1.會用尺規(guī)作圖法作一個角的平分線，知道作法的理論依據(jù).（重點）2.探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點）3.能運用角平分線的性質(zhì)解決簡單的幾何問題. （重點）4.初步體驗如何將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言.
1.什么是點到直線的距離？
直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.
如圖， 就是點O到直線AB的距離.
2.角平分線的概念是什么？
一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.
如圖，OC是∠AOB的平分線.
3.什么叫做三角形的角平分線？
在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.如圖，AD就是△ABC的角平分線.
4.在紙上畫一個角，怎樣能得到這個角的平分線？
方法一：用量角器度量；方法二：將角對折，使其兩邊重合.折痕即為這個角的平分線．　　
根據(jù)SSS可證△ADC≌△ABC.∵全等三角形的對應角相等，∴∠DAC=∠BAC.∵點C在射線AE上，∴AE是這個角的平分線.
根據(jù)平分角的儀器的原理，你能用圓規(guī)和直尺畫出已知角的平分線嗎？
提示：(1)在平分角的儀器中，AD=AB，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(2)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.
作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.
（3）畫射線OC.射線OC即為所求.
經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，PD=PE.
猜想 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
(2)在OC上再取幾個點試一試.
如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.
證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE.
一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即
1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.
該性質(zhì)定理的幾何語言：
∵OC是∠AOB的平分線， 點P在OC上， PD⊥OA,PE⊥OB，
1.判斷下列結(jié)論是否成立，不成立的請說明原因.①如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，D，E分別為OA、OB上的點，則PD=PE.（ ）
因為PD不垂直O(jiān)A，PE不垂直O(jiān)B，即PD，PE不是角平分線上的點到角兩邊的距離.
②如圖，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE.（ ）
因為OC不是∠AOB的平分線.
③如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA，垂足為D.若PD=3，則點P到OB的距離為3.（ ）
2.如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D,E，PD=4cm，則PE=______cm.
3.（2021?福建改編）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝2，則點D到AC的距離是　 ?。?
屬于基本作圖，必須熟練掌握
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
過角平分線上一點向兩邊作垂線段
1.如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
2.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（ ）A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等
3.（2021?青海）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（　?。〢．8 B．7.5 C．15 D．無法確定
4.（2021?長沙）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若BC＝4，DE＝1.6，則BD的長為 　 　．
【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案為2.4.
5.如圖,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,E、D為垂足，CF=CB.求證: BE=FD.
6.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若AB=8cm，求△DEB的周長.
解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC， ∴△DEB的周長=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=8cm.
7.如圖, CD是△ABC的角平分線, DE⊥BC,垂足為E,AC=4,BC=10,S△ABC=14 ,求DE的長.
解:如圖，過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F.
8.求證：三角形的一邊的兩端點到這條邊上的中線所在的直線的距離相等.
已知:如圖，AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點F，BE⊥AD交AD的延長線于點E.求證：BE=CF.
證明：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD.∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°.

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12.3 角的平分線的性質(zhì)

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