人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)1.1 空間向量及其運(yùn)算測(cè)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)01：空間向量的有關(guān)概念
1、空間向量的有關(guān)概念
（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模；如空間中的位移速度、力等．
（2）幾類特殊的空間向量
2、空間向量的表示
表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：
（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點(diǎn)，叫向量的終點(diǎn)；
（2）字母表示法：用表示．向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或.
【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體的棱中，與向量模相等的向量有______個(gè).
【答案】7
【詳解】與模長(zhǎng)相等的向量有：共有7個(gè).
故答案為：7
知識(shí)點(diǎn)02：空間向量的加法、減法運(yùn)算
1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內(nèi)，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，作向量，
2、空間向量的加法運(yùn)算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即
3、空間向量的減法運(yùn)算（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即
4、空間向量的加法運(yùn)算律
（1）加法交換律：
（2）加法結(jié)合律：
【即學(xué)即練2】（2023秋·浙江臺(tái)州·高二期末）如圖，在平行六面體中，E是的中點(diǎn)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】．
故選：A.
知識(shí)點(diǎn)03：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．
2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系
3、對(duì)數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的進(jìn)一步理解：
（1）可以把向量模擴(kuò)大（當(dāng)時(shí)），也可縮小（當(dāng)時(shí)）；可以不改變向量的方向（當(dāng)時(shí)），也可以改變向量的方向（當(dāng)時(shí)）．
（2）實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若，則．
（3）實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減，例如，，沒有意義，無法運(yùn)算．
【即學(xué)即練3】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，，與平面交于點(diǎn)M，則＝________.
【答案】
【詳解】由題可設(shè)，
因?yàn)椋?
所以，
因?yàn)镸，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，
所以，
解得.
故答案為：.
知識(shí)點(diǎn)04：共線向量與共面向量
1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．
在正確理解共線向量的定義時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：
（1）零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量不具有傳遞性，如，那么不一定成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，雖然，但不一定與共線（特別注意，與任何向量共線）．
2、共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．
2.1共線向量定理推論：如果為經(jīng)過點(diǎn)平行于已知非零向量的直線,那么對(duì)于空間任一點(diǎn),點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使①，若在上取，則①可以化作：
2.2拓展(高頻考點(diǎn)）：對(duì)于直線外任意點(diǎn)，空間中三點(diǎn)共線的充要條件是，其中
3、共面向量定義：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使
3.2空間共面向量的表示
如圖空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．
或者等價(jià)于：對(duì)空間任意一點(diǎn)，空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)（四點(diǎn)共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．
3.3拓展
對(duì)于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．
【即學(xué)即練4】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線．如果，則的值為（）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由
得，
即，
因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面，
所以，故.
故選：A.
題型01 空間向量的有關(guān)概念
【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（）
A．與共面的單位向量有無數(shù)個(gè)
B．與垂直的單位向量有無數(shù)個(gè)
C．與平行的單位向量只有一個(gè)
D．與同向的單位向量只有一個(gè)
【答案】C
【詳解】解：與共面的單位向量，方向可任意，所以有無數(shù)個(gè)，故A正確；
與垂直的單位向量，方向可任意，所以有無數(shù)個(gè)，故B正確；
與平行的單位向量，方向有兩個(gè)方向，故不唯一，故C錯(cuò)誤；
與同向的單位向量，方向唯一，故只有一個(gè)，故D正確．
故選：C．
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則．其中正確的個(gè)數(shù)為（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】對(duì)于①，當(dāng)兩個(gè)空間向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等；但兩個(gè)向量相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都不一定相同，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量與的方向不一定相同，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體中，向量與向量的方向相同，模也相等，則，③正確；
對(duì)于④，由向量相等關(guān)系可知，④正確．
故選：C.
