象．
(3)當(dāng) 1 < x ?4時， y的取值范圍是
【答案】(1)2；（3，0）．
(2)見分析
(3)﹣1≤y≤3
【分析】
（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可得拋物線對稱軸為直線x＝2，由點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0）可得點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，0）．
（2）由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后根據(jù)解析式作出圖象．
（3）由拋物線開口方向及對稱軸可確定x＝2時，y取最小值，x＝4時，y取最大值．
(1)解：∵點(diǎn)A（0，3）、B（4，3）關(guān)于直線x＝2對稱，
∴對稱軸為直線x＝2，
∵C（1，0）關(guān)于直線x＝2對稱點(diǎn)為（3，0），
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，0），
故答案為：2；（3，0）．
(2)解：將A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3，
由（1）可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．
圖象如下：
(3)解：由圖象可知，在1 < x ?4時，
當(dāng)x＝2時，y取最小值為y＝22﹣2×4+3＝﹣1，
x＝4時，y取最大值為y＝42﹣4×4+3＝3，
∴﹣1≤y≤3．
故答案為：﹣1≤y≤3．
【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握求二次函數(shù)解析式的方法，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．
【變式2】一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)．求：這個二次函數(shù)的解析式．
【答案】y=-2x2+4x+6
【分析】設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，再把三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可．
解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，
根據(jù)題意得：， 解得：，
所以拋物線的解析式為y=-2x2+4x+6．
【點(diǎn)撥】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．
類型三、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式——兩根式
3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，求此二次函數(shù)表達(dá)式．
【答案】y＝﹣x2﹣2x+3
【分析】根據(jù)圖象確定經(jīng)過拋物線的三個點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系數(shù)法計(jì)算即可．
解：由圖象可知，拋物線經(jīng)過(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)，
設(shè)拋物線的解析式為：y＝a(x+3)(x﹣1)，
代入點(diǎn)(0,3)，
則3＝a(0+3)(0﹣1)，
解得：a＝﹣1，
則拋物線的解析式為：y＝﹣(x+3)(x﹣1)，
整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3．
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過程中細(xì)心即可．
舉一反三：
【變式1】二次函數(shù)經(jīng)過（1，0），（3，0）和（0，3）．
(1)求該二次函數(shù)解析式；
(2)將該二次函數(shù)圖像以軸為對稱軸作軸對稱變換得到新的拋物線，請求出新拋物線的解析式．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-3)，再將（0，3）代入關(guān)系式，求出a的值即可；
（2）由題意可知新拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)交點(diǎn)式，再將點(diǎn)（0，-3）代入求出m的值即可.
解：(1)設(shè)該二次函數(shù)解析式為
把（0，3）代入解析式得
∴該二次函數(shù)解析式為
(2)由題意可知，拋物線與x軸的交點(diǎn)是（1，0）和（3，0），且經(jīng)過點(diǎn)（0，-3）.
設(shè)新二次函數(shù)解析式為，
再代入（0，-3），得到m=-1
∴軸對稱變換后二次函數(shù)解析式為
【點(diǎn)撥】本題主要考查了求二次函數(shù)關(guān)系式，掌握交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)是解題的關(guān)鍵.
【變式2】已知拋物線與x軸交于A（﹣2，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），求此拋物線的解析式．
【答案】
【分析】首先設(shè)出拋物線的兩點(diǎn)式，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算可得答案．
解：∵拋物線與x軸交于A（﹣2，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴可設(shè)其解析式為：y＝a（x+2）（x﹣3），
代入點(diǎn)C（0，3）得，
a（0+2）（0﹣3）＝3，
解得a＝﹣，
∴拋物線的解析式：y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝﹣x2+x+3．
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)兩點(diǎn)式：．若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），（，0），則設(shè)所求二次函數(shù)為，將第三個點(diǎn)的坐標(biāo)（m，n）（其中m，n為已知數(shù)）或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a，最后將解析式化為一般形式．
類型四、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式——綜合應(yīng)用
4．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，P是線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)Q是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且和的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)（1+，1）
【分析】
（1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，求出直線BC的表達(dá)式，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出△PMC的面積，根據(jù)△QMC和△PMC的面積相等，可求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為1，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合點(diǎn)Q在第一象限，即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可求解．
(1)解：（1）將B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得：，
解得：．
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3．
(2)依照題意畫出圖形，如圖所示．
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
將點(diǎn)C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b，
得：，解得：，
∴直線BC的表達(dá)式為y=-x+3，
∴P（2，1），M（2，3），
∴S△PCM=CM?PM=2．
設(shè)△QCM的邊CM上的高為h，則S△QCM=×2×h=2，
∴h=2，
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，
∴-x2+2x+3=1，
解得：x1=1+，x2=1-（舍去），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+，1）．
【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求一次（二次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及解直角三角形，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)．
舉一反三：
【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．
(1)求c的值及a，b滿足的關(guān)系式．
(2)結(jié)合函數(shù)圖象判斷拋物線能否同時經(jīng)過點(diǎn)．若能，寫出符合要求的拋物線的表達(dá)式；若不能，請說明理由．
【答案】(1)c=3， 3a+b=-1；(2)能，y=
【分析】
（1）將點(diǎn)和代入解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意求得對稱軸，設(shè)，將和代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求解．
解：(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，
，
，
c=3， 3a+b=-1；
(2)，，
拋物線的對稱軸為
若同時經(jīng)過點(diǎn)，
則對稱軸為，
故存在拋物線能否同時經(jīng)過點(diǎn)
設(shè)，將和代入解析式，
，
解得，
，
．
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2】已知拋物線的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
(1)求拋物線解析式．
(2)若B，C是拋物線上兩動點(diǎn)，直線恒過點(diǎn)，設(shè)直線為，直線為．
①若B、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，求的值．
②求證：無論k為何值，為定值．
【答案】(1)；(2)①；②證明見分析
(1)解：把(0，0)代入，得
0=(0-n)(0-n)+c，
∴c=n2，
把c=n2代入得
y=x2-n2+n2=x2，
∴拋物線解析式為：y=x2；
(2)解：把(0，1)代入y=kx+b，得b=1，
∴直線BC解析式為：y=kx+1，
①∵B、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，
∴BCx軸，
∴k=0，即直線BC：y=1，將y=1代入y=x2，得
x2=2，解得：x=，
設(shè)B(-，1)，C(，1)，
把B(-，1)代入y=k1x，得1=-k1，
∴k1=-，
把C(，1)代入y=k2x，得1=k1，
∴k2=，
∴k1k2=-=-，
②聯(lián)立：，得x2-kx-1=0，
設(shè)此方程兩根為x1，x2，則x1x2==-2，
y1y2====1，
把(x1，y1)代入y=k1x，得k1=，
把(x2，y2)代入y=k2x，得k2=，
∴k1k2===，
無論k為何值，為定值，值為．
【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，本題是二次函數(shù)綜合題目，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．

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