導語
在平面向量中已經(jīng)學過兩個平面向量的數(shù)量積運算，由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，兩個空間向量的夾角和數(shù)量積就可以像平面向量那樣來定義．
一、空間向量的夾角
知識梳理
例1 (1)對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 顯然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當a∥b時，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b?〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件．
(2)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq \(AC,\s\up6(→))分別與向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))，eq \(B′A′,\s\up6(——→))，eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))，eq \(B′D′,\s\up6(——→))的夾角．
解 連接BD(圖略)，
則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(A′B′,\s\up6(——→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′A′,\s\up6(——→))〉＝180°－〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD′,\s\up6(→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CD′,\s\up6(—→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(B′D′,\s\up6(——→))〉＝〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝90°.
反思感悟 (1)只有兩個非零空間向量才有夾角，當兩個非零空間向量共線同向時，夾角為0，共線反向時，夾角為π.
(2)對空間任意兩個非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
跟蹤訓練1 在正四面體ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))與eq \(CD,\s\up6(→))的夾角等于( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 D
解析 〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
二、空間向量的數(shù)量積運算
知識梳理
1．(1)空間向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(2)運算律
2.向量的投影
(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．
(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(——→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．
注意點：
(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.
(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負數(shù)或零，其符號由夾角θ的范圍決定．
①當θ為銳角時，a·b>0；但當a·b>0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0.
②當θ為鈍角時，a·b

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1.1 空間向量及其運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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