專題03 絕對值中的最值與化簡壓軸問題專訓(xùn)-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提升精講精練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一兩個絕對值的和的最值
題型二兩個絕對值的差的最值
題型三多個絕對值的和的最值
題型四絕對值中最值問題的應(yīng)用
題型五已知范圍的絕對值化簡
題型六未知范圍的絕對值化簡
題型七絕對值化簡問題綜合
題型訓(xùn)練：
絕對值中的10道最值問題訓(xùn)練
絕對值中的10道化簡問題訓(xùn)練
絕對值最值問題概述：
最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點，但也是高分的必須突破點，需要牢記絕對值中的最值情況規(guī)律，解題時能達到事半功倍的效果.
絕對值化簡問題概述：
絕對值化簡分為已知范圍的絕對值化簡與無范圍的絕對值化簡兩類，屬于重點題型，考卷中會經(jīng)常出現(xiàn)它的身影，且易錯，屬于必掌握類型.希望通過本專題讓大家熟練掌握這兩類壓軸題.
【經(jīng)典例題一兩個絕對值的和的最值】
【知識歸納】
目的是在數(shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離和的最小值：
結(jié)論：式子在時，取得最小值為.
【例1】（2022秋·湖北十堰·七年級統(tǒng)考期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：
(1)探究歸納：數(shù)軸上表示5和2的兩點之間的距離是3；數(shù)軸上表示﹣2和﹣6的兩點之間的距離是4；則數(shù)軸上表示﹣4和3的兩點之間的距離是______；
結(jié)論：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于．
(2)應(yīng)用：
①表示為數(shù)軸上數(shù)______和數(shù)_____兩點之間的距離；表示為數(shù)軸上數(shù)______和數(shù)_______兩點之間的距離．
②當(dāng)|a﹣4|+的值最小時，a的取值范圍______，最小值是______．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·山東日照·七年級統(tǒng)考期中）同學(xué)們都知道：表示5與之差的絕對值，實際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．請你借助數(shù)軸進行以下探索：
(1)已知點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，點B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為b，且，則___________，___________，點A和點B之間的距離為___________．
(2)設(shè)點Р在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，若，則___________．
(3)如圖，點M，N，P是數(shù)軸上的三點，點M表示的數(shù)為4，點N表示的數(shù)為，動點Р表示的數(shù)為x．
①若點Р在點M、N之間，則___________．
②若點Р表示的數(shù)是，現(xiàn)在有一螞蟻從點Р出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向右運動，當(dāng)經(jīng)過多少秒時，螞蟻所在的點到點M、點N的距離之和是8？
【變式2】（2022秋·江蘇南京·七年級?？茧A段練習(xí)）我們知道，表示數(shù)a對應(yīng)的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義，進一步地，如果數(shù)軸上兩個點A、B分別表示數(shù)a、b，那么A、B兩點之間的距離為，利用此結(jié)論，回答下列問題：
(1)數(shù)軸上表示3的點和原點的距離是；
(2)數(shù)軸上表示3和的兩點之間的距離是；
(3)數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離為2，那么x的值為；
(4)直接寫出的最小值為；
【變式3】（2022秋·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上兩點之間的距離，回答下列問題：
(1)數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是___________.
(2)數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離表示為___________.
(3)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得這樣的整數(shù)是___________
(4)若x表示一個有理數(shù)，則當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，有最小值？請寫出x的范圍，并求出這個最小值.
【經(jīng)典例題二兩個絕對值的差的最值】
【知識歸納】
目的是在數(shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：
結(jié)論：式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值.
