(2019)高中數(shù)學必修第二冊第六章6.2.4《向量的數(shù)量積》學案-人教A版-學案下載-教習網(wǎng)

6.2.4　向量的數(shù)量積知識點一　　　向量的夾角知識點二　　　向量數(shù)量積的概念知識點三　　　投影向量如圖1，設(shè)a，b是兩個非零向量，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(CD,\s\up16(→))＝b，我們考慮如下的變換：過eq \o(AB,\s\up16(→))的起點A和終點B，分別作eq \o(CD,\s\up16(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up16(→))，我們稱上述變換為向量a向向量beq \o(□,\s\up4(01))投影，eq \o(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的eq \o(□,\s\up4(02))投影向量．如圖2，我們可以在平面內(nèi)任取一點O，作eq \o(OM,\s\up16(→))＝a，eq \o(ON,\s\up16(→))＝b.過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq \o(OM1,\s\up16(→))就是向量a在向量b上的投影向量．知識點四　　　向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律 (1)向量的數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則 ①a·e＝e·a＝eq \o(□,\s\up4(01))|a|cosθ. ②a⊥b?eq \o(□,\s\up4(02))a·b＝0. ③當a與b同向時，a·b＝eq \o(□,\s\up4(03))|a||b|. 當a與b反向時，a·b＝eq \o(□,\s\up4(04))－|a||b|. ④a·a＝eq \o(□,\s\up4(05))|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2). ⑤cosθ＝eq \o(□,\s\up4(06))eq \f(a·b,|a||b|). ⑥|a·b|eq \o(□,\s\up4(07))≤|a||b|. (2)向量數(shù)量積的運算律 ①eq \o(□,\s\up4(08))a·b＝b·a(交換律)． ②(λa)·b＝eq \o(□,\s\up4(09))λ(a·b)＝eq \o(□,\s\up4(10))a·(λb)(結(jié)合律)． ③eq \o(□,\s\up4(11))(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．對數(shù)量積的理解 (1)求a，b的數(shù)量積需知道三個量，即|a|，|b|及a，b的夾角，這三個量有時并不是直接給出來的，需根據(jù)題意去巧妙求解． (2)兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的運算，其結(jié)果不再是向量，而是數(shù)量，它的符號由夾角確定，當夾角為銳角或0時，符號為正；當夾角為鈍角或π時，符號為負；當夾角為直角時，其值為零．向量的投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負，也可為零． (3)兩個向量a，b的數(shù)量積與代數(shù)中兩個數(shù)a，b的乘積ab是兩碼事，但表面看來又有點相似，因此要注意兩個向量a，b的數(shù)量積是記作a·b，中間的實心小圓點不能省略，也不能把實心小圓點用乘號“×”代替，寫成a×b. 2．要靈活掌握向量數(shù)量積的性質(zhì) (1)a⊥b?a·b＝0，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進行有關(guān)計算． (2)a·a＝a2＝|a|2與|a|＝eq \r(|a|2)＝eq \r(a2)也用來求向量的模，以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化． (3)用cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)求兩向量的夾角，且夾角的取值與a·b的符號有關(guān)．設(shè)兩個非零向量a與b的夾角為θ，則當θ＝0時，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；當θ為銳角時，cosθ>0，a·b>0；當θ為鈍角時，cosθ0，∴eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))