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中為真命題的是（）
A．空間向量與的長(zhǎng)度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等
【答案】A
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榭臻g向量與互為相反向量，所以空間向量與的長(zhǎng)度相等，所以A正確，
對(duì)于B，將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，兩個(gè)空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟?，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯(cuò)誤，
故選：A
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知為平行六面體，若以此平行六面體的頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)，求：
（1）與相等的向量；
（2）與相反的向量；
（3）與平行的向量．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【詳解】（1）∵平行六面體是棱柱，∴側(cè)棱都平行且相等，
∴與相等的向量為；
（2）連接，由平行六面體的性質(zhì)可得，
∴是平行四邊形，
∴，與相反的向量為．
（3）連接，由平行六面體的性質(zhì)可得，
∴是平行四邊形，
∴，與平行的向量為．
題型02 空間向量加減運(yùn)算及幾何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）已知在空間四邊形中，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，故G為CD的中點(diǎn)，如圖，
由平行四邊形法則可得，
所以.
故選：A.
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）正方體中，化簡(jiǎn)（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】.
故選：C.
【變式1】（2023春·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在長(zhǎng)方體中，為線段的中點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以,
所以，
因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，，
所以，即.
故選：C.
【變式2】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
故選：D
題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形?都是平行四邊形且不共面，,分別是?的中點(diǎn)，判斷與是否共線？
【答案】共線.
【詳解】因?yàn)镸?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即與共線.
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對(duì)角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．
【答案】證明見解析
【詳解】證明：連接，．
∵
，
，
∴，∴．
又，∴，，三點(diǎn)共線．
題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數(shù)）
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（）
A．B．C．3D．
【答案】C
【詳解】，，
因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以，
故選：C
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為______.
【答案】/0.4
【詳解】∵，，，
∴，又∵A，C，D三點(diǎn)共線，∴，
∴，∴.
故答案為：.
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且A， B， D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值．
【答案】.
【詳解】因?yàn)?，，則有，
又A， B， D三點(diǎn)共線，于是，即，而不共線，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)k的值是.
【變式2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)______．．
【答案】
【詳解】，，
，
三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，使得，即，
，解得：．
故答案為：.
題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）
【典例1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二井岡山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┛臻g四點(diǎn)及空間任意一點(diǎn)，由下列條件一定可以得出四點(diǎn)共面的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【詳解】對(duì)A：，定有共面，且有公共頂點(diǎn)，
故四點(diǎn)共面，故A正確；
對(duì)B：，，
故四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，可得三點(diǎn)共線，
則四點(diǎn)一定共面，故C正確；
對(duì)D：，，
故四點(diǎn)一定共面，故D正確.
故選：ACD.
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若點(diǎn)滿足向量關(guān)系（其中），試問：，，，四點(diǎn)是否共面？
【答案】共面
【詳解】解：，，，四點(diǎn)共面．
理由如下：，，
，
即，由，，三點(diǎn)不共線，可知和不共線，
由共面定理可知向量，，共面，
，，，四點(diǎn)共面．
【變式1】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；
對(duì)于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.
故選：D.
【變式2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是不共面向量，，證明這三個(gè)向量共面.
【答案】證明見解析
【詳解】由是不共面向量，得與不共線，
設(shè)，則，
所以，解得，所以，
所以這三個(gè)向量共面.
題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數(shù)）
【典例1】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面的充要條件是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】四點(diǎn)共面的充要條件是，，整理可得，
由，則，解得，
故選：A.
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知為空間中一點(diǎn)，四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，若，則的值為______．
【答案】
【詳解】依題意，四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，
所以，
所以，
，
，
所以，解得.
故答案為：
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖,平面內(nèi)的小方格均為正方形,點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn),為平面外一點(diǎn),設(shè),則的值為（）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【詳解】由題知，
四點(diǎn)共面,
根據(jù)平面向量基本定理,
不妨設(shè),，
則
,
，
,
.
故選:B
【變式2】（2023秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）是空間向量的一組基底，，，，已知點(diǎn)在平面內(nèi)，則______.
【答案】3
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，，共面，
所以存在與使得,
即，
所以，解得.
故.
故答案為:3.
題型07空間向量共面（推論及其應(yīng)用）
【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與三點(diǎn)共面，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由與三點(diǎn)共面以及，
可得，，所以.
故選：C.
