一、單選題
1．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y＝ax+c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是圖所示的（ ）
A． B．C．D．
2．平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）與直線y＝2x+1上有三個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），如果n＝x1+x2+x3，那么m和n的關(guān)系是（ ）
A．m＝2n﹣3B．m＝n2﹣3C．m＝2n﹣5D．m＝n2﹣5
3．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB邊上的高，正方形DEFG的邊DE在高CH上，F(xiàn)，G兩點(diǎn)分別在AC，AH上．將正方形DEFG以每秒1 cm的速度沿射線DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，正方形DEFG與△BHC重疊部分的面積為S cm2，則能反映S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，直線y＝kx＋c與拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上的D點(diǎn)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線x＝1， 且OA＝OD，直線y＝kx＋c與x軸交于點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)），則下列結(jié)論① abc>0；②2a＋b＝0；③－1 y2．
23．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣bx﹣3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）（3，0）．
（1）求a，b的值；
（2）求當(dāng)﹣3≤x≤2時(shí)，y的最大值與最小值的差；
（3）一次函數(shù)y＝（m﹣2）x+m﹣2的圖象與二次函數(shù)y＝ax2﹣bx﹣3的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2時(shí)，求函數(shù)w＝y(tǒng)1﹣y2的最大值．
24．已知函數(shù)，的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中．
（1）若兩函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求，的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若兩函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)x軸上同一點(diǎn)．
①求的值；
②當(dāng)，比較，的大?。?br>25．如圖，直線：與拋物線：相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)．
(1)求A，兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)將直線向上移個(gè)單位長(zhǎng)度后，直線與拋物線仍有公共點(diǎn)，求的取值范圍．
(3)點(diǎn)為拋物線上位于直線上方的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線段，垂足為點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
26．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，拋物線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)為（1）中所求拋物線上一點(diǎn)，且，求的取值范圍；
(3)一次函數(shù)（其中與（1）中所求拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是和，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．
27．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A(5，0)，B(2，3)，連結(jié)OB和AB，拋物線y=-x2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（1）求b的值和直線AB的解析式；
（2）若P為拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線，交折線段OBA于Q．當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，求PQ的最大值．
28．如圖，若m是正數(shù)，直線l：y＝－m與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y＝x+m與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y＝ x2+mx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸左交點(diǎn)為D．
（1）若AB＝12，求m的值，此時(shí)在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Ｐ使得△的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Ｐ坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線l上方時(shí)，求點(diǎn)C與直線l距離的最大值；
（3）在拋物線L和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫(xiě)出m＝2020和m＝2020.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．
參考答案
1．D
【分析】
本題可先由二次函數(shù)圖象判斷字母系數(shù)a的正負(fù)，再與一次函數(shù)的圖象比較看是否一致．
解：A、由拋物線可知，，由直線可知，，錯(cuò)誤；
B、由拋物線可知，，由直線可知，錯(cuò)誤；
C、由拋物線可知，，由直線可知，，，錯(cuò)誤；
D、由拋物線可知，，過(guò)點(diǎn)，由直線可知，過(guò)點(diǎn)，正確．
故選D．
【點(diǎn)撥】主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
2．C
【分析】
假設(shè)A、B兩點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，C點(diǎn)在直線上，然后根據(jù)題意及根與系數(shù)的關(guān)系得到n＝3+x3即x3＝n﹣3，進(jìn)而代入直線解析式求解即可．
解：∵y＝ax2﹣3ax+c，
∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣，
如圖，在拋物線上的兩點(diǎn)A和B，關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則C點(diǎn)在直線y＝2x+1上，
∴x1+x2＝3，
∵n＝x1+x2+x3，
∴n＝3+x3，
∴x3＝n﹣3，
∴m＝2（n﹣3）+1，
∴m＝2n﹣5，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，根據(jù)解題及函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)得出x3的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
3．B
【分析】
分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三個(gè)階段，分別求出三個(gè)階段的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案．
解：由題意得AH=CH=BH=4cm，F(xiàn)E=FG=GH=EH=2cm，
當(dāng)時(shí)，如圖1所示，設(shè)EF與CH交于K，則；
當(dāng)時(shí)，如圖2所示，設(shè)EF與BC交于M，則；
當(dāng)時(shí)，如圖3所示，設(shè)GF與BC交于L，則；
故選B．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到三個(gè)階段的函數(shù)表達(dá)式．
4．D
【分析】
由拋物線的開(kāi)口判斷的符號(hào)；由對(duì)稱軸判斷及與的關(guān)系；由拋物線與軸的交點(diǎn)判斷的符號(hào)；由拋物線和直線圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)判斷有關(guān)代數(shù)式的符號(hào)．
解：拋物線開(kāi)口向上，
．
拋物線對(duì)稱軸是直線，
且．
拋物線與軸交于正半軸，
．
①錯(cuò)誤；
②正確；
直線經(jīng)過(guò)一、二、四象限，
．
