?1.1.1 空間向量及其線性運算
基 礎(chǔ) 練
鞏固新知 夯實基礎(chǔ)
1.判斷下列各命題的真假：
①向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；
②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；
③兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；
④有向線段就是向量，向量就是有向線段．
其中假命題的個數(shù)為(　　)
A．2 B．3 C．4　 D．5
2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，向量表達(dá)式－＋化簡后的結(jié)果是(　　)
A. B. C. D.
3.如圖所示,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,則下列向量相等的是 (　　)
A.AD與CB B.OA與OC
C.AC與DB D.DO與OB

4.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
5.(多選)若A，B，C，D為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是(　　)
A．＋2＋2＋ B．2＋2＋3＋3＋
C.＋＋ D.－＋－
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,則A1B=　　　　.(用a,b,c表示)?
7.已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，若＝2＋μ，則μ＝________；存在三個不為0的實數(shù)λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值為________．
8.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為AB、B1C的中點．如何用、、表示向量？






能 力 練
綜合應(yīng)用 核心素養(yǎng)
9.已知P為空間中任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且＝－x＋ ，則實數(shù)x的值為(　　)
A. B．－ C. D．－
10.已知非零向量e1，e2不共線，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，則A，B，C，D四點(　　)
A．一定共線 B．恰是空間四邊形的四個頂點
C．一定共面 D．一定不共面
11.在平行六面體ABCD－EFGH中，若＝x－2y＋3z，則x＋y＋z等于(　　)
A. B. C. D.
12.(多選)有下列命題，其中真命題的有(　　)
A．若∥，則A，B，C，D四點共線
B．若∥，則A，B，C三點共線
C．若e1，e2為不共線的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，則a∥b
D．若向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0
13.(多選)已知空間任一點O和不共線的三點A,B,C,下列能得到P,A,B,C四點共面的是 (　　)
A.OP=OA+OB+OC
B.OP=13OA+13OB+13OC
C.OP=-PA+12OB+12OC
D.PA=2PB+PC
14.在四面體ABCD中,P在面ABC內(nèi),Q在面BCD內(nèi),且滿足AP=xAB+yAC,AQ=sAB+tAC+uAD,若xy=st,則下面表述中,線段AQ與DP的關(guān)系是 (　　)
A.AQ與DP所在直線是異面直線
B.AQ與DP所在直線平行
C.線段AQ與DP必相交
D.線段AQ與DP延長后相交
15.設(shè)e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三點共線，實數(shù)k＝________.

16.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，化簡－＋－＋－.







17.如圖，在正方體中，E在上，且，F(xiàn)在對角線A1C上，且若.

（1）用表示.
（2）求證：E，F(xiàn)，B三點共線.
















【參考答案】
1.B解析:①假命題，若a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的；②真命題；③假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；④假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段．
2.A 解析:如圖所示，因為＝，－＝－＝，＋＝，
∴－＋＝.
3.D 解析：因為AB=DC,所以四邊形ABCD是平行四邊形,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及相等向量的定義知,DO=OB,AD=BC,OA=CO,故選D.
4.A 解析:因為＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又與有公共點A，
所以A，B，D三點共線．
5.BD解析: A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝0；C中，＋＋＝＋；D中，－＋－＝＋＋＋表示A→B→C→D→A恰好形成一個回路，結(jié)果必為0.
6.b-a-c 解析：如圖,連接CA1,A1B=CB-CA1=CB-CA-CC1=b-a-c.

7.－1　0解析: 由A、B、C三點共線，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λ＋m＋n＝0得＝－－，由A，B，C三點共線知－－＝1，則λ＋m＋n＝0.
8.解 ＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋(－＋)＝＋＋.
9.A 解析: ＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－.
又∵P是空間任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，∴－x－＝1，解得x＝.
10.C解析:因為非零向量e1，e2不共線，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，所以5－＝5e1＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝，所以＝5－.由向量共面的充要條件可知，A，B，C，D四點共面．
11.D 解析:由于＝＋＋＝＋＋，對照已知式子可得x＝1，－2y＝1,3z＝1，故x＝1，y＝－，z＝，從而x＋y＋z＝.
12.BCD解析:根據(jù)共線向量的定義，若∥，則AB∥CD或A，B，C，D四點共線，故A錯；
因為∥且，有公共點A，所以B正確；由于a＝4e1－e2＝－4－e1＋e2＝－4b，所以a∥b，故C正確；易知D也正確．
13.BD 解析：若點P,A,B,C滿足PA=xPB+yPC或OP=xOA+yOB+zOC(x＋y＋z＝1)，都可以得到P,A,B,C四點共面,故選BD.
14.C 解析：若x=s=0,則AP=yAC,AQ=tAC+uAD,所以AQ=tyAP+uAD,所以A,P,D,Q四點共面;若x≠0,s≠0,則由xy=st得sx=ty,令sx=ty=m,則AQ=mAP+uAD,故A,P,D,Q四點共面,又AQ與DP不平行,所以AQ與DP必相交.故選C.

15.1 解析:∵＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2，且與共線，故＝x，
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又∵e1，e2不共線，∴解得故k的值為1.
16.解:－＋－＋－＝(－)＋(－) ＋(－)＝＋＋＝＋＝.
17.解：（1）因為， ，
所以，
所以；
（2）



，
又與相交于B，所以E，F(xiàn)，B三點共線.

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1.1 空間向量及其運算

版本： 人教A版 (2019)

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