高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)1.1 空間向量及其運(yùn)算精品習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?1.1.1 空間向量及其運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1．理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論.
2．會(huì)進(jìn)行空間向量的線性運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運(yùn)算.
1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的相關(guān)運(yùn)算及空間距離的求解.
2．利用空間向量的相關(guān)定理及推論進(jìn)行空間向量共線、共面的判斷..

知識(shí)點(diǎn)1 空間向量的有關(guān)概念
1．在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模．
注：數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。
2. 表示法：
（1）幾何表示法：空間向量用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示空間向量的模
（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則a也可記作，其模記為|a|或||.
3．幾類特殊的空間向量
名稱
定義
表示法
零向量
規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量
記為0
單位向量
模為1的向量叫做單位向量
|a|＝1或||＝1
相反向量
與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量
記為－a
共線向量
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)于任意向量a，都有0∥a
a∥b或∥
相等向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量
a＝b或＝
注意點(diǎn)：
(1)平面向量是一種特殊的空間向量．
(2)兩個(gè)向量相等的充要條件為長(zhǎng)度相等，方向相同．
(3)向量不能比較大?。?br /> (4)共線向量不一定具備傳遞性，比如0．
易錯(cuò)辨析：
（1）空間向量就是空間中的一條有向線段？有向線段是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來(lái)．
（2）單位向量都相等？單位向量長(zhǎng)度相等，方向不確定
（3）共線的單位向量都相等? 共線的單位向量是相等向量或相反向量
（4）若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓？將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)球
（5）任一向量與它的相反向量不相等？零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的．
（6）若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反？|a|＝|b|只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等而方向不確定
（7）若向量，滿足||>||，則>？向量不能比較大小
（8）空間中，a∥b，b∥c，則a∥c？平行向量不一定具有傳遞性，當(dāng)b＝0時(shí)，a與c不一定平行
（9）若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p？向量的相等滿足傳遞性
（10）若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同？當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等；但當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，不一定起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同
【即學(xué)即練1】【多選】給出下列命題，其中正確的命題是（???????）
A．若，則或
B．若向量是向量的相反向量，則
C．在正方體中，
D．若空間向量，，滿足，，則
【解析】依據(jù)向量相等的概念，選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；
若向量是向量的相反向量，則.選項(xiàng)B判斷正確；
依據(jù)向量相等的概念，在正方體中，.選項(xiàng)C判斷正確；
依據(jù)向量相等的概念，若空間向量，，滿足，，則.選項(xiàng)D判斷正確.
故選：BCD.

【即學(xué)即練2】如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，則下列向量相等的是(　　)

A.與 B.與 C.與 D.與
【解析】對(duì)于A，與的方向相反，因而不是相等向量，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，與的方向相反，因而不是相等向量，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，與的方向不同，因而不是相等向量，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，與的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正確．故選D

知識(shí)點(diǎn)2 空間向量的線性運(yùn)算
（一）空間向量的加減運(yùn)算
加法運(yùn)算
三角形
法則
語(yǔ)言敘述
首尾順次相接，首指向尾為和
圖形敘述

平行四邊形法則
語(yǔ)言敘述
共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線為和
圖形敘述

減法運(yùn)算
三角形
法則
語(yǔ)言敘述
共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量
圖形敘述

加法運(yùn)算
交換律
a＋b＝b＋a
結(jié)合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

注意點(diǎn)：
（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；
（2）求向量和時(shí)，可以首尾相接，也可共起點(diǎn)；求向量差時(shí)，可以共起點(diǎn)．
（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，
即：
因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，
即：；

（二）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
定義
與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘
幾何意義
λ>0
λa與向量a的方向相同

λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍
λ||，則>
D．相等向量其方向必相同
【解析】A中，單位向量長(zhǎng)度相等，方向不確定；
B中，|a|＝|b|只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等而方向不確定；
C中，向量不能比較大?。?br /> 故選D

變式1：【多選】下列命題為真命題的是(　　)
A．若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b
B．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C．若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p
D．空間中，a∥b，b∥c，則a∥c
【解析】A為假命題，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；
B為真命題，與的方向相同，模也相等，故＝；
C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；
D為假命題，平行向量不一定具有傳遞性，當(dāng)b＝0時(shí)，a與c不一定平行．
故選BC

變式2：下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．若|a|＜|b|，則a＜b
B．若a，b為相反向量，則a＋b＝0
C．空間內(nèi)兩平行向量相等
D．四邊形ABCD中，－＝
【解析】向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，A錯(cuò)；相反向量的和為0，不是0，B錯(cuò)；相等向量滿足模相等，方向相同兩個(gè)條件，平行向量不一定具備，C錯(cuò)；D正確．故選D

【例1-2】如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，

(1)試寫(xiě)出與相等的所有向量；
(2)試寫(xiě)出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
【解析】(1)與向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3個(gè)．
(2)向量的相反向量為，，，.
(3)||＝＝＝3.

