知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.
知識(shí)點(diǎn)01 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用
(1)驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；
(2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；
(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對(duì)稱(chēng)式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
(4)已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程；
以?xún)蓚€(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 為根的一元二次方程是 SKIPIF 1 < 0 .
(5)已知一元二次方程兩根滿(mǎn)足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；
(6)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號(hào).
設(shè)一元二次方程的兩根為、，則
【知識(shí)拓展】
（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱；
（2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）．
能力拓展
考法01 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【典例1】已知方程的一個(gè)根是2，求另一個(gè)根及k的值．

【即學(xué)即練1】已知方程的一個(gè)根是3，求它的另一根及的值．

【典例2】已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．
考法02 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用
【典例3】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1、x2，且x12+x22=4，則x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【即學(xué)即練2】設(shè)m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的兩個(gè)根，則m2＋3m＋n＝_______.
【典例4】已知實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿(mǎn)足條件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
【典例5】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．
（1）證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
【即學(xué)即練3】關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）若方程兩實(shí)根 SKIPIF 1 < 0 滿(mǎn)足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．

分層提分
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．一元二次方程x2﹣2x=0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
4．已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個(gè)根為﹣2，則另一個(gè)根為（ ）
A．5B．﹣1C．2D．﹣5
5．設(shè)a，b是方程x2＋x－2009＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2＋2a＋b的值為( )
A．2006B．2007C．2008D．2009
6．已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個(gè)解，若 SKIPIF 1 < 0 ，則a的值為（ ）
A．﹣10B．4C．﹣4D．10
7．一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個(gè)根為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7

題組B 能力提升練
1．設(shè)m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個(gè)根，則m2+4m+n＝（ ）
A．﹣3B．4C．﹣4D．5
2．若a≠b，且 SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．.4D．3
3．若α、β為方程2x2-5x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．-13B．12C．14D．15
4．若實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．﹣20B．2C．2或﹣20D． SKIPIF 1 < 0
5．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．2015B． SKIPIF 1 < 0 C．2016D．2019
6．已知關(guān)于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿(mǎn)足 SKIPIF 1 < 0 ，則m的值為_(kāi)____________
7．如果m，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代數(shù)式2n2﹣mn+2m+2015=_____________．
8．已知關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1，x2=2，則方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的兩根之和為_(kāi)_________．
9．已知關(guān)于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）如果方程的兩實(shí)根為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．已知 SKIPIF 1 < 0 是關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 SKIPIF 1 < 0 ，則a=_________.
2．若關(guān)于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三個(gè)根恰好可以組成某直角三角形的三邊長(zhǎng)，則m的值為_(kāi)____．
3．如圖， SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是__________.
4．設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，
（1）若x12+x22=6，求m值；
（2）令T= SKIPIF 1 < 0 ，求T的取值范圍．
5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．
（1）當(dāng)a=﹣11時(shí)，解這個(gè)方程；
（2）若這個(gè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，求a的取值范圍；
（3）若方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿(mǎn)足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．
6．已知關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且滿(mǎn)足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類(lèi)問(wèn)題中的運(yùn)用.
理解方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系
當(dāng)△≥0且時(shí)
當(dāng)△≥0且，時(shí)
當(dāng)△≥0且，時(shí)
當(dāng)△＞0且時(shí)
當(dāng)△＞0且，時(shí)
當(dāng)△＞0且，時(shí)

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21.1 一元二次方程

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