題型一求兩條線段和的最小值
題型二求兩條線段差的最大值
題型三求三條線段和的最小值（雙動點問題）
題型四最值問題的實際應(yīng)用
【知識梳理】
將軍飲馬中最短路徑問題四大模型
一兩定點在直線的異側(cè)
二兩定點在直線的同側(cè)
三兩動點一定點問題
四造橋選址問題
注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學(xué)可以先行學(xué)習(xí)第3章后再完成該專題訓(xùn)練．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【經(jīng)典例題一求兩條線段和的最小值】
【例1】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，，，，是中點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（ ）
A．10B．11C．12D．13
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，，，于點D，1．（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，AB=AC=7，AD=8.3，點E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于點F．點P是線段CF上一動點，則EP＋AP的最小值為（ ）

A．6B．7C．7.5D．8.3
2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，是的兩條中線，是線段上的一個動點，則下列線段的長等于最小值的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023春·廣東揭陽·七年級惠來縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點D，，點E為邊上的中點，點P為上一動點，則的最小值為．

4．（2023·廣西防城港·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，點O是的中點，點D是線段上任意一點（不含端點），連接，則的最小值為．

5．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，等邊（三邊相等，三個內(nèi)角都是的三角形）的邊長為，動點D和動點E同時出發(fā)，分別以每秒的速度由A向B和由C向A運動，其中一個動點到終點時，另一個也停止運動，設(shè)運動時間為t，，和交于點F．

(1)在運動過程中，與始終相等嗎？請說明理由；
(2)連接，求t為何值時，；
(3)若于點M，點P為上的點，且使最短．當(dāng)時，的最小值為多少？請直接寫出這個最小值，無需說明理由．
6．（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，在中，．
(1)作的垂直平分線交于點，交于點（保留作圖痕跡）．
(2)連接，若，的周長是．
①求的長；
②在直線上是否存在點，使的值最小，若存在，標(biāo)出點的位置并求的最小值，若不存在，說明理由．
【經(jīng)典例題二求兩條線段差的最大值】
【例2】如圖，點，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（ ）
A．160B．150C．140D．130
【變式訓(xùn)練】
1．如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．
【經(jīng)典例題三求三條線段和的最小值（雙動點問題）】
【例3】（2021秋·重慶榮昌·八年級校考階段練習(xí)）如圖，∠AOB＝30o，∠AOB 內(nèi)有一定點P，且OP＝12，在OA 上有一動點Q，OB 上有一動點R．若△PQR 周長最小，則最小周長是( )
A．6B．12C．16D．20
【變式訓(xùn)練】
1．（2022秋·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的面積為21，于D，EF是AB邊的中垂線，點P是EF上一動點，周長的最小是等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2021秋·浙江·八年級期中）如圖，，內(nèi)有一定點P，且．在上有一動點Q，上有一動點R．若周長最小，則最小周長是________．
3．（2020秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）最短路徑問題：
例：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．
解：只有A、C、B在一直線上時，才能使AC+BC最?。鼽cA關(guān)于直線“街道”的對稱點A′，然后連接A′B，交“街道”于點C，則點C就是所求的點．
應(yīng)用：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，
在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.
（1）借助直角三角板在下圖中找出符合條件的點B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周長．
【經(jīng)典例題四最值問題的實際應(yīng)用】
【例4】（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，的三個頂點都在格點上．

(1)求出的面積；
(2)畫出關(guān)于直線對稱的；
(3)在直線上畫出點，使得的值最?。?br>【變式訓(xùn)練】
1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，兩點在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點，使；
(2)在（圖②）直線上找出一點，使的值最?。?br>(3)在（圖③）直線上找出一點，使的值最大．
2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點N，交于點M，連接．
(1)若，則的度數(shù)是___________度；
(2)若．的周長是，
①求的長度；
②若點P為直線上一點，請你直接寫出周長的最小值．
3．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點A，B，C，D是不在同一直線上的四個點，請按要求畫出圖形．
(1)作線段和射線；
(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；
(3)在平面內(nèi)作一點P，使得的和最短．
【重難點訓(xùn)練】
1．（2023春·遼寧阜新·七年級校考階段練習(xí)）如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點，若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則周長的最小值為（ ）