變式1：如圖，在長(zhǎng)方體中，為與的交點(diǎn).若，，，則下列向量中與相等的向量是（???????）

A． B．
C． D．
【解析】連接交于點(diǎn)，連接，

對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選：A.

變式2：向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＋b為實(shí)數(shù)0
C．a(chǎn)與b方向相同 D．|a|＝3
【解析】向量a，b互為相反向量，則a，b模相等，方向相反，故選D.

變式3：【多選】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中正確的有(　　)
A．＋與＋是一對(duì)相反向量
B．－與－是一對(duì)相反向量
C．＋＋＋與＋＋＋是一對(duì)相反向量
D．－與－是一對(duì)相反向量
【解析】∵O為正方體的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－(＋)，同理可得＋＝－(＋)，故＋＋＋＝－(＋＋＋)，∴A、C正確；∵－＝，－＝D1A1―→，∴－與－是兩個(gè)相等的向量，∴B不正確；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－(－)，∴D正確．

考點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算
解題方略：
1、解決空間向量線性運(yùn)算問(wèn)題的方法
進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是在正確運(yùn)用向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律的基礎(chǔ)上進(jìn)行向量求和，即通過(guò)作出向量，運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則求和．運(yùn)算的關(guān)鍵是將相應(yīng)的向量放到同一個(gè)三角形或平行四邊形中．
注：(1)向量減法是加法的逆運(yùn)算，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．
(2) 首尾相連的若干向量構(gòu)成封閉圖形時(shí)，它們的和向量為零向量．
2、空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．
3、利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧
(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．
(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．
【例2-1】已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：

(1)＋＋′；
(2) ′－＋；
(3)＋＋(′－)．
【解析】(1)＋＋′＝＋＋′＝′；
(2)′－＋＝′－(－)＝′－＝′；
(3)＋＋(′－)＝＋(′＋)＝＋′.

設(shè)M是線段CB′中點(diǎn)，則＋＋(′－)＝＋＝.
向量′，′，如圖所示．

變式1：若本例條件不變，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：
(1)＋＋；
(2)＋＋.
【解析】(1)＋＋＝－＋＝＋，
設(shè)P是線段CC′的中點(diǎn)，則
＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋(＋)＝＋
設(shè)Q是線段的中點(diǎn)，則
＋＋＝＋＝＋＝，向量，如圖所示．
變式2：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列選項(xiàng)中化簡(jiǎn)后為零向量的是(　　)
A．＋＋　　　　 B．－＋
C．＋＋ D．＋＋
【解析】在選項(xiàng)C中，＋＋＝(＋)＋＝0.故選C

變式3：【多選】如圖，在正方體ABCD －A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為的是(　　)

A.－－
B.＋－
C.－－
D.－＋
【解析】A中，－－＝－＝；
B中，＋－＝＋＝；
C中，－－＝－＝－＝≠；
D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故選AB.

變式4：如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點(diǎn)，請(qǐng)化簡(jiǎn)以下式子，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果．

(1)＋－；
(2)－－.
【解析】(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如圖中向量.

(2)－－＝＋＋＝＋＝，如圖中向量.

【例2-2】設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點(diǎn)，且＋＝＋，則四邊形ABCD是(　　)
A．平行四邊形 B．空間四邊形
C．等腰梯形 D．矩形
【解析】∵＋＝＋，∴＝.∴∥且||＝||.∴四邊形ABCD為平行四邊形．故選A

【例2-3】如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：

(1)；(2)；(3).
【解析】(1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中點(diǎn)，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.

變式1：如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（???????）

A． B．
C． D．
【解析】由題意得，.
故選：D

變式2：正六棱柱中，設(shè)，，，那么等于（???????）
A． B． C． D．
【解析】正六棱柱中，
,故選：B

變式3：如圖，在四面體ABCD中，E，G分別是CD，BE的中點(diǎn)，若記＝a，＝b，＝c，則＝________.