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
直線當(dāng)時(shí)，，
可得．
③正確；
直線與拋物線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
，
得，
由圖象知，
④正確；
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系和一次函數(shù)的性質(zhì)以及拋物線與直線的交點(diǎn)的求法，解題的關(guān)鍵是掌握一、二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解答時(shí)，要熟練運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性和拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式．
5．C
【分析】
由二次函數(shù)的圖像可得a0，根據(jù)一次函數(shù)圖像的性質(zhì)即可判斷出正確答案．
解：∵二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，與y軸交于正半軸，
∴a0，
∴y=ax+b的圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，與y軸交于正半軸，
∴選項(xiàng)C符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖像的基本性質(zhì)及判斷一次函數(shù)圖像所經(jīng)過(guò)的象限，熟練掌握二次函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．C
【分析】
先由二次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與一次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．
解：由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．由拋物線可知，，由直線可知，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項(xiàng)正確；
D．由拋物線可知，，由直線可知，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了拋物線的圖象與性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握拋物線的圖象與性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．D
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
解：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，y=ax2+bx的開(kāi)口上，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸，y=ax+b經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且兩函數(shù)圖象交于x的負(fù)半軸，無(wú)選項(xiàng)符合； 當(dāng)a>0，b0或．
故答案為：a>0或．
【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，由一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，得出只要右側(cè)的點(diǎn)的值大于0即可，故對(duì)a進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
14．．
【分析】
由于不知道a的范圍，要討論a的正負(fù)零三種情況，當(dāng)a＝0時(shí)，是一次函數(shù)，當(dāng)a≠0時(shí)是二次函數(shù)，當(dāng)a當(dāng)a＞0時(shí)，P， Q兩點(diǎn)在對(duì)稱軸的左邊，當(dāng)a＜0時(shí)，P， Q兩點(diǎn)在對(duì)稱軸的右邊，把P，Q代入函數(shù)表達(dá)式從而可以得到a,b的關(guān)系式，從而可以得到兩個(gè)不等式，求出a的范圍．
解：當(dāng)a＝0時(shí)，b＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，
把P（1，0），Q（5，﹣4）代入解析式得，，
兩式相減得，b＝﹣1﹣6a，
拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝+3，
當(dāng)a＞0時(shí)，+3≥5，y隨x的增大而減小，即0＜a≤，
當(dāng)a＜0時(shí)，+3≤1，y隨x的增大而減小，即﹣≤a＜0，
故答案為：﹣．
【點(diǎn)撥】本題主要考察了一次函數(shù)，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，準(zhǔn)確討論出a的三種情況和a與b的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
15．②③
【分析】
首先求得拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可知x=0或x=2時(shí)，y1=y2，利用圖象可得當(dāng)x＞2時(shí)，y1＜y2，當(dāng)x＜0時(shí)，y1＜y2；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y1＞y2；根據(jù)當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M；對(duì)各說(shuō)法逐一判斷即可求得答案．
解：當(dāng)y1=y2時(shí)，-x2+4x=2x，
解得：x=0或x=2，
∴拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0和2，
∴由圖象可知當(dāng)x＞2時(shí)，y1＜y2，當(dāng)x＜0時(shí)，y1＜y2；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y1＞y2；
∵若，取中的較小值記為；若，記．
∴x＞2時(shí)，M=y1，故①錯(cuò)誤，
當(dāng)x＜0時(shí)，M=y1=-x2+4x=-(x-2)2+4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，最大值為4，
∵-1＜0，
∴當(dāng)x＜2時(shí)y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，值越大，值越大；故②正確；
∵拋物線的最大值為4，
∴使得大于4的值不存在；故③正確；
當(dāng)M=y2=2x=2時(shí)，x=1，
當(dāng)M=y1=-x2+4x=2時(shí)，
解得：x=2+或x=2-，
∵0＜2-＜2
∴x=2-時(shí)，y1＞y2，
∴M=y1=-x2+4x=2時(shí)，x=2+，
∴M=2時(shí)，x=1或x=2+，故④錯(cuò)誤；
綜上所述：正確的說(shuō)法有②③，
故答案為：②③
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用．注意掌握函數(shù)增減性是解題關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
16．或
【分析】
易知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且與軸交于點(diǎn)；
函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，且與軸交于點(diǎn)，．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)和點(diǎn)之間時(shí)，兩函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．列不等式求解即可解答．
解：函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且與軸交于點(diǎn)；
函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，且與軸交于點(diǎn)，．
當(dāng)時(shí)，，
解得；
當(dāng)時(shí)，，
解得．
綜上所述，的取值范圍是或．
故答案為：或．
【點(diǎn)撥】本題考查拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握函數(shù)圖象，明確二次函數(shù)函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的所有情況是解題的關(guān)鍵．
17．或
【分析】
由題意可求點(diǎn)，點(diǎn)，分，兩種情況討論，根據(jù)題意列出不等式組，可求a的取值范圍．
解：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，
，
，
拋物線與線段MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，
，
解得：，
，
當(dāng)時(shí)，
，
解得：，
，
綜上所述：或.