A．12B．8C．10D．20
2．（2022秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，邊長為的等邊中，是上中線且，點在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長的最小值是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，是下方的一動點，記，的面積分別記為，．若，則線段長的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，，，分別是邊，上的定點，，分別是邊，上的動點，記，，當(dāng)最小時，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）如圖．在五邊形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝，在BC、DE上分別找一點M、N，使得的周長最小時，則∠BAE的度數(shù)為（ ）
A．136°B．96°C．90°D．84°
6．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市真光中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是（ ）
A．B．2C．D．4
7．（2020秋·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內(nèi)一定點，并且OP＝2，點M、N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，當(dāng)△PMN的周長取最小值時，點O到線段MN的距離為（ ）
A．1B．2C．4D．1.5
8．（2023秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以AC為底邊在外作等腰，過點D作的平分線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．若，，點P是直線DE上的一個動點，則周長的最小值為（ ）
A．15B．17C．18D．20
9．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在中，，D是邊上一點，，E，F(xiàn)分別是邊上的動點，則的最小值為．
10．（2023春·重慶南岸·八年級重慶市廣益中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，等腰三角形的底邊長為2，面積是6，腰的垂直平分線分別交，于點E、F，若點D為底邊的中點，點M為線段上一動點，則的周長的最小值為．
11．（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點是邊上的一動點．已知，現(xiàn)將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點是邊的中點，則，長度的最小值為．
12．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，，，分別為射線，上的動點，為內(nèi)一點，連接，，．若，則周長的最小值為．
13．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D為AB的中點，E為線段AC上任意一點（不與端點重合），當(dāng)E點在線段AC上運動時，則DE+CE的最小值為．
14（2022秋·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，點，分別在射線，上，且，，點，分別是射線，上的動點，求的最小值為．
15．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，是的角平分線，，垂足為．若，，則的度數(shù)為．
16．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，是的兩條中線，是上的一個動點，則圖中長度與的最小值相等的線段是．
17．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，兩點在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點，使；
(2)在（圖②）直線上找出一點，使的值最?。?br>(3)在（圖③）直線上找出一點，使的值最大．
18（2022秋·北京昌平·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中畫有一段筆直的鐵路及道口A，B和村莊M，N．完成以下作圖．
(1)若在村莊N與道口A之間修一條最短的公路，在圖中畫出此公路，并說明這樣畫的理由；
(2)若在公路上選擇一個地點P安裝實時監(jiān)控系統(tǒng)，要求點P到村莊N與道口B的距離相等，在圖中標(biāo)出點P的位置；
(3)當(dāng)一節(jié)火車頭行駛至鐵路上的點Q時，距離村莊N最近．在圖中確定點Q的位置（保留作圖痕跡）；
(4)若在道口A或B處修建一座火車站，使得到兩村的距離和較短，應(yīng)該修在________處．
19．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點A，B，C，D是不在同一直線上的四個點，請按要求畫出圖形．
(1)作線段和射線；
(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；
(3)在平面內(nèi)作一點P，使得的和最短．
20．（2022秋·湖北宜昌·八年級?？计谥校┮阎?，村莊和村莊都位于筆直的小河l同側(cè)，要在河邊建一引水站，使它到村莊，需鋪設(shè)的水管長度之和最?。?br>(1)請畫出引水站的位置，并連接（包括畫圖痕跡）；
(2)若不計雜料，所用水管之和為米，且比長米，兩村莊購買水管花費元，約定按長度分?jǐn)傎M用，請計算兩村莊各需付水管購買費多少元？
21．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的點出發(fā)，帶著馬走到河邊點飲水后，再回到點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點，使的值最小，不說明理由；
（2）實踐應(yīng)用，如圖，點為內(nèi)一點，請在射線、上分別找到兩點、，使的周長最小，不說明理由；
（3）實踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點，求的最小值．
22．（2023秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，平分，交邊于點，點是邊的中點．點為邊上的一個動點．

(1)______，______度；
(2)當(dāng)四邊形為軸對稱圖形時，求的長；
(3)若是等腰三角形，求的度數(shù)；
(4)若點在線段上，連接、，直接寫出的值最小時的長度．
問題1
作法
圖形
原理
在直線l上找一點P,使得
PA+PB的和最小。
連接AB，與直線l的交點P即為所求。
兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和最小。
問題2：將軍飲馬
作法
圖形
原理
在直線l上找一點P,使得
PA+PB的和最小。
作B關(guān)于直線l的對稱點C，連AC，與直線l的交點P即為所求。
化折為直；
兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和AC最小。
問題3：兩個動點
作法
圖形
原理
點P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點C,在OB
邊上找一點D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
作P關(guān)于OA的對稱點P1，作P關(guān)于OB的對稱點P2，連接P1P2 。
兩點之間，線段最短，此時PC+PD+CD的和最小。
問題4：造橋選址
作法
圖形
原理
直線m∥n，在m，n上分別求點M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。
將點A鄉(xiāng)向下平移MN的長度得A1，連A1B，交n于點N，過N作NM⊥m于M。
兩點之間，線段最短，此時AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。

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