【例2】（2022秋·山東青島·七年級青島大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點到原點的距離，也就是說表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點之間的距離．
提出問題：
有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別記為點A和點B，AB兩點之間的距離記為，那么與有理數(shù)a，b有怎樣的關(guān)系？
探究問題：
探究一：如果A，B兩點中有一點在原點，不妨假設(shè)A點在原點，即a＝0．
當(dāng)b＝2時，，如圖1所示；
當(dāng)b＝－3時，，如圖2所示；
由此可以推斷當(dāng)b＝n時，______．
探究二：
如果A，B兩點都不在原點，即，．
（1）當(dāng)A，B兩點都在原點的右側(cè)時，如圖3所示：
；
（2）當(dāng)A，B兩點都在原點的左側(cè)時，如圖4所示：；
（3）當(dāng)A，B兩點在原點的兩側(cè)時，如圖5所示，請你仿照上述探究過程，寫出A，B兩點之間的距離______．
解決問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別記為點A和點B，AB兩點之間的距離記為，那么______．（用含有a，b的式子表示）
實際應(yīng)用：
（1）數(shù)軸上，表示有理數(shù)－6和－1的兩點之間的距離是______；
（2）數(shù)軸上，表示x和2的兩點P和Q之間的距離是5，則x＝______．
拓展延伸：
結(jié)合數(shù)軸回答下列問題：
（1）的最小值是______；
（2）的最大值是______．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）學(xué)習(xí)了絕對值我們知道，，用這一結(jié)論可化簡含有絕對值的代數(shù)式．如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得和，我們就稱和分別為|和|的零點值在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值，可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)、不遺漏的五個部分，可在演草本上畫出數(shù)軸，找到對應(yīng)的部分然后進行分類討論如下：
①當(dāng)時，原式；
②當(dāng)時，原式；
③當(dāng)時，原式；
④當(dāng)時，原式；
⑤當(dāng)時，原式．
綜上所述，原式，以上這種分類討論化簡方法就叫零點分段法，其步驟是：求零點、分段、區(qū)段內(nèi)化簡、綜合，根據(jù)以上材料解決下列問題：
(1)化簡代數(shù)式；
(2)的最大值是．（請直接寫出結(jié)果）
【變式2】（2022秋·北京朝陽·七年級?？计谥校╅喿x下面材料并解決有關(guān)問題：
我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，
現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，
如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得（稱-1，2分別為與的零點值）．在次數(shù)范圍內(nèi)，零點值和可將全體實數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：
a.；b.；c.．
從而化同代數(shù)式可分以下3種情況：
①當(dāng)對，原式；
②當(dāng)時，原式；
③當(dāng)時，原式．
綜上討論，原式，
通過以上閱讀，請你解決以下問題：
(1)化簡代數(shù)式．
(2)求的最大值．
【變式3】（2022秋·貴州遵義·七年級校考階段練習(xí)）已知在數(shù)軸上點，分別表示有理數(shù)，．
(1)仔細閱讀表格并對照數(shù)軸填空：
(2)寫出數(shù)軸到表示6和的點的距離之和為12的所有點所表示的整數(shù)（除6和外）；
(3)若點表示的數(shù)為（除6和外），則在什么范圍內(nèi)時，的值總是一個固定值，并求出這個固定值；
(4)若點表示的數(shù)為，直接寫出的最大值；當(dāng)點在什么位置時，的值最小？最小值多少？
【經(jīng)典例題三多個絕對值的和的最值】
【知識歸納】
最小值規(guī)律：
①當(dāng)有兩個絕對值相加：
若已知，的最小值為，且數(shù)的點在數(shù)，的點的中間；
②當(dāng)有三個絕對值相加：
若已知，的最小值為，且數(shù)的點與數(shù)的點重合；
③當(dāng)有（奇數(shù)）個絕對值相加：
，且，則取中間數(shù)，即當(dāng)時，取得最小值為；
④當(dāng)有（偶數(shù)）個絕對值相加：
，且，則取中間段，
即當(dāng)時，取得最小值為.
