4.4兩個(gè)相似三角形的判定浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步練習(xí)第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.如圖，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在上取點(diǎn)，分別以，，，為邊向上作正方形，，，當(dāng)時(shí)，若，，共線，則圖中陰影部分的面積為(    )

 A.  B.  C.  D. 2.如圖，的弦交直徑于，，：：，若，則的長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 3.如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，能判斷的是(    )A.
B.
C.
D. 4.如圖，等腰中，，點(diǎn)是外一點(diǎn)，分別以，為斜邊作兩個(gè)等腰直角和，并使點(diǎn)落在上，點(diǎn)落在的內(nèi)部，連結(jié)若，則與的面積之比為(    )A.
B.
C.
D. 5.如圖，在中，是邊上的高，若，，則的長(zhǎng)為(    )A.  B.  C.  D. 6.如圖，在中，，，，將沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(    )
 A.  B.
C.  D. 7.如圖，∽，，與交于點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，連接，，若點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：∽，∽，，，其中正確的是(    )
 
 A.  B.  C.  D. 8.在平面直角坐標(biāo)系中，直線和，軸交于，兩點(diǎn)，在第二象限內(nèi)找一點(diǎn)，使和相似的三角形個(gè)數(shù)為
(    )
 A.  B.  C.  D. 9.如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，若：：則：的值為(    )A.        
B.
C.
D. 10.如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，連接、，與相交于點(diǎn)給出下列結(jié)論：；；；其中正確的為(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）11.如圖，與交于點(diǎn)，要使∽，需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是______ 寫一個(gè)即可
 12.如圖，四邊形是內(nèi)接正方形，，高，則內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)______．
 13.已知：如圖，在中，，，是的外角平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，那么______
 14.如圖，在中，，于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)是______ ．
 三、解答題（本大題共6小題，共48.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.本小題分
如圖，在中，點(diǎn)，，分別在，，邊上，，．
求證：∽．
設(shè)，
若，求線段的長(zhǎng)；
若的面積是，求的面積．
16.本小題分
如圖，、相交于點(diǎn)，連接、，且，，，，求的長(zhǎng)．
17.本小題分
已知：如圖，中，，，為邊上一點(diǎn)，求證：．
 18.本小題分
如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，，垂足為．

 求證：∽．若，，求的長(zhǎng)．19.本小題分

如圖，四邊形內(nèi)接于半圓，是直徑，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．
求證：．
若，，求的長(zhǎng)．
20.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸和軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)不與、重合，聯(lián)結(jié)、，過(guò)點(diǎn)作射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，．
當(dāng)時(shí)，求直線的解析式；
設(shè)，，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在，使的面積與的面積之和等于的面積？如果存在，請(qǐng)求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
根據(jù)正方形的性質(zhì)證明∽，設(shè)，則，，所以，解得，求出、，再根據(jù)圖形可得正方形正方形DBEF正方形CDKL正方形BCIJ，進(jìn)而可得結(jié)果．
【解答】
解：根據(jù)題意可知：，
∽，
，
點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，
，
設(shè)，
則，，
，
解得，
，，
正方形正方形DBEF正方形CDKL正方形BCIJ

．2.【答案】 【解析】解：連接，．

：：，
可以假設(shè)，，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
負(fù)根已經(jīng)舍去，
．
故選：．
連接，，設(shè)，，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解
本題考查垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．3.【答案】 【解析】解：只有選項(xiàng)D正確，
理由是：，，，
，
，
∽，
，
，
根據(jù)選項(xiàng)A、、的條件都不能推出．
故選：．
先求出比例式，再根據(jù)相似三角形的判定得出∽，根據(jù)相似推出，根據(jù)平行線的判定得出即可．
本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

在中，，
可以假設(shè)，，
是等腰直角三角形，
，，
，都是等腰直角三角形，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故選：．
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)在中，，可以假設(shè)，，分別求出，的面積，可得結(jié)論．
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是能根據(jù)相似得出比例式．求出，，推出∽，得出比例式，代入求出即可．
【解答】
解：，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
故選A．6.【答案】 【解析】解：陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C.兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
D.兩三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，但夾角不相等，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)正確．
故選：．
此題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．
根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．7.【答案】 【解析】解：∽，
，
，
∽，
，
，
，
∽，故正確，
∽，∽，
，，
，
，
是的中點(diǎn)，則，
，
，
，故正確，
在中，，，
，
∽，
，
，
，
，故正確，
，
，
無(wú)法判斷∽，故錯(cuò)誤．
故選D．
首先證明∽，推出∽，再證明，可得正確，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷正確．
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用．8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
根據(jù)相似三角形的相似條件，畫出圖形即可解決問(wèn)題．
【解答】
解：如圖，

