空間向量及其線性運(yùn)算一．選擇題（共15小題）1．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．2．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)．若，，，則下列向量中與相等的向量是　　A． B． C． D．3．如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．4．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于　　A． B． C． D．5．設(shè)是四面體，是的重心，是上一點(diǎn)，且，若，則，，為　　A．，， B．，， C．，， D．，，6．直三棱柱中，若，，，則　　A． B． C． D．7．已知三棱錐中，是的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．8．已知，1，，，，，是線段上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為　　A．，， B．，， C．，， D．，，9．已知正方體，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，且，則等于　　A． B． C． D．10．已知點(diǎn)，，，向量，則點(diǎn)坐標(biāo)是　　A．，2， B．，2， C．，8， D．，， 11．在長(zhǎng)方體中，　　A． B． C． D．12．如圖所示，在平行六面體中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且．用表示向量的結(jié)果是　　A． B． C． D．13．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．14．平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列式子中與相等的是　　A． B． C． D．15．若向量，，則　　A． B． C．3 D．二．多選題（共1小題）16．已知向量，則與共線的單位向量　　A． B．，1， C． D．，1，三．填空題（共9小題）17．在四面體中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則　　（用，，表示）18．在三棱錐中，為的重心，設(shè)，，，則　　（用，，表示）．19．已知空間向量，0，，，1，，則　　．20．如圖，在空間四邊形中，，，棱，，的中點(diǎn)分別為，，，若，則　　．21．設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為　　． 22．已知，，，，0，，，1，，若，則的坐標(biāo)為　　．23．在空間四邊形中，若，5，，，，，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，則　　，的坐標(biāo)為　　．24．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)．用，，表示，則　　．25．在正方體中，給出以下向量表達(dá)式：①；   ②；   ③；  ④．其中能夠化簡(jiǎn)為向量的是　　．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)填上）
                                 參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．【分析】由題意，把，，三個(gè)向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將用三個(gè)基向量表示出來，即可得到答案，選出正確選項(xiàng)．【解答】解：，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是空間向量基本定理，考查了用向量表示幾何的量，向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來，本題是向量的基礎(chǔ)題．2．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)．若，，，則下列向量中與相等的向量是　　A． B． C． D．【分析】利用空間向量的加法的三角形法則，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答．【解答】解：由題意，；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的加法，滿足三角形法則；比較基礎(chǔ)．3．如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．【分析】由題意，把，，三個(gè)向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將用三個(gè)基向量表示出來，即可得到答案，選出正確選項(xiàng)．【解答】解：由題意又，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是空間向量基本定理，考查了用向量表示幾何的量，向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來，本題是向量的基礎(chǔ)題．4．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)空間向量的線性表示，用、和表示出即可．【解答】解：由題意知，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性表示與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．5．設(shè)是四面體，是的重心，是上一點(diǎn)，且，若，則，，為　　A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】由題意推出，使得它用，，，來表示，從而求出，，的值，得到正確選項(xiàng)．【解答】解：，而，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的加減法，考查待定系數(shù)法，是基礎(chǔ)題．6．直三棱柱中，若，，，則　　A． B． C． D．【分析】將向量分解成，然后將利用相等向量和向量的三角形法則將與化成用、、表示即可．【解答】解：故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的加減法，解題的關(guān)鍵是利用向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題．7．已知三棱錐中，是的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．【分析】取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出，由此能求出結(jié)果．【解答】解：如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，三棱錐中，是的中點(diǎn)，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量及其線性運(yùn)算，向量加法定理等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．8．已知，1，，，，，是線段上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為　　A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可得出．【解答】解：，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的線性運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．9．已知正方體，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，且，則等于　　A． B． C． D．【分析】如圖所示，，，，，，，代入化簡(jiǎn)即可得出．【解答】解：如圖所示，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線定理、向量三角形法則與平行四邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10．已知點(diǎn)，，，向量，則點(diǎn)坐標(biāo)是　　A．，2， B．，2， C．，8， D．