【例3】（2022秋·浙江寧波·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)、，A、B兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離，請你利用數(shù)軸回答下列回答：
(1)數(shù)軸上表示2和4兩點之間的距離是_____________，數(shù)軸上表示和2兩點間的距離是___________；
(2)數(shù)軸上表示和的兩點A、B之間的距離AB=___________；如果，則的值為______________．
(3)的最小值為______________；
(4)若．求．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·河南南陽·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，請回答問題：
(1)點B表示的數(shù)是______，點C表示的數(shù)是______．
(2)折疊數(shù)軸，使數(shù)軸上的點B和點C重合，則點A與數(shù)字______重合．
(3)m、n兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離可以表示為，如5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離可以表示為，從而很容易就得出在數(shù)軸上表示5與兩點之間的距離是7．
①若x表示一個有理數(shù)，則的最小值＝______．
②若x表示一個有理數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)x的和是______．
③當(dāng)x＝______時，取最小值．
④若x表示一個有理數(shù)，且，則有理數(shù)x的取值范圍______．
⑤若將數(shù)軸折疊，使得1表示的點與表示的點重合，此時M、N兩點也互相重合，若數(shù)軸上M、N兩點之間的距離為2022（M在N的左側(cè)），則M、N兩點表示的數(shù)分別是：M：______，N：______．
【變式2】（2022秋·江蘇連云港·七年級校考階段練習(xí)）認真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題．
材料：在學(xué)習(xí)絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如表示5，3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；，所以表示5，在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；，所以表示5在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離．一般地，A，B兩點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B兩點之間的距離可表示為|a﹣b|．
(1)如果A，B，C三點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x，，1，那么點A到點B的距離與點A到點C的距離之和可表示為 ___________（用含絕對值的式子表示）；
(2)利用數(shù)軸探究：
①滿足的x的值是 ___________，
②設(shè)，當(dāng)x的取值在不小于且不大于3的范圍時，p的值是不變的，而且是p的最小值，這個最小值是 ___________；當(dāng)x的取值在 ___________的范圍時，的最小值是 ___________；
(3)求的最小值以及此時x的值；
(4)若對任意有理數(shù)x都成立，求a的最大值．
【變式3】（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)軸是研究初中數(shù)學(xué)知識的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美的結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律．已知與兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為點A，B，根據(jù)絕對值的概念可知點A到原點的距離表示為，點B到原點的距離表示為，若時，求A，B兩點之間的距離．
小明利用絕對值的概念，結(jié)合數(shù)軸，進行了探索：
因為，則有以下幾種情況：
情況一：若，，
如圖，A，B兩點之間距離：．
(1)補全小明的探索過程：
(2)數(shù)軸上表示數(shù)和的兩點之間的距離是，那么；
(3)把題目中的條件去掉，與兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為點A，B，則A，B兩點之間的距離可表示為；
(4)若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于與之間，則有最小值，最小值為
(5)的最小值為．
【經(jīng)典例題四絕對值中最值問題的應(yīng)用】
【例4】（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）先閱讀下面的材料，然后回答問題．
在一條直線上有依次排列的臺機床在工作，我們要設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，使這n臺機床到供應(yīng)站P的距離總和最小，想解決這個問題，先“退”到比較簡單的情形：
如圖①所示，如果直線上有2臺機床時，很明顯設(shè)在和之間的任何地方都行，因為甲和乙所走的距離之和等到的距離．
如圖②，如果直線上有3臺機床時，不難判斷，供應(yīng)站設(shè)在中間一臺機床處最合適，因為如果P放在處，甲和丙所走的距離之和恰好為到的距離，而如果把P放在別處，例如D處，那么甲和丙所走的距離之和仍是到的距離，可是乙還得走從到D的這一段，這是多出來的，因此P放在處是最佳選擇．
不難知道，如果直線上有4臺機床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之向的任何地方；有5臺機床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置．
(1)有69臺機床時，P應(yīng)設(shè)在何處？有82臺機床時，P應(yīng)設(shè)在何處？
(2)有n臺機床時，P應(yīng)設(shè)在何處？