分別過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)作、的平行線交于點(diǎn)，則與相似全等，
作，垂足為則與相似．
作交于，則與相似．
作垂足為，則與相似．
故選C．9.【答案】 【解析】解：：：，
：：，
：：，
，
∽，∽，
，
：，
故選：．
證明：：，得出：：，證明∽，∽，得到，由相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，證出：：是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：為等邊三角形，
，，
，
∽，
又，
，
，
，，
，
在中，，
，
又，
，
故正確；
，，
，
，
故正確；
，
∽，
，
又與同高，
，
又，不是中點(diǎn)，
，
，
故錯(cuò)誤；
，
，
∽，
，
，
又，，
，
故正確，
故選：．
由是等邊三角形，得，而，故正確；由，，可判定正確；由∽，得，由與同高，可知，則判定錯(cuò)誤，由∽，得，則，可判定正確．
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖象可知，與為對(duì)頂角，
，
根據(jù)相似三角形的判定定理：兩組角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是相似三角形，
得到，即可證明∽．
故答案為：答案不唯一．
根據(jù)相似三角形的判定定理：兩組角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是相似三角形，即可得到答案．
本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)已知條件可證得∽，由相似三角形的性質(zhì)可得到，從而得到關(guān)于的方程，解方程求出的值即可．【解答】 解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)等于，
四邊形是正方形，
，
∽，
，
，
解得：．
即．故答案為．13.【答案】 【解析】解：
，
∽
：：
是的外角平分線，


：：
即：：
．
故答案為：．
根據(jù)平行線的性質(zhì)可推得∽，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出一關(guān)系式：：，由外角平分線可推出，則可求解．
本題考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，注意相似三角形中對(duì)應(yīng)邊成比例．14.【答案】 【解析】解：在中，，于點(diǎn)，
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．
故答案為：．
直接利用射影定理進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查了射影定理，熟練掌握射影定理是解答本題的關(guān)鍵．15.【答案】解：證明：，
．
，
，
∽；
，
．
，
，
解得：；
，
．
，
∽，
，
． 【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由平行線的性質(zhì)得出，，即可得出結(jié)論；
由平行線分線段成比例得出，即可得出結(jié)果；
先求出，易證∽，由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)果．16.【答案】解：，，
∽，
，
，，
，
的長(zhǎng)為． 【解析】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．先由，，證明∽，然后列比例式求出的長(zhǎng)．17.【答案】證明：在中，，，．，，，又，∽，． 【解析】見(jiàn)答案18.【答案】【小題】證明：四邊形是矩形，，，．，，∽．【小題】是的中點(diǎn)，，．，．四邊形是矩形，．∽，，． 【解析】 見(jiàn)答案
 見(jiàn)答案19.【答案】證明：連接，

是的中點(diǎn)，
，
，，
是直徑，
，
在與中，
，
≌，
，
；
解：連接，

由知，，
，
四邊形內(nèi)接于半圓，
，
，
，
，
，
為直徑，
，
，
，，
∽，
，
，
，
≌，
，
． 【解析】連接，根據(jù)是的中點(diǎn)，得，根據(jù)是直徑，知，再利用證明≌，得，從而證明結(jié)論；
連接，利用兩個(gè)角相等證明∽，得，可得的長(zhǎng)，從而得出答案．
本題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明∽是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：由題意知，，，，，
，
，
，
∽，
：：，
設(shè)，則，
即，
解得，不合題意，舍去．
的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
則，
，
直線的解析式為；
假設(shè)存在符合題意，
過(guò)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，
與面積之和等于的面積，
，
，，
，
∽，，即，
解得，
，
，
，
，
，
∽，
：：，即，
，的取值范圍是；
但時(shí)，，
負(fù)值舍去，
在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在，使與面積之和等于的面積． 【解析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可得到的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式；
過(guò)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)題意得到的面積矩形的面積，求出的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，利用已知條件可以∽，從而得到：：，由此得到，利用相似三角形的性質(zhì)得到，最后利用這個(gè)解析式計(jì)算即可求解．
本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)解析式的確定，掌握矩形的性質(zhì)定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

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4.3 相似三角形

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