人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)1.1 空間向量及其運(yùn)算當(dāng)堂檢測(cè)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題1.1 利用空間向量法求空間中的距離（特色專題卷）
考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分
姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
考卷信息：
本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時(shí)150分鐘，試卷緊扣教材，細(xì)分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎(chǔ)，提能力！
一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1.（2020秋?臨渭區(qū)期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，0，2），則點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】利用空間中兩點(diǎn)間距離公式直接求解．
【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，0，2），
則點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為：
|MO|=(-1)2+02+22=5．
故選：D．
2.（2021春?瑤海區(qū)月考）已知空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的點(diǎn)A（2，﹣1，﹣3）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)為B，則|AB|的值為（　?。?br /> A．14 B．4 C．6 D．210
【分析】利用點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)求出點(diǎn)B，然后由空間兩點(diǎn)間距離公式求解即可．
【解答】解：A（2，﹣1，﹣3）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)為B（2，﹣1，3），
所以|AB|=(2-2)2+(-1+1)2+(-3-3)2=6．
故選：C．
3．（2019?西湖區(qū)校級(jí)模擬）空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則B，C間的距離為（　?。?br /> A．5 B．14 C．25 D．214
【分析】推導(dǎo)出B（1，2，﹣3），C（﹣1，﹣2，﹣3），由此能求出B，C間的距離．
【解答】解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，
關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，
∴B（1，2，﹣3），C（﹣1，﹣2，﹣3），
則B，C間的距離為|BC|=(1+1)2+(2+2)2+(-3+3)2=25．
故選：C．
4．已知M（4，3，﹣1），記M到x軸的距離為a，M到y(tǒng)軸的距離為b，M到z軸的距離為c，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【分析】根據(jù)空間點(diǎn)（x，y，x）到x軸的距離等于y2+z2，到y(tǒng)軸的距離等于x2+z2，到z軸的距離等于x2+y2，代入數(shù)據(jù)即可求出所求．
【解答】解：∵M(jìn)（4，3，﹣1）
∴M到x軸的距離a=32+(-1)2=9+1=10，
M到y(tǒng)軸的距離b=42+(-1)2=17，
M到z軸的距離c=42+32=5
∵5＞17＞10
∴c＞b＞a
故選：B．
5．（2020秋?太原期末）已知a→=（1﹣t，1，0），b→=（2，t，t），則|b→-a→|的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則得到b→-a→=（1+t，t﹣1，t），從而|b→-a→|=(1+t)2+(t-1)2+t2=3t2+2，由此能求出當(dāng)t＝0時(shí)，|b→-a→|取最小值2．
【解答】解：∵a→=（1﹣t，1，0），b→=（2，t，t），
∴b→-a→=（1+t，t﹣1，t），
∴|b→-a→|=(1+t)2+(t-1)2+t2
=3t2+2，
∴當(dāng)t＝0時(shí)，|b→-a→|取最小值2．
故選：B．
6.（2015春?廣安校級(jí)月考）已知直線l的方向向量為a→=（﹣1，0，1），點(diǎn)A（1，2，﹣1）在l上，則點(diǎn)P（2，﹣1，2）到l的距離為（　?。?br /> A．15 B．4 C．17 D．32
【分析】根據(jù)點(diǎn)P到直線l的距離為|PA→|?sin＜a→，PA→＞，分別計(jì)算向量的模長與夾角的正弦值即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得；
PA→=（﹣1，3，﹣3），
a→=（﹣1，0，1），
∴cos＜a→，PA→＞=1+0-32×19=-219，
∴sin＜a→，PA→＞=1719；
又∵|PA→|=19，
∴點(diǎn)P（2，﹣1，2）到直線l的距離為
|PA→|sin＜a→，PA→＞=19×1719=17．
故選：C．
7．（2020秋?仁壽縣校級(jí)期中）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，A1C的中點(diǎn)E到AB的中點(diǎn)F的距離為（　?。?br />
A．22 B．2 C．2 D．1
【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，先分別求出E和F的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求解．
【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1
∴A1（2，0，2），C（0，2，0），A1C的中點(diǎn)E（1，1，1），
A（2，0，0），B（2，2，0），AB的中點(diǎn)F（2，1，0），
∴A1C的中點(diǎn)E到AB的中點(diǎn)F的距離為：
|EF|=(2-1)2+(1-1)2+(0-1)2=2．
故選：B．

