TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3821" 【題型1 利用切線長定理求周長】 PAGEREF _Tc3821 \h 1
\l "_Tc24076" 【題型2 三角形內(nèi)切圓中求角度】 PAGEREF _Tc24076 \h 2
\l "_Tc11948" 【題型3 三角形內(nèi)切圓中求面積】 PAGEREF _Tc11948 \h 4
\l "_Tc17408" 【題型4 三角形內(nèi)切圓中求線段長度】 PAGEREF _Tc17408 \h 5
\l "_Tc27351" 【題型5 三角形內(nèi)切圓中求半徑】 PAGEREF _Tc27351 \h 5
\l "_Tc3209" 【題型6 三角形內(nèi)切圓中求最值】 PAGEREF _Tc3209 \h 6
\l "_Tc17599" 【題型7 外接圓和內(nèi)切圓的綜合運用】 PAGEREF _Tc17599 \h 7
【知識點1 切線長定理及三角形的內(nèi)切圓】
（1）切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角
（2）三角形內(nèi)切圓
【題型1 利用切線長定理求周長】
【例1】（2022秋?宜興市校級期中）如圖，△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內(nèi)切圓，點D是其中的一個切點，
已知AD＝10cm，小明準(zhǔn)備用剪刀沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下一塊三角形（△AMN），則剪下的△AMN的周長為 ．
【變式1-1】（2022秋?莒南縣期末）如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D．若PA、PB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的兩個根，求△PCD的周長．
【變式1-2】（2022?雨花區(qū)校級三模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O與△ABC的三邊相切于點D、E、F，若⊙O的半徑為2，則△ABC的周長為（ ）
A．14B．20C．24D．30
【變式1-3】（2022秋?崇川區(qū)月考）如圖，P是⊙O外一點，PA、PB分別和⊙O相切于點A、B，C是劣弧AB上任意一點，過C作⊙O切線DE，交PA、PB于點D、E，已知PA的長為5cm，∠DOE＝65°，點M、N分別在PA、PB的延長線上，MN與⊙O相切于點F，已知DN、EM的長是方程x2﹣10x+k＝0的兩根．
（1）求∠P的度數(shù)；
（2）求△PDE的周長；
（3）求四邊形DEMN的周長．
【題型2 三角形內(nèi)切圓中求角度】
【例2】（2022?溫州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別切于點D，E，F(xiàn)，若∠ACB＝40°，則∠DOE＝ ．
【變式2-1】（2022秋?昌平區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，已知∠A＝40°，連接OB，OC，DE，EF，則∠BOC＝ °，∠DEF＝ °．
【變式2-2】（2022?萬年縣校級模擬）如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I與AB，BC，CA分別切于F，D，E，連接BI，CI，再連接FD，ED，
（1）若∠A＝40°，求∠BIC與∠FDE的度數(shù)．
（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，試猜想α，β的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【變式2-3】（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點M是△ABC內(nèi)一點，連接BM交AD于點N，已知∠AMB＝108°，若點M是△CAN的內(nèi)心，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．36°B．48°C．60°D．72°
【題型3 三角形內(nèi)切圓中求面積】
【例3】（2022秋?黃岡期中）如圖，邊長為1的正方形ABCD的邊AB是⊙O的直徑，CF是⊙O的切線，E為切點，F(xiàn)點在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面積．
【變式3-1】（2022?武漢模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，E是△ABC的內(nèi)心，OE⊥EB．若AE＝22，則△ABE的面積為（ ）
A．22B．2C．2D．1
【變式3-2】（2022春?海曙區(qū)校級期中）如圖，花邊帶上正三角形的內(nèi)切圓半徑為1cm．如果這條花邊帶有100個圓和100個正三角形，則這條花邊的面積為（ ）
A．150πB．1503C．3003D．200
【變式3-3】（2022?齊齊哈爾一模）如圖，正方形ABCD邊長為4cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過A作半圓的切線，與半圓相切于F點，與DC相交于E點，則△ADE的面積（ ）cm2
A．12B．24C．8D．6
【題型4 三角形內(nèi)切圓中求線段長度】
【例4】（2022秋?烏蘭察布期末）如圖，⊙O分別切△ABC的三條邊AB、BC、CA于點D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的長．
【變式4-1】（2022秋?崇川區(qū)月考）如圖，已知△ABC的內(nèi)切圓O與三邊分別切于D、E、F，∠A＝60°，CB＝6cm，△ABC的周長為16cm，則DF的長等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
【變式4-2】（2022秋?龍鳳區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點D是斜邊AB的中點，則OD的長度是 ．
【變式4-3】（2022?永定區(qū)模擬）如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分別是△ABC和△ADC的內(nèi)切圓，點E、F為切點，則EF的長是 cm．
【題型5 三角形內(nèi)切圓中求半徑】
【例5】（2022?定安縣二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，則△ACD內(nèi)切圓的半徑是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式5-1】（2022秋?張店區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的半徑為（ ）
A．1B．3C．2D．23
【變式5-2】（2022秋?虎丘區(qū)校級期中）若四邊形ABCD有內(nèi)切圓（與四邊形四邊均相切），四邊形面積為S，各邊長分別為a，b，c，d，則該圓的直徑為（ ）
A．a(chǎn)+b+c+dSB．Sa+cC．c-dS(a+b)D．2Sa+b+c+d
【變式5-3】（2022秋?南丹縣期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，AC，BC相切于點D，E，F(xiàn)．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則⊙O的半徑等于 ．
【題型6 三角形內(nèi)切圓中求最值】
【例6】（2022春?長興縣月考）如圖，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內(nèi)切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最大值是 ．
【變式6-1】（2022秋?揚州月考）如圖是一塊△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，現(xiàn)將余料裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是 ．
【變式6-2】（2022?溫州自主招生）設(shè)等邊△ABC的內(nèi)切圓半徑為2，圓心為I．若點P滿足PI＝1，則△ABC與△APC的面積之比的最大值為 ．
【變式6-3】（2022秋?濱湖區(qū)期末）已知點C是⊙O上一動點，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．
（1）如圖1，若CD平分∠ACB，求證：AC+BC＝CD；
（2）如圖2，△ABC內(nèi)切圓半徑為r．①用含r的代數(shù)式表示AC+BC；②求r的最大值．
【題型7 外接圓和內(nèi)切圓的綜合運用】
【例7】（2022秋?濱湖區(qū)期末）設(shè)兩直角邊分別為3、4的直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑長分別為R和r，則R﹣r＝ ．
【變式7-1】（2022?鞍山模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，切點分別為D、E、F，∠C＝90°．已知∠AOC＝120°，則∠OAC＝ °，∠B＝ °．已知AC＝4cm，BC＝3cm，則△ABC的外接圓的半徑為 cm，內(nèi)切圓的半徑為 cm．
【變式7-2】（2022?游仙區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為3，則△BIC的外接圓直徑為 ．
【變式7-3】（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分別切AC，BC，AB于點D，E，F(xiàn)，求Rt△ABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離．
三角形內(nèi)切圓
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓
內(nèi)切圓的圓心是三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心
三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

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