?第1章 一元二次方程
1.3 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
知道利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以解決一些簡(jiǎn)單的問題
1.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運(yùn)用.
2.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在不解一元二次方程的情況下，會(huì)求直接（或變形后）含有兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會(huì)整體代換的數(shù)學(xué)思想。
知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
也就是說，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.
【即學(xué)即練1】若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的兩個(gè)根，則 x1+x2 的值是（????????）
A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6
【答案】A
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-3x-6=0的兩個(gè)根，
∴x1+x2=3，
故選：A．
【即學(xué)即練2】關(guān)于x的一元二次方程有兩根，其中一根為，則這兩根之積為（???????）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩根，其中一根為，
設(shè)另一根為，則，
，
，
故選：D
知識(shí)點(diǎn)02 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用
1.驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；
2.已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；
3.不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對(duì)稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
4.已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程；以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是
.
5.已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；
6.利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號(hào).
設(shè)一元二次方程的兩根為、，則
①當(dāng)△≥0且時(shí)，兩根同號(hào)．
當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為正數(shù)；
當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù)．
②當(dāng)△＞0且時(shí)，兩根異號(hào)．
當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號(hào)且正根的絕對(duì)值較大；
當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號(hào)且負(fù)根的絕對(duì)值較大．
【即學(xué)即練3】已知m、n是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（???????）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【答案】A
【解析】解：∵m、n是一元二次方程的兩個(gè)根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=10，
故選：A．
【即學(xué)即練4】設(shè)方程兩個(gè)根為、，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由韋達(dá)定理可知，，，
則，
故選A．
能力拓展

考法 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【典例1】關(guān)于的方程，，是方程的兩個(gè)根，設(shè)，則當(dāng)?shù)闹禐?時(shí)，______．
【答案】2
【解析】解：由題意得：，；
若的值為2時(shí)，
則


將，的值分別代入并整理得：

解得：，
∵該方程有兩個(gè)根，∴，∴舍去，
∴當(dāng)時(shí)，的值為2；
故答案為：2．
【典例2】設(shè)a、b是方程的兩實(shí)數(shù)根，則______．
【答案】2022
【解析】解：是的兩實(shí)數(shù)根，
，，
，，，
則





，
故答案為：2022．
分層提分

題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．已知，是一元二次方程的兩根，則的值為（???????）
A．0 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)根，
∴x1+x2=1，x12?x1?1=0，
兩式相加得：x12?x1?1+ x1+x2=1
移項(xiàng)得：x12 +x2=2
故選 B
2．設(shè)a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（???????）
A．2022 B．-2022 C．2020 D．-2020
【答案】A
【解析】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a+b＝1，ab＝﹣2021，
∴＝1－（﹣2021）＝2022．
故選：A．
3．方程的兩根為，則等于（???????）
A．4 B．－4 C．3 D．－3
【答案】A
【解析】解：方程的兩根為，

故選A
4．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一個(gè)根是3，則它的另一個(gè)根為（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】解：已知方程的一個(gè)根，設(shè)方程的另一個(gè)根是，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，
解得．
即另一個(gè)根是﹣1．
故選：A．
5．一元二次方程的兩根之和為（???????）
A．－5 B．5 C．－4 D．4
【答案】B
【解析】解：一元二次方程x2-5x+4=0的兩根之和為5，故選：B．
6．若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則，的值分別是（?????????????）
A．1和6 B．5和 C．和6 D．5和6
【答案】D
【解析】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故選：D．
題組B 能力提升練
1．關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別為和，則_________．
【答案】
【解析】解：∵一元二次方程的兩根是，，
∴，，
∴．
故答案是： ．
2．設(shè)a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a+b﹣ab＝_____．
【答案】2015
【解析】解：∵a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣2018．
∴a+b﹣ab＝﹣3﹣（﹣2018）＝2015，
故答案為：2015．
3．若一元二次方程的兩個(gè)根是與，則m的值是______．
【答案】
【解析】解：將一元二次方程化為，
一元二次方程的兩個(gè)根是與，
，解得，
故答案為：．
4．若，是方程的兩個(gè)根，則的值是______．
【答案】
【解析】解：∵，是方程的兩個(gè)根，
∴，，，
∴



．
故答案為：．
5．已知一元二次方程的兩根分別為，則的值等于_______．
【答案】9
【解析】解：由題意得，


故答案為：9．
6．若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為 _____．
【答案】
【解析】解：∵a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a+b=4，ab=3，
∴，
故答案為：．
7．對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則※=_____．
【答案】20
【解析】解：∵是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴．
故答案為：20．
8．已知是方程的一個(gè)根，那么此方程的另一個(gè)根為______．
【答案】
【解析】解：是方程的一個(gè)根，




∴此方程的另外一個(gè)根為
故答案為：
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．若和是關(guān)于x的方程的兩根，且，則b的值是（???????）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
【答案】C
【解析】解：∵和是關(guān)于x的方程的兩根，
∴，
∴
∴
故選：C
2．下列關(guān)于x的一元二次方程的命題中，真命題有（???????）
①若，則；
②若方程兩根為1和－2，則；
③若方程有一個(gè)根是，則
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【解析】解：a-b+c=0，則b=a+c，=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正確；
∵方程ax2+bx+c=0兩根為1和-2，
∴，則，