故答案為或.
【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．
18．②③
解：分析：①觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x＞2時(shí)，拋物線y1=-x2+4x在直線y2=2x的下方，進(jìn)而可得出當(dāng)x＞2時(shí)，M=y1，結(jié)論①錯(cuò)誤；
②觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x＜0時(shí)，拋物線y1=-x2+4x在直線y2=2x的下方，進(jìn)而可得出當(dāng)x＜0時(shí)，M=y1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出M隨x的增大而增大，結(jié)論②正確；
③利用配方法可找出拋物線y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，結(jié)論③正確；
④利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出當(dāng)M=2時(shí)的x值，由此可得出：若M=2，則x=1或2+，結(jié)論④錯(cuò)誤．
此題得解．
解：①當(dāng)x＞2時(shí)，拋物線y1=-x2+4x在直線y2=2x的下方，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，M=y1，結(jié)論①錯(cuò)誤；
②當(dāng)x＜0時(shí)，拋物線y1=-x2+4x在直線y2=2x的下方，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，M=y1，
∴M隨x的增大而增大，結(jié)論②正確；
③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴M的最大值為4，
∴使得M大于4的x的值不存在，結(jié)論③正確；
④當(dāng)M=y1=2時(shí)，有-x2+4x=2，
解得：x1=2-（舍去），x2=2+；
當(dāng)M=y2=2時(shí)，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，則x=1或2+，結(jié)論④錯(cuò)誤．
綜上所述：正確的結(jié)論有②③．
故答案為②③．
【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，逐一分析四條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．
19．－11≤c≤
解：拋物線y＝x2－2x＋c與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)．
如解圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
易求得直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝x－1.
當(dāng)直線AB與拋物線y＝x2－2x＋c只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程x2－2x＋c＝x－1的Δ＝0時(shí)，拋物線y＝x2－2x＋c與y軸的交點(diǎn)最高，即c的值最大，此時(shí)9－4(c＋1)＝0，解得c＝.
當(dāng)拋物線y＝x2－2x＋c過(guò)點(diǎn)B時(shí)，拋物線y＝x2－2x＋c與y軸的交點(diǎn)最低，即c的值最小，
把點(diǎn)B(5，4)的坐標(biāo)代入y＝x2－2x＋c，得25－10＋c＝4，解得c＝－11.
∴C的取值范圍是－11≤c≤.