【典例2】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知為空間中任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)的值為_________.
【答案】
【詳解】，
又∵是空間任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，
∴，
解得 x=，
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)是平面上任一點(diǎn)，是平面上的三點(diǎn)，（不共線），則三點(diǎn)共線，把此結(jié)論類比到空間上就是：不共面，若，則四點(diǎn)共面．
【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）在三棱錐中，M是平面ABC上一點(diǎn)，且，則（）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)镸是平面ABC上一點(diǎn)，即四點(diǎn)共面，
所以，所以．
故選：B.
【變式2】（2022秋·江西撫州·高二江西省臨川第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是空間任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【詳解】由題意因?yàn)樗狞c(diǎn)共面且平面唯一確定，，
所以，即，
所以，
由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以，
故選：A
題型08空間向量數(shù)乘運(yùn)算及幾何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二?？计谀┮阎襟w，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，且，則等于（）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】如圖所示，
由于，故，，，
，，，
∴
，
故選：D．
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.
求證：（1）；
（2）.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【詳解】證明：（1）
∴.
（2）.
【變式1】（2023春·云南迪慶·高二迪慶藏族自治州民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】
.
故選：D.
【變式2】（2023秋·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谄叫辛骟w中，點(diǎn)M滿足．若，則下列向量中與相等的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】
由點(diǎn)M滿足，所以M為中點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以M為中點(diǎn),
所以，
所以.
故選：C
1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)，且不共線時(shí)，與的關(guān)系是（）
A．共面B．不共面C．共線D．無法確定
【答案】A
【詳解】根據(jù)平行四邊形法則可得，以，為鄰邊，則可得平行四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量分別為，
所以與共面.
故選：A.
2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，化簡(jiǎn)（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，有，
則.
故選：B
3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┤鐖D，已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】G是CD的中點(diǎn),所以
故選：A.
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學(xué)?？计谀┮阎陂L(zhǎng)方體中，，則（）
A．3B．2C．1D．
【答案】C
【詳解】依題知，，
∴，
∴．
故選：C.
5．（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）在平行六面體中，點(diǎn)E滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由得，
整理得.
故選：A.
6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，
所以，即，所以，
所以當(dāng)時(shí)，的有最小值2．
故選：D
7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為空間任一點(diǎn)，，，，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為（）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【詳解】解：，，
又，，，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，
，，
故選：B．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，過的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題錯(cuò)誤的是（）
A．存在平面和點(diǎn)，使得平面
B．存在平面和點(diǎn)，使得平面
C．對(duì)任意的平面，線段平分線段
D．對(duì)任意的平面，線段平分線段
【答案】D
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槠矫?，平面，此時(shí)平面，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槠矫?，平面，此時(shí)平面，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，設(shè)，，
則有，
同理可得，，
，
，
所以，所以，，
因?yàn)?、、、四點(diǎn)共面，則，所以，，
所以，，則，
所以，，可得，
即、、三點(diǎn)共線，即的中點(diǎn)在上，即線段平分線段，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若線段平分線段，又因?yàn)榫€段平分線段，則四邊形為平行四邊形，
事實(shí)上，四邊形不一定為平行四邊形，故假設(shè)不成立，D錯(cuò).
故選：D.
二、多選題
9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）
A．空間的任意三個(gè)向量都不共面
B．空間的任意兩個(gè)向量都共面
C．三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面
D．若三向量?jī)蓛晒裁妫瑒t這三個(gè)向量一定也共面
【答案】ACD
【詳解】A.如圖所示：，三個(gè)向量共面，故錯(cuò)誤；
B.由相等向量知：通過平移，兩個(gè)向量的起點(diǎn)總可以在同一點(diǎn)，故兩個(gè)向量都共面，故正確；
C.如圖所示：，在正方體中三個(gè)向量共面，但它們所在的直線不共面，故錯(cuò)誤；
D. 如圖所示：，在正方體中三向量?jī)蓛晒裁?，但這三個(gè)向量一定共面，故錯(cuò)誤；
故選：ACD
10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列命題中正確的是（）
A．若∥，則∥
B．是共線的必要條件
C．三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面
D．若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件
【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A,由∥，則一定有∥，故A正確；
對(duì)于B，由反向共線，可得，故B不正確；
對(duì)于C，由三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任一點(diǎn)，若，則
，即，
所以四點(diǎn)共面，故C正確；
對(duì)于D,若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），
當(dāng)，即時(shí)，可得，即，
所以三點(diǎn)共線，反之也成立，即是三點(diǎn)共線的充要條件，
故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是不共面向量，，若三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)______.