∴，所以②正確；
∵方程有一個(gè)根是，
∴

∴
∴
所以③正確．
故選：A．
3．若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（???????）
A．3或 B．或9 C．3或 D．或6
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
,則兩根為：3或-1，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故選：A．
4．方程與的所有根的和為______．
【答案】-1
【解析】解：設(shè)方程的兩根是x1、x2，方程的兩根是x3、x4，
在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1+24＝25＞0，
∴此方程有實(shí)數(shù)根，
同理在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1-32＝-310，
∴此方程沒有實(shí)數(shù)根，
又∵x1+x2＝﹣＝-1，
∴兩個(gè)方程的實(shí)數(shù)根的和是-1．
故答案為-1．
5．已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為 _____．
【答案】2
【解析】解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
當(dāng)k＝2時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；
當(dāng)k＝5時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；
∴k＝2，
故答案為：2．
6．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且滿足數(shù)軸上x1，x2所表示的點(diǎn)到2所表示的點(diǎn)的距離相等，則稱這樣的方程為“關(guān)于2的等距方程”以下“關(guān)于2的等距方程”的說法，正確的有___．（填序號(hào)）
①方程x2﹣4x＝0是關(guān)于2的等距方程；
②當(dāng)5m＝﹣n時(shí)，關(guān)于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是關(guān)于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是關(guān)于2的等距方程，則必有b＝﹣4a（a≠0）；
④當(dāng)兩根滿足x1＝3x2，關(guān)于x的方程px2﹣x0是關(guān)于2的等距方程．
【答案】①④
【解析】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
則|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
故①正確；
②當(dāng)m≠0，n≠0時(shí)，（x+1）（mx+n）＝0，
則x1＝﹣1，x2 ，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是關(guān)于2的等距方程；
當(dāng)m＝n＝0時(shí)，原方程x+1＝0不是一元二次方程，
故②錯(cuò)誤；
③對(duì)于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韋達(dá)定理得：x1+x2＝，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
則x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
當(dāng)x1＝x2時(shí)，x1＝x2＝，不能判斷a與b之間的關(guān)系，
當(dāng)x1+x2＝4時(shí)，即＝4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程時(shí)，b不一定等于﹣4a，故③錯(cuò)誤；
④對(duì)于方程px2﹣x＝0有兩根滿足x1＝3x2，
由韋達(dá)定理得：x1x2＝，x1+x2＝，
∴x1x2＝×＝（x1+x2），
∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+＝0是關(guān)于2的等距方程，故④正確，
故正確的有①④，
故答案為：①④．
7．如果一元二次方程的兩個(gè)根為，，則______．
【答案】-4
【解析】解：由題意得： ， ，
∴


=-4．
故答案為：-4．
8．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
(1)求k的取值范圍；
(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2＋15，求k的值．
【答案】(1)；(2)k＝4
【分析】(1)∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，解得；
(2)∵方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，
∴x1＋x2＝k＋1，，
∵x12＋x22＝6x1x2-15，
∴（x1＋x2）2-8x1x2+15＝0，
∴k2-2k-8＝0，解得：k1＝4，k2＝-2，
又∵，
∴k＝4．
9．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，若，求m的值．
【答案】(1)見詳解；(2)
【分析】(1)解：∵，
∴，
∴
=
=4＞0，
∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)解：由（1）及根與系數(shù)的關(guān)系可得：，
∵，
∴，
代入得：，整理得：，
∴．
10．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論，設(shè)其中一根為t，則另一根為2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2ac＝0；我們記“K＝b2ac”，即K＝0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0為倍根方程：下面我們根據(jù)所獲信息來解決問題：
(1)以下為倍根方程的是　 ??；（寫出序號(hào)） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；
(2)若關(guān)于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；
(3)若A（m，n）在一次函數(shù)y＝3x﹣8的圖象上，且關(guān)于x的一元二次方程是倍根方程，求此倍根方程．
【答案】(1)②；(2)0；(3)
【分析】(1)①x2﹣x﹣2＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
x1＝﹣1，x2＝2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
②x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2)(x﹣4)＝0,
x1＝2，x2＝4，
∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；
故答案為②；
(2)mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，
解得：x1＝2，x2，
∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，
∴2或4，即m＝﹣n或mn，
∴m+n＝0或4m+n＝0；
∴4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；
(3)設(shè)其中一根為t，則另一個(gè)根為2t，
則ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，
∴b2ac＝0，
∵x2n＝0是倍根方程，
∴（）2n＝0，整理，得：m＝3n，
∵A（m，n）在一次函數(shù)y＝3x﹣8的圖象上，
∴n＝3m﹣8，
∴n＝1，m＝3，
∴此倍根方程為x2x0．
11．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：
(1)通過計(jì)算，判斷下列兩個(gè)方程是“差根方程”是： （填序號(hào)）
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請(qǐng)?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．
【答案】(1)②；(2)a＝±；(3)b2＝a2+4a
【分析】(1)解：①設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，，
，
方程不是差根方程；
②設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，，
，
方程是差根方程；
故答案為：②；
(2)解：，
因式分解得：，
解得：，，
關(guān)于的方程是“差根方程”，
，即；
(3)解：設(shè)，是一元二次方程，是常數(shù)，的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，，
關(guān)于的方程，是常數(shù)，是“差根方程”，
，
，即，
．

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蘇科版九年級(jí)上冊(cè)1.3 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系同步練習(xí)題

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初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

1.1 一元二次方程

版本： 蘇科版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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