(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，求的最小值．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·浙江寧波·七年級余姚市梨洲中學(xué)?？计谥校?shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．通過研究數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律，比如：數(shù)軸上點A和點B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點之間的距離，若，則可化簡為．請你利用數(shù)軸解決以下問題：
(1)已知點P為數(shù)軸上任一動點，點P對應(yīng)的數(shù)記為m，若點P與表示有理數(shù)－2的點的距離是3個單位長度，則m的值為 ______；
(2)已知點P為數(shù)軸上任一動點，點P對應(yīng)的數(shù)記為m，若數(shù)軸上點P位于表示﹣5的點與表示2的點之間，則______；
(3)已知點A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，四個點在數(shù)軸上的位置如圖所示，若，則等于 ______．
(4)若，則式子的最小值為 _______．
【變式2】（2022秋·山西朔州·七年級校考階段練習(xí)）問題提出
(1)點，在數(shù)軸上分別表示實數(shù)，，，兩點之間的距離可表示為．
代數(shù)式的幾何意義是表示有理數(shù)的點到表示數(shù)2的點與表示數(shù)的點的距離之和．利用幾何意義，可求得的最小值為___________．
(2)問題探究
如圖，點，，，在數(shù)軸上分別表示的數(shù)為，，，，是數(shù)軸上一動點，從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度向右運動，當(dāng)點出發(fā)___________秒后，到，，三點的距離和最小，此時點所處位置對應(yīng)的數(shù)字為___________，此時到，，三點的距離之和的最小值為___________．
(3)問題解決
同心抗疫，情暖居民．疫情防控期間，某一直線沿街有9個小區(qū)，依次記為，假定相鄰兩個小區(qū)間隔相同，將這個間隔記為100米．社區(qū)想為這9個小區(qū)的居民提供防疫物資，決定在路旁建立一個物資供應(yīng)站．請問點選在何處，才能使這9個小區(qū)的居民到點（物資供應(yīng)站）的距離總和最??？最小值是多少？
【變式3】（2022秋·浙江寧波·七年級慈溪市上林初級中學(xué)?？计谥校┩瑢W(xué)們都知道，表示7與之差的絕對值，實際上也可理解為7與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．如的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)的點與表示有理數(shù)6的點之間的距離．試探索∶
(1)求__________；若，則__________；
(2)的最小值是__________；
(3)當(dāng)__________時，的最小值是__________；
(4)已知則求出的最大值和最小值．
【經(jīng)典例題五已知范圍的絕對值化簡】
【知識歸納】
已知范圍的絕對值化簡步驟：
①判斷絕對值符號里式子的正負；
兩數(shù)相減：大的數(shù)-小的數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：右-左＞0；小的數(shù)-大的數(shù)＜0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：左-右＜0.
兩數(shù)相加：正數(shù)＋正數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點右側(cè)兩數(shù)相加＞0；
負數(shù)＋負數(shù)＜，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點左側(cè)兩數(shù)相加＜0；
正數(shù)＋負數(shù)：取絕對值較大數(shù)的符號，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點兩側(cè)兩數(shù)相加，取離原點遠的符號.
②將絕對值符號改為小括號：
若正數(shù)，絕對值前的正負號不變（即本身）；若負數(shù)，絕對值前的正負號改變（即相反數(shù)）.
③去括號：括號前是“＋”，去括號，括號內(nèi)不變；括號前是“－”，去括號，括號內(nèi)各項要變號.
④化簡.
【例5】（2022·浙江·九年級自主招生）若關(guān)于x的方程有四個實數(shù)解，則化簡的結(jié)果是（）
A．B．0C．2D．4
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2023秋·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)a，b，c的大小關(guān)系如圖所示，則下列各式：
①；②；③；④，其中正確個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【變式2】（2020秋·四川甘孜·七年級統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示．
給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中，正確的是__________．（填序號）
【變式3】（2023秋·廣西南寧·七年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？计谀┮阎?，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，所對應(yīng)的點分別為，，．
(1)填空：，之間的距離為______，，之間的距離為______．
(2)化簡：．
【經(jīng)典例題六未知范圍的絕對值化簡】
【知識歸納】
絕對值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對值是它本身，即； ②0的絕對值是0，即；③負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即；④絕對值具有非負性，即.