【答案】4
【詳解】以為空間一組基底，
由于三個(gè)向量共面，所以存在，
使得，
即，
整理得，
所以，解得.
故答案為：
12．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，則_________．
【答案】
【詳解】因?yàn)镻，A，B，C四點(diǎn)共面，所以存在不全為0的使得，
O是平面ABC外任意一點(diǎn)，則，
即，
若A，B，C三點(diǎn)共線，則，即，
整理得：，所以，
此時(shí)若，則，
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，，
所以，
所以，
令，則，
所以，所以．
故答案為：
四、解答題
13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知、、、、、、、、為空間的個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：．
【答案】證明見解析．
【詳解】，，，
，
，
因?yàn)?、無公共點(diǎn)，故.
14．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知矩形，為平面外一點(diǎn)，且平面，、分別為、上的點(diǎn)，且，，求滿足的實(shí)數(shù)的值．
【答案】，，．
【詳解】，
所以，，，．
B能力提升
1．（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）四面體中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)镼是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，所以，
故選：C.
2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知長(zhǎng)方體，，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，其中，，且平面，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的軌跡長(zhǎng)度是（）
A．B．C．D．2
【答案】A
【詳解】如圖所示，E，F(xiàn)，G，H，N分別為，，，DA，AB的中點(diǎn)，
則，，
所以平面平面，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部.
又因?yàn)?，所以點(diǎn)在側(cè)面，
所以點(diǎn)的軌跡為線段，
因?yàn)锳B=AD=2，，
所以.
故選：A.
3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿足，其中，則三角形周長(zhǎng)最小值是___________.
【答案】/
【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，其中?br>所以點(diǎn)在線段上.
如圖所示，沿展開正三棱柱的側(cè)面，
故三角形周長(zhǎng)為，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào).
故答案為：.
C綜合素養(yǎng)
1．（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，P為空間一點(diǎn)，且滿足，，則（）
A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在棱上
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段上
【答案】BCD
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，
則，即P在棱上，故A錯(cuò)誤；
同理當(dāng)時(shí)，則，故P在棱上，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，所以，即，
故點(diǎn)P在線段上，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在線段上，故D正確．
故選：BCD．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的平行六面體中，已知，，，為上一點(diǎn)，且．若，則的值為__；若為棱的中點(diǎn)，平面，則的值為__．
【答案】
【詳解】解：①，不妨取，
．
．
②連接，與交于點(diǎn)．連接，交于點(diǎn)，連接．
平面，．
點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
延長(zhǎng)交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
，．
．
，
．
則．
故答案為：，．
3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)在上，且，過點(diǎn)任意作一個(gè)平面分別交線段，，于點(diǎn)，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.
【答案】為定值4；證明見解析；
【詳解】聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于H，由題意，令為空間向量的一組基底，
則
.
聯(lián)結(jié)DM，點(diǎn)，，，M共面，故存在實(shí)數(shù)，
滿足，即，
因此，
由空間向量基本定理知，
，
故，為定值.課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論.
②會(huì)進(jìn)行空間向量的線性運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運(yùn)算.
1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的相關(guān)運(yùn)算及空間距離的求解.
2．利用空間向量的相關(guān)定理及推論進(jìn)行空間向量共線、共面的判斷.
名稱
定義及表示
零向量
長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為
單位向量
模為1的向量稱為單位向量
相反向量
與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為
相等向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量
的范圍
的方向
的模
與向量的方向相同
，其方向是任意的
與向量的方向相反

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