，，【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)表示，計(jì)算即可．【解答】解：點(diǎn)，，，向量，又，，，，所以，，，則點(diǎn)坐標(biāo)是，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)表示問題，是基礎(chǔ)題．11．在長(zhǎng)方體中，　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，利用空間向量的加法運(yùn)算即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示，長(zhǎng)方體中，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量加法運(yùn)算的幾何意義問題，是基礎(chǔ)題目．12．如圖所示，在平行六面體中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且．用表示向量的結(jié)果是　　A． B． C． D．【分析】連接，在△中，由向量加法的三角形法則知，由是的中點(diǎn)，用表示出，由條件：點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，得到，再用表示向量即可．【解答】解：連接，在△中，，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且．，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量及其線性運(yùn)算，熟練掌握平面向量的三角形加法法則，屬于基礎(chǔ)題．13．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．【分析】由空間向量加法法則得到，由此能求出結(jié)果．【解答】解：空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的求法，考查空間向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．14．平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列式子中與相等的是　　A． B． C． D．【分析】推導(dǎo)出，由此能求出結(jié)果．【解答】解：平行六面體中，為與的交點(diǎn)，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間向量的加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．15．若向量，，則　　A． B． C．3 D．【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則能求出，由此能求出．【解答】解：向量，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模的求法，考查空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共1小題）16．已知向量，則與共線的單位向量　　A． B．，1， C． D．，1，【分析】直接利用向量求出向量的模，進(jìn)一步求出單位向量．【解答】解：由于向量，所以根據(jù)單位向量的關(guān)系式，可得或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模和單位向量，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共9小題）17．在四面體中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則　　（用，，表示）【分析】利用為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．【解答】解：在四面體中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量中點(diǎn)公式的應(yīng)用，以及兩個(gè)向量的加減法的法則和幾何意義．18．在三棱錐中，為的重心，設(shè)，，，則　　（用，，表示）．【分析】利用三角形重心的性質(zhì)定理、三角形法則、向量的線性運(yùn)算即可得出．【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，為的重心，則在中，．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形重心的性質(zhì)定理、三角形法則、向量的線性運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19．已知空間向量，0，，，1，，則　，，　．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．【解答】解：，0，，，1，，，0，，1，，，，故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算公式是解題的關(guān)鍵，本題是一道基礎(chǔ)題．20．如圖，在空間四邊形中，，，棱，，的中點(diǎn)分別為，，，若，則　5　．【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，用、表示，從而求出的值．【解答】解：空間四邊形中，棱，，的中點(diǎn)分別為，，，所以，；所以，所以．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．21．設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為　　．【分析】先由求出，在根據(jù)，，三點(diǎn)共線，得到，從而得到，解出即可．【解答】解：，，，，又，，三點(diǎn)共線，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三點(diǎn)共線和向量共線定理，考查了方程思想和計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題．22．已知，，，，0，，，1，，若，則的坐標(biāo)為　，5，　．【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，利用向量相等，列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)，，，，，，，0，，，1，，，，，，4，，，可得，，，解得，，，所以，5，．故答案為：，5，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是基本知識(shí)的考查．23．在空間四邊形中，若，5，，，，，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，則　　，的坐標(biāo)為　　．【分析】根據(jù)的坐標(biāo)，求出的模即可，根據(jù)，求出的坐標(biāo)即可．【解答】解：，5，，，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，，，，，，故答案為：，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的運(yùn)算，考查向量求模問題，是一道基礎(chǔ)題．24．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)．用，，表示，則　　．【分析】利用三角形法則和平行四邊形法則，即可得到．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．25．在正方體中，給出以下向量表達(dá)式：①；   ②；   ③；  ④．其中能夠化簡(jiǎn)為向量的是　①②　．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)填上）【分析】利用正方體的性質(zhì)、向量的三角形法則即可得出．【解答】解：如圖所示①；②；③；④．綜上可得：只有①②能夠化簡(jiǎn)為向量．故答案為：①②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體的性質(zhì)、向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題．聲明：試題解析

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1.1 空間向量及其運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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