8．（2018?甘肅模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作平面α∥平面PAD，截棱錐所得圖形面積為y，若平面α與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)y＝f（x）的圖象是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】過M作MN⊥平面ABCD，交AB于N，過N作NQ∥AD，交CD于Q，過Q作QH∥PD，交PC于H，連結(jié)MH，則平面MNQH是所求的平面α，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：過M作MN⊥平面ABCD，交AB于N，過N作NQ∥AD，交CD于Q，
過Q作QH∥PD，交PC于H，連結(jié)MH，
則平面MNQH是所求的平面α，
∵過點(diǎn)M作平面α∥平面PAD，
截棱錐所得圖形面積為y，平面α與平面PAD之間的距離為x，
∴2-x2=MN4，解得MN＝4﹣2x，
ANAB=PMPB=MHBC，即x2=MH2，∴MH＝x，NQ＝2，
∴函數(shù)y＝f（x）=x+22?(4-2x)=-x2+4，（0＜x＜2）．
∴函數(shù)y＝f（x）的圖象如下圖．

故選：D．
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9.（2020秋?海珠區(qū)期末）已知直線l1、l2的方向向量分別是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），若|AB→|＝6且l1⊥l2，則x+y的值可以是（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】由|AB→|＝6且l1⊥l2，列出方程組，求出x，y的值，由此能求出x+y的值．
【解答】解：∵直線l1、l2的方向向量分別是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），|AB→|＝6且l1⊥l2，
∴4+16+x2=64+4y+2x=0，解得x2=16x+2y+2=0，
∴x=4y=-3或x=-4y=1，
∴x+y＝1或x+y＝﹣3．
故選：AC．
10.如圖，已知E是棱長為2的正方體的棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D到面的距離為d，直線DE與面所成的角為，面與面AED的夾角為，則???
A. 面? B.
C. ????? D.
【分析】
本題考查了利用空間向量求線面和面面的夾角、考查了利用空間向量判定線面的垂直關(guān)系，考查了利用空間向量求點(diǎn)到面的距離，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可分析判斷各選項(xiàng)是否正確.
【解答】
解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則由，得
令，則，，故
，不存在使，即與不共線，與面不垂直，
故A不正確；
又，，故B正確；
又〈，〉正確；
又為平面AED的一個(gè)法向量，
，故D正確.
故選
11.如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為AC，，AB的中點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是

A. 與EF相交 B. 平面DEF
C. EF與所成的角為 D. 點(diǎn)到平面DEF的距離為
【分析】
本題主要考查異面直線的位置關(guān)系，線面平行的判定，異面直線所成角以及點(diǎn)到面的距離，利用空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的思維能力及綜合分析能力，屬較難題.
利用異面直線的位置關(guān)系，線面平行的判定方法，利用空間直角坐標(biāo)系異面直線所成角和點(diǎn)到面的距離，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷.
【解答】
解：對(duì)選項(xiàng)A，由圖知平面，平面，且
由異面直線的定義可知與EF異面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，在直三棱柱中，?
，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，
，
?
又平面DEF，平面DEF，
?平面DEF，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
，，，
，
，
，
與所成的角為故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)向量是平面DEF的一個(gè)法向量．
，，
由即得
取，則，，
設(shè)點(diǎn)到平面DEF的距離為
又，
，
點(diǎn)到平面DEF的距離為，故D正確．
故選
12.（2020秋?滄州期中）在三棱錐P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝6，AB＝BC＝AC＝62，E為PA的中點(diǎn)，D，F(xiàn)分別在AC，PB上，且AD：CD＝PF：BF＝2：1，則（　?。?br /> A．PA⊥BC
B．AB∥平面DEF
C．點(diǎn)C到平面DEF的距離是32613
D．平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為47839
【分析】推出PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，以P為原點(diǎn)，以PB，PC，PA的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P﹣xyz，推出PA→?BC→=0，判斷A；求出平面DEF的法向量，通過AB→?m→≠0，判斷B；利用空間距離公式求解判斷C；求出二面角的余弦函數(shù)值判斷D．
【解答】解：因?yàn)镻A=PB=PC=6，AB=BC=AC=62，
所以PA2+PB2＝AB2，PA2+PC2＝AC2，PB2+PC2＝BC2，
所以PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，
故以P為原點(diǎn)，以PB，PC，PA的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P﹣xyz，
則P（0，0，0），A（0，0，6），B（6，0，0），C（0，6，0），
D（0，4，2），E（0，0，3），F(xiàn)（4，0，0），
從而PA→=（0，0，6），BC→=（﹣6，6，0），AB→=（6，0，﹣6），DF→=（4，﹣4，﹣2），EF→=（4，0，﹣3），
因?yàn)镻A→?BC→=0，所以PA→⊥BC→，則A正確；
設(shè)平面DEF的法向量為m→=（x，y，z），
m→?EF→=0m→?DF→=0，即4x-3z=04x-4y-2z=0，令x＝3，得m→=（3，1，4），
因?yàn)锳B→?m→=6×3+0﹣6×4＝﹣6≠0，所以AB與平面DEF不平行，則B錯(cuò)誤；
因?yàn)镃E→=（0，﹣6，3），所以點(diǎn)C到平面DEF的距離是||CE→|cos?CE→，m→?|=CE→?m→|m→|=0-6×1+3×49+1+16=32613，則C正確；
設(shè)平面ABC的法向量為n→=（x1y1，z1），令x1＝1，得n→=（1，1，1），
所以cos?m→，n→?=m→?n→|m→||n→|=3+1+426×3=47839，則D正確