【解析】在四面體ABCD中，E，G分別是CD，BE的中點(diǎn)，
則＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)
＝＋＋－
＝＋＋
＝a＋b＋c.

變式4：在如圖所示的正四面體OABC中，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，AB，BC，OC的中點(diǎn)．設(shè)，，，則下列說(shuō)法不正確的是（???????）．

A． B．
C． D．
【解析】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是OA，AB的中點(diǎn)，所以，故A正確；
因?yàn)镕，G分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以，故B正確；
因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以，故C正確；
因?yàn)?，所以D不正確．
故選：D

【例2-4】已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各題中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解析】(1)由圖可知，＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y(tǒng)＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.∵＋＝2，∴＝2－，
∴＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.

變式1：如圖，設(shè)O為?ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若＝＋x＋y，求x，y的值．

【解析】法一：＝－＝－＝(＋)－＝(＋－)－＝－＋＋，
∴x＝，y＝－.
法二：因?yàn)椋剑剑剑?br /> ＝－＋(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋(－)
＝－＋＋，
所以x＝，y＝－.

考點(diǎn)三空間向量共線問(wèn)題
解題方略：
1．要判定空間圖形中的兩向量共線，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊形，并利用向量運(yùn)算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使其中一個(gè)向量表示為另一個(gè)向量的倍數(shù)關(guān)系，即可證得這兩向量共線．
2．證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法
(1)＝λ (λ∈R)．
(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋t (t∈R)．
(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y (x＋y＝1)．　　　　
【例3-1】若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則(　　)
A．P∈AB B．P?AB
C．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對(duì)
【解析】因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，
即＝n，所以與共線．又，有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈AB.故選A

【例3-2】設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則k＝________.
【解析】由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴與共線，即存在λ∈R，使得＝λ.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.∵e1，e2不共線，∴解得k＝－8.

變式1：已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．
【解析】，而，
所以，故B，C，D三點(diǎn)共線．

【例3-3】如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷與是否共線．

【解析】因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形，所以＝＋＋＝＋＋.
又因?yàn)椋剑剑?br /> 以上兩式相加得＝2，所以∥，
即與共線．

變式1：如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點(diǎn)，且＝，BD與AC交于點(diǎn)M.求證：C1，O，M三點(diǎn)共線．
證明：如圖，連接AO，AC1，A1C1.
∵＝，

∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋.
∵＝2，＝＋＝－＝－2，
∴＝(－2)＋＝＋.
∵＋＝1，∴C1，O，M三點(diǎn)共線.

考點(diǎn)四空間向量共面問(wèn)題
解題方略：
1．解決向量共面的策略
(1)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．
(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來(lái)表示．
2．證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的等價(jià)結(jié)論
(1) ＝x＋y；
(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋x＋y；
(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；
(4)∥ (或∥或∥)．　　　　

【例4-1】如圖，、分別是空間四邊形的邊、的中點(diǎn)，則向量與、______．（填“共面”或“不共面”）

【解析】由圖可知：.
則向量與、共面.
故答案為：共面

【例4-2】在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是(　　)
A．＝3－2－
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＝0
D．＝－＋
【解析】∵＋＋＝0，∴＝－－，∴M與A，B，C必共面．故選C

變式1：下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（???????）
A． B．
C． D．
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.
故選：D.

變式2：對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若有＝x＋y＋z，則“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的(　　)
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】若x＋y＋z＝1，則＝(1－y－z)·＋y＋z，即＝y(tǒng)＋z，由共面向量定理可知向量，，共面，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面；反之，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，＝0，x可取任意值，不一定有x＋y＋z＝1，故“x＋y＋z＝1”是“P，A，B，C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件．故選B

變式3：O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t＝______．
【解析】P，A，B，C四點(diǎn)共面，且，，解得.故答案為:

變式4：已知平面ABCD外任意一點(diǎn)O滿足，．則取值是（???????）
A． B． C． D．
【解析】由向量共面定理可知：，解得：.
故選：A

變式5：已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（???????）
A． B． C． D．
【解析】

由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線
可得，解之得
故選：D
【例4-3】已知非零向量e1，e2不共線，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面．
證明：令＝x＋y，則e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2)＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2.
∵e1和e2不共線，∴解得
∴＝＋，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面．

變式1：如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N∈AC，且AN∶NC＝2，求證：A1，B，N，M四點(diǎn)共面．
【證明】設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝b－a，
∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2，∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋＝＋
∴，，為共面向量．
又∵三向量有相同的起點(diǎn)A1，
∴A1，B，N，M四點(diǎn)共面．

變式2：已知E，F(xiàn)，G，H分別為四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：
(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)BD∥平面EFGH.
證明：如圖，連接EG，BG.