20．(1)-7(2)對(duì)，理由見(jiàn)分析(3)見(jiàn)分析
【分析】
（1）把m=2，點(diǎn)A（8，n）代入解析式即可求解；
（2）由拋物線解析式，得頂點(diǎn)是，把x＝2m代入，求出y值與3-m比較，若相等則即可判斷小明說(shuō)法正確，否則說(shuō)法錯(cuò)誤；
（3）由點(diǎn)P（a+1，c），Q（4m-5+a，c）的縱坐標(biāo)相同，即可求得對(duì)稱軸為直線x==a+2m-2，即可得出a+2m-2=2m，求得a=2，得到P（3，c），代入解析式即可得到 ＝＝，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可證得結(jié)論．
(1)解：當(dāng)m＝2時(shí)，
∵A（8，n）在函數(shù)圖象上，
∴
(2)解：由題意得，頂點(diǎn)是
當(dāng)x＝2m時(shí)，
∴頂點(diǎn)在直線上
(3)證明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函數(shù)的圖象上
∴對(duì)稱軸是直線
∴a+2m-2＝2m ，
∴a＝2，
∴P（3，c），
把P（3，c）代入拋物線解析式，得
∴＝＝，
∵-20，
∴；
(3)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∵點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴在Rt△POD中，，
∴，，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
即，解得，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、根的判別式、勾股定理等是解題的關(guān)鍵．
26．(1)(2)(3)
【分析】
（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)拋物線圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求得；
（3）根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．
(1)解：由題意可知：拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，
．
解得：，
拋物線的表達(dá)式為：；
(2)解：拋物線，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
(3)解：，
拋物線開(kāi)口向下，與軸的交點(diǎn)為，，
一次函數(shù)，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
一次函數(shù)（其中與（1）中所求拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是和，且，
一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三、四象限，
，
．
【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)．
27．（1）5，y=-x+5；（2）4
【分析】
（1）把代入拋物線拋物線中，即可解出可得的值，然后設(shè)直線的解析式為，可把，代入利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)鉛直高度表示的長(zhǎng)，并配方可得的最大值．
解：（1）把代入拋物線中得：
解得
設(shè)直線的解析式為
把，代入得：
解得
∴直線的解析式為
（2）設(shè)，則
∴
由可知，當(dāng)時(shí)，有最大值為．
【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及利用配方法求最值問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是表示線段的長(zhǎng)度．
28．（1）P（－3，3 ）；（2）點(diǎn)C與l距離的最大值為1；（3）m＝2020時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4042個(gè)，m＝2020.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1011個(gè)
【分析】
解：（1）求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，分別為A（0，－m）、B（0，m），又AB＝8，而可得到m－（﹣m）＝12，即可求出m.又知Ｏ、Ｄ兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，即OP=DP時(shí)，OB+OP+PB=OB+DP+PB當(dāng)B、P、D三共線時(shí)△周長(zhǎng)最短，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.
（2）將二次函數(shù)轉(zhuǎn)為頂點(diǎn)式，y＝（x+）2－，寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)C
C與l的距離≤1，據(jù)此可判斷出最大距離.
（3）分別求出當(dāng)m＝2020時(shí)，與當(dāng)m＝2020.5時(shí)，利用拋物線解析式與直線解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩種情況下的的美點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，注意分類討論。
解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x+m＝m，
∴B（0，m），
∵AB＝8，而A（0，－m），
∴m－（﹣m）＝12，
∴m＝6．
∴L：y＝x2+6x，
∴L的對(duì)稱軸x＝－3，
又知Ｏ、Ｄ兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則OP=DP
∴OB+OP+PB=OB+DP+PB當(dāng)B、P、D三共線時(shí)△周長(zhǎng)最短，此時(shí)點(diǎn)P為直線a與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，當(dāng)x＝－3時(shí)，y＝x+6＝3，
∴P（－3，3）
（2）y＝（x+）2－，
∴L的頂點(diǎn)C
∵點(diǎn)C在l上方，
∴C與l的距離≤1，
∴點(diǎn)C與l距離的最大值為1
（3）當(dāng)m＝2020時(shí)，共有4042個(gè)美點(diǎn)，當(dāng)m＝2020.5時(shí)，共有1011個(gè)美點(diǎn)。
①當(dāng)m＝2020時(shí)，拋物線解析式L：y＝x2+2020x
直線解析式a：y＝x+2020
聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1＝﹣2020，x2＝1，
∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且﹣2020和1之間（包括﹣2020和1）共有2022個(gè)整數(shù)；
∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，
∴線段和拋物線上各有2022個(gè)整數(shù)點(diǎn)
∴總計(jì)4044個(gè)點(diǎn)，
∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)重復(fù)，
∴美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4044﹣2＝4042（個(gè)）；
②當(dāng)m＝2020.5時(shí)，
拋物線解析式L：y＝x2+2020.5x，
直線解析式a：y＝x+2020.5，
聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1＝﹣2020.5，x2＝1，
∴當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)y＝x+2020.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，
在二次函數(shù)y＝x2+2020.5x圖象上，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值y可取整數(shù)，
可知﹣2020.5到1之間有1010個(gè)偶數(shù)，并且在﹣2020.5和1之間還有整數(shù)0，驗(yàn)證后可知0也符合
條件，因此“美點(diǎn)”共有1011個(gè)．
故m＝2020時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4042個(gè)，m＝2020.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1011個(gè)
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．

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22.1.1 二次函數(shù)

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