【例6】（2022秋·廣東梅州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，，都是非零有理數(shù)，滿足，令，則的值為（）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·全國·七年級期末）下列說法中，正確的個數(shù)是（）
①若，則a≥0；②若|a|＞|b|，則有（a+b）（a﹣b）是正數(shù)；
③A、B、C三點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是﹣2、6、x，若相鄰兩點的距離相等，則x＝2；
④若代數(shù)式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值與x無關(guān)，則該代數(shù)式值為2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，則的值為±1．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式2】（2022秋·福建泉州·七年級?？计谥校┮阎?，且，則共有個不同的值，若在這些不同的值中，最大的值為，則____________．
【變式3】（2022秋·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）分類討論是重要的數(shù)學(xué)方法，如化簡，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．求解下列問題：
(1)當(dāng)時，值為______，當(dāng)時，的值為______，當(dāng)x為不等于0的有理數(shù)時，的值為______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，這2023個數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個數(shù)中有n個正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）
【經(jīng)典例題七絕對值化簡問題綜合】
【例7】（2022秋·重慶·七年級重慶實驗外國語學(xué)校?？计谥校┫铝姓f法正確的有（）
①已知a，b，c是非零的有理數(shù)，且時，則的值為1或；
②已知a，b，c是有理數(shù)，且，時，則的值為或3；
③已知時，那么的最大值為7，最小值為；
④若且，則式子的值為；
⑤如果定義，當(dāng)，，時，的值為．
A．2個B．3個C．4個D．5個
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·七年級課時練習(xí)）若滿足方程，則等于（）
A．B．C．D．
【變式2】（2022秋·浙江杭州·七年級?？茧A段練習(xí)）學(xué)習(xí)了數(shù)軸與絕對值知識后，我們知道：數(shù)軸上表示數(shù)m與數(shù)n的兩點之間的距離為，則：
①表示的實際意義是 _____．
②的最小值是 _____．
③的最小值是 _____．
【變式3】（2022秋·重慶·七年級重慶市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列有關(guān)材料并解決有關(guān)問題．我們知道，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來化簡含絕對值的代數(shù)式．例如：化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得和（稱-1，2分別為與的零點值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：，，．從而在化簡時，可分以下三種情況：①當(dāng)時，原式；②當(dāng)時，原式；③當(dāng)時，原式．通過以上閱讀，請你解決問題：
(1)的零點值是__________．
(2)化簡代數(shù)式；
(3)解方程．
【培優(yōu)檢測】
絕對值中的10道最值問題訓(xùn)練
1．（2022秋·河南安陽·七年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：我們知道：點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上、兩點之間的距離．所以式子的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點與表示有理數(shù)的點之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問題：
(1)若，則___________；
(2)式子的最小值為___________；
(3)若，求的值．
2．（2022秋·全國·七年級期中）閱讀下面材料：
點在數(shù)軸上分別表示實數(shù)兩點之間的距離表示為．
當(dāng)兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1，；
當(dāng)兩點都不在原點時，
（1）如圖2，點都在原點的右邊，；
（2）如圖3，當(dāng)點都在原點的左邊，；
（3）如圖4，當(dāng)點在原點的兩邊，；
回答下列問題：
(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是；
(2)數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離是，如果，那么x為；
(3)當(dāng)代數(shù)式取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是．
3．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀材料：我們知若點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點間的距離表示為．則．所以式子的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)3的點之間的距離．根據(jù)上述材料試探索：
(1) ．
(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使成立．
(3)由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．
4．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）同學(xué)們都知道，表示5與之差的絕對值，實際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：
(1) ；當(dāng)時，．
(2)表示與之間的距離；表示與之間的距離；找出所有符合條件的整數(shù)x，使得，這樣的整數(shù)有（直接寫出答案）
(3)由以上探索，請你結(jié)合數(shù)軸猜想：對于任何有理數(shù)x，是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．
5．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）先閱讀，后探究相關(guān)的問題．
【閱讀】表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；可以看作，表示5與的差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．