故選：ACD．
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分
13.（2020秋?駐馬店期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（5，5，8），（﹣1，1，4）．則線段MN的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為　7?。?br /> 【分析】線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3，6），由此能求出線段MN的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離．
【解答】解：空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（5，5，8），（﹣1，1，4）．
線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3，6），
則線段MN的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：22+32+62=7．
故答案為：7．
14．（2020?南昌期中）兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（2，1，1），且兩平面的一個(gè)法向量n→=（﹣1，0，1），則兩平面間的距離是　22　．
【分析】利用兩個(gè)平面的距離公式：d=|n→?OA→||n→|即可得出．
【解答】解：∵兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（2，1，1），OA→=(2，1，1)，
且兩平面的一個(gè)法向量n→=（﹣1，0，1），
∴兩平面間的距離=|n→?OA→||n→|=|-2+0+1|2=22．
故答案為：22．
15．（2020秋?路南區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)A（﹣1，﹣2，1），B（2，2，2），點(diǎn)P在Z軸上，且點(diǎn)P到A，B的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　（0，0，3）?。?br /> 【分析】設(shè)P（0，0，z）．由于點(diǎn)P到A，B的距離相等，可得12+22+(z-1)2=22+22+(2-z)2，解出即可．
【解答】解：設(shè)P（0，0，z）．
∵點(diǎn)P到A，B的距離相等，
∴12+22+(z-1)2=22+22+(2-z)2，
化為2z＝6，解得z＝3．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，0，3）．
故答案為：（0，0，3）．
16．（2020秋?柳南區(qū)校級(jí)月考）在三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則點(diǎn)P到△ABC的重心G的距離為　143?。?br /> 【分析】由題意畫出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，確定G的坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求出PG即可．
【解答】解：PA，PB，PC兩兩垂直，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA、PB、PC所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，
所以P（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），
△ABC的重心G的坐標(biāo)為（13，23，1），
PG=(13-0)2+(23-0)2+(1-0)2=143．
∴點(diǎn)P到△ABC的重心G的距離是143．
故答案為：143．

四．解答題（共6小題，滿分70分）
17.在坐標(biāo)面yOz內(nèi)，求與三個(gè)已知點(diǎn)A（3，1，2），B（4，﹣2，﹣2），C（0，5，1）等距離的點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【分析】根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)面yOz內(nèi)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)（0，y，z），根據(jù)點(diǎn)到A、B、C的距離相等，寫出關(guān)于y、z的方程，解方程即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：設(shè)yOz平面內(nèi)一點(diǎn)D（0，y，z）與A，B，C三點(diǎn)距離相等，
則有|AD|2＝9+（1﹣y）2+（2﹣z）2，
|BD|2＝16+（2+y）2+（2+z）2，
|CD|2＝（5﹣y）2+（1﹣z）2，
由|AD|＝|BD|，及|AD|＝|CD|，
得9+(1-y)2+(2-z)2=16+(2+y)2+(2+z)29+(1-y)2+(2-z)2=(5-y)2+(1-z)2
化簡可得3y+4z+5=04y-z-6=0
解得y=1z=-2
∴點(diǎn)D（0，1，﹣2）為yOz平面內(nèi)到A，B，C三點(diǎn)等距離的點(diǎn)．
18.（2020秋?啟東市校級(jí)期中）已知A（3，1，3），B（1，5，0），求：
（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；
（2）到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P（x，y，z）的坐標(biāo)x，y，z滿足的條件．
【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間距離公式能出AB中點(diǎn)坐標(biāo)和線段長．
（2）由PA＝PB，利用兩點(diǎn)間距離公式能求出點(diǎn)P（x，y，z）的坐標(biāo)x，y，z滿足的條件．
【解答】解：（1）∵A（3，1，3），B（1，5，0），
∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)（2，3，32）．AB→=（﹣2，4，﹣3），
∴|AB→|=29．
（2）A（3，1，3），B（1，5，0），P（x，y，z），
由PA＝PB得：
(x-3)2+(y-1)2+(z-3)2=(x-1)2+(y-5)2+z2，
整理得：4x﹣8y+6z+7＝0．
19.如圖所示，平面α⊥平面β，AD⊥AC，BC⊥AC，AD＝3，BC＝8．AC＝5．
（1）AD⊥α成立嗎？
（2）求BD的長度．