(1)因?yàn)椋剑剑?＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要條件知：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
(2)因?yàn)椋剑剑?，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.

變式3：如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.
證明：法一：過(guò)P，Q分別作PS∥AD交BD于點(diǎn)S，QT∥AD交CD于點(diǎn)T，連接ST(圖略)，
則＝，＝.
因?yàn)椋?，所以＝?br /> 所以四邊形PQTS是平行四邊形，則＝.
又PQ?平面BCD，ST?平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
法二：由圖形易得＝＋＋
＝＋＋
＝(＋)＋＋＋
＝(＋＋)＋＋＋
＝(＋)＋
＝＋.
根據(jù)空間向量共面的定義，，，共面，
又因?yàn)镻Q?平面BCD，所以PQ∥平面BCD.

題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1、如圖，在平行六面體中，　　

A． B． C． D．
【解析】為平行四面體，
．
故選：．

2、【多選】如圖，在正方體中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量的是　　

A． B．
C． D．
【解析】對(duì)于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)正確．
對(duì)于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)正確．
對(duì)于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)正確．
對(duì)于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．

3、如圖，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是　　

A． B． C． D．
【解析】由于，，，則，
故：；
故選：．

4、如圖：在平行六面體中，為，的交點(diǎn)．若，，，則向量　　

A． B． C． D．
【解析】由題意得：

故選：．

5、如圖，在四面體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則　　

A． B． C． D．
【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)，由于，，
所以：．
故選：．

6、設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為　?。?br /> 【解析】，，，
，
又，，三點(diǎn)共線，，
，，
故答案為：．

7、在正方體中，下列各組向量與共面的有　　
A．， B．， C．， D．，
【解析】在正方體中，
對(duì)于，與平面相交，，與不共面，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，與平面相交，，，與不共面，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，平面，平面，
平面，，與共面，故正確；
對(duì)于，與平面相交，，與不共面，故錯(cuò)誤．
故選：．

8、設(shè)，，，為空間中的四個(gè)點(diǎn)，則“”是“，，，四點(diǎn)共面”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】，，，為空間中的四個(gè)點(diǎn)，
①當(dāng)時(shí)，則，，，四點(diǎn)共面，
②當(dāng)，，，四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線時(shí)，滿足，，，四點(diǎn)共面，但不滿足，
是，，，四點(diǎn)共面的充分不必要條件，
故選：．

題組B 能力提升練
1、如圖所示，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則等于　　

A． B． C． D．
【解析】為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
，，
，
故選：．

2、在三棱錐中，，，，點(diǎn)在棱上，且，為中點(diǎn)，則等于　　
A． B． C． D．
【解析】三棱錐體中，，，，
點(diǎn)在棱上，且，為中點(diǎn)，
所以，，
故．
故選：．

3、如圖，在正方體中，，，，為底面的中心，為△的重心，則　　

A． B． C． D．
【解析】在正方體中，
，，，為底面的中心，為△的重心，

．
故選：．

4、下列條件中，一定使空間四點(diǎn)、、、共面的是　　
A． B．
C． D．
【解析】對(duì)于選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面．
故選：．

5、已知，，三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，若由向量確定的點(diǎn)與，，共面，那么　?。?br /> 【解析】由題意，，三點(diǎn)不共線，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，
若由向量確定的點(diǎn)與，，共面，

解得
故答案為：

6、如圖所示，在三棱柱中，是中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．

【解析】（1）；
（2）；
（3）．

題組C 培優(yōu)拔尖練
1、設(shè)是所在平面外的一點(diǎn)，是的重心，求證：．

【解析】證明：

2、已知矩形，為平面外一點(diǎn)，且平面，，分別為，上的點(diǎn)，且，，，則的值為　　

A． B． C．1 D．
【解析】由題可知，，
所以，
所以，所以，
故選：．

3、如圖所示，在平行六面體中，，．試運(yùn)用向量方法證明：，，三點(diǎn)共線．

【解析】證明：【方法一】在平行六面體中，
連接，，．因?yàn)?，?br /> 所以

；

，
顯然，，所以，
又，所以，，三點(diǎn)共線．

【方法二】證明：在平行六面體中，
連接，．由題意，，，
易得，
所以．又，故，，三點(diǎn)共線．

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