(1)如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點2.5的相反數(shù)的點B，再把點A向左移動1.5個單位，得到點C，則點B和點C表示的數(shù)分別為和，B，C兩點間的距離是．
(2)數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離表示為；如果，那么x為．
(3)若點A表示的整數(shù)為x，則當(dāng)x為時，與的值相等．
(4)要使代數(shù)式取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是，最小值是．
6．（2020秋·浙江紹興·七年級校考期中）已知點A．B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為m、n．
(1)填寫下表：
(2)若A、B兩點的距離為d，則___（用含m，n的式子表示）
(3)由（2）的結(jié)論可知的意義是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示___的點的距離．
(4)若動點C表示的數(shù)為x，則的最小值是___．
(5)若動點C表示的數(shù)為x，則當(dāng)x＝___時，取最小值．
7．（2022秋·七年級單元測試）問題背景
數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)，我們知道，它的幾何意義是數(shù)軸上表示4的點與原點（即表示0的點）之間的距離，又如式子，它的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)7的點與表示數(shù)3的點之間的距離，即若點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A、B之間的距離可表示為．
問題探究
(1)若，則．
(2)若，則．
(3)若，則．
問題解決
(4)若在數(shù)軸上有兩個點M、N，它們在數(shù)軸上的點表示的數(shù)分別為m、n，滿足且的值最小，則兩個點M、N之間的距離是．
8．（2022秋·江西贛州·七年級統(tǒng)考期中）【閱讀】若點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為，則，即表示為5與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．
【探究】
(1)點A，B表示的數(shù)分別為，2，則__________，在數(shù)軸上可以理解為____________．
(2)若，則_________，若，則__________．
【應(yīng)用】
(3)如圖，數(shù)軸上表示點a的點位于和2之間，求的值．
(4)由以上的探索猜想，對于任意有理數(shù)x，是否有最小值？如果有，求出最小值，并寫出此時x的值：如果沒有，說明理由．
9．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，C點表示數(shù)c，且a，c滿足以下關(guān)系式：，．
(1)a=______；c=______；
(2)若將數(shù)軸折疊，使得A點與B點重合，則點C與數(shù)______表示的點重合；
(3)若點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)代數(shù)式取得最小值時，此時x=______，最小值為______．
10．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)3的點的距離．
根據(jù)以上材料回答一列問題：
(1)若，則______．若，則_____．
(2)若，則能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)當(dāng)，求的最大值和最小值．
絕對值中的10道化簡問題訓(xùn)練
1．（2022秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡代數(shù)式：（）
A．B．C．D．
2．（2022秋·江蘇無錫·七年級校考期中）規(guī)定：，．例如，．下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）
①能使成立的的值為或；
②若，則；
③式子的最小值是；
④式子的最大值是．
A．B．C．D．
3．（2023秋·廣東佛山·七年級?？计谀┤?＜x＜2，則的值是（）
A．﹣3B．﹣1C．2D．1
4．（2022秋·山東臨沂·八年級?？茧A段練習(xí)）已知表示兩個非零的實數(shù)，則的值不可能是（）
A．2B．–2C．1D．0
5．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知m、n是兩個非零有理數(shù)，則=_________
6．（2022·全國·七年級假期作業(yè)）如果，，，那么代數(shù)式的最小值為______．
7．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）若abc＞0，a+b+c=0，則=____．
8．（2022秋·七年級課時練習(xí)）如圖，數(shù)軸上點，，對應(yīng)的有理數(shù)分別是，，，，且，則______．
9．（2022秋·全國·七年級期末）已知有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，且
（1）求和的值
（2）化簡：
10．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）已知數(shù)軸上兩個點之間的距離等于這兩個點表示的數(shù)的差的絕對值．如圖1，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為1，點C表示的數(shù)為3，則B，C之間的距離表示為：，A，C之間的距離表示為：．
若點P在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，則P，A之間的距離表示為：，P，B之間的距離表示為：．
（1）如圖1，
①若點P在點A左側(cè)，化簡_________；
②若點P在線段上，化簡_________；
③若點P在點B右側(cè)，化簡_________；
④由圖可知，的最小值是_________．
（2）請按照（1）問的方法思考：的最小值是_________．
（3）如圖2，在一條筆直的街道上有E，F(xiàn)，G，H四個小區(qū)，且相鄰兩個小區(qū)之間的距離均為．已知E，F(xiàn)，G，H四個小區(qū)各有2個，2個，3個，1個小朋友在同一所小學(xué)的同一班級上學(xué)，安全起見，這8個小朋友約定先在街道上某處匯合，再一起去學(xué)校．聰明的小朋友們通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的M處匯合會使所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和最小，請直接寫出匯合地點M的位置和所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和的最小值．
分類情況（的取值范圍）
圖示
取值情況
當(dāng)時
無法確定
當(dāng)時
的值為定值，即為
當(dāng)
無法確定
分類情況（的取值范圍）
圖示
取值情況
當(dāng)時
的值為定值，即為—
當(dāng)時
當(dāng)
的值為定值，即為
8
5
4
0
，兩點間的距離
4
8
4
m
5
n
3
0
4
A，B兩點的距離
2
5

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