【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)即可證明AD⊥α；
（2）由BD→=BC→+CA→+AD→，能求出BD的長度
【解答】解：（1）AD⊥α．證明如下：
∵平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝AC，
AD⊥AC，AD?平面β，
∴AD⊥α．
（2）∵BD→=BC→+CA→+AD→，
∴BD→2=（BC→+CA→+AD→）2=BC→2+CA→2+AD→2=64+25+9＝98，
∴BD的長度|BD→|=98=72．

20.（2020?閔行區(qū)校級(jí)期末）已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，A1C1→=3NC1→，D1B→=4MB→，設(shè)AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→；
（1）試用a→、b→、c→表示MN→；
（2）求MN的長度；

【分析】（1）MN→=MD1→+D1A1→+A1N→=-34D1B→-AD→+23A1C1→=-34（D1D→+DB→）-AD→+23（AB→+AD→），由此能求出結(jié)果．
（2）由MN→=-112a→+512b→+34c→．AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，由此能求出MN的長度．
【解答】解：（1）MN→=MD1→+D1A1→+A1N→
=-34D1B→-AD→+23A1C1→
=-34（D1D→+DB→）-AD→+23（AB→+AD→）
=34c→-34（a→-b→）-b→+23（a→+b→）
=-112a→+512b→+34c→．
（2）∵M(jìn)N→=-112a→+512b→+34c→，
∴MN→2=（-112a→+512b→+34c→）2
=1144+25144+916-5144-348+1548=138144=2324．
∴MN的長度為|MN→|=13812．
21.如圖在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，E是AB上一點(diǎn)，，，，

求二面角的大??；
求點(diǎn)B到平面PEC的距離．
【答案】解：以D為原點(diǎn)，向量，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，
設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量為，
由，，
得，令，則
所以，
取平面PCD的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的大小為，由圖可知為銳角.
，，
即二面角的大小為
由知平面PEC的一個(gè)法向量為，
又，，
點(diǎn)B到平面PEC的距離

【解析】本題考查了利用空間向量求點(diǎn)面之間的距離，利用空間向量求面面的夾角.屬于基礎(chǔ)題.
以D為原點(diǎn)，向量，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面PEC的一個(gè)法向量、平面PCD的一個(gè)法向量，故得二面角的大??；
由知平面PEC的一個(gè)法向量為，故得，故可由空間向量法求得點(diǎn)B到平面PEC的距離．
22.（2020秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求cos＜AC→，PB→＞的值；
（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥平面PAC，并求出N到AB和AP的距離．

【分析】（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出cos?AC→，PB→?的值．
（2）設(shè)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N（a，0，c），使NE⊥平面PAC，利用向量法列方程組求出N（36，0，1），由此能求了N到AB和AP的距離．
【解答】解：（1）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形
側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點(diǎn)．
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），C（3，1，0），P（0，0，2），B（3，0，0），
AC→=（3，1，0），PB→=（3，0，-2），
∴cos?AC→，PB→?=AC→?PB→|AC→|?|PB→|=34?7=3714．
（2）設(shè)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N（a，0，c），使NE⊥平面PAC，
D（0，1，0），E（0，12，1），NE→=（﹣a，12，1﹣c），
AP→=（0，0，2），AC→=（3，1，0），
∴NE→?AP→=2(1-c)=0NE→?AC→=-3a+12=0，解得a=36，c＝1，
∴N（36，0，1），
∴N到AB的距離為1，N 到AP的距離為36．

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