?第一章空間向量與立體幾何
1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題.
2.理解異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角與空間向量之間的關(guān)系，并會(huì)用向量方法求簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題.
3.能描述用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
1、教學(xué)重點(diǎn)
理解并掌握用向量方法解決距離、夾角問(wèn)題.
2、教學(xué)難點(diǎn)
辨析各種距離、夾角問(wèn)題并能正確求出各種距離及夾角.
三、教學(xué)過(guò)程
1、新課導(dǎo)入
在上一節(jié)我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用空間向量解決直線、平面的位置關(guān)系，那么立體幾何中還有一些距離、夾角問(wèn)題，能否也用向量方法解決呢？這節(jié)課我們就來(lái)一起探究一下用向量方法解決空間中的距離、夾角問(wèn)題.
2、探索新知
一、用向量方法解決距離問(wèn)題
1.點(diǎn)到直線的距離：如圖，向量在直線l上的投影向量為，則是直角三角形.因?yàn)锳，P都是定點(diǎn)，所以，與u的夾角都是確定的.于是可求.再利用勾股定理，可以求出點(diǎn)P到直線l的距離PQ.
設(shè)，則向量在直線l上的投影向量.
在中，由勾股定理，得.

2.點(diǎn)到平面的距離：如圖，已知平面的法向量為n，A是平面內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作平面的垂線l，交平面于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面的距離就是在直線l上的投影向量的長(zhǎng)度.因此
.

例1如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)B到直線的距離；
（2）求直線FC到平面的距離.

解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，.
（1）取，，則，.
所以點(diǎn)B到直線的距離為.
（2）因?yàn)?，所以，所以平?
所以點(diǎn)F到平面的距離即為直線FC到平面的距離.
設(shè)平面的法向量為，則，
所以，所以，取，則，.
所以是平面的一個(gè)法向量.
又因?yàn)椋?br /> 所以點(diǎn)F到平面的距離為.
即直線FC到平面的距離為.
用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：
（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何向題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問(wèn)題；
（3）把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.
二、用向量方法解決夾角問(wèn)題
1.異面直線所成的角及直線與平面所成的角
例2如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值.

解：化為向量問(wèn)題
以作為基底，則，.
設(shè)向量與的夾角為，則直線AM和CN夾角的余弦值等于.
進(jìn)行向量運(yùn)算


.
又和均為等邊三角形，所以.
所以.
回到圖形問(wèn)題
所以直線AM和CN夾角的余弦值為.
1.異面直線所成的角：一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來(lái)求得.也就是說(shuō)，若異面直線，所成的角為，其方向向量分別是u，v，則.
2.直線與平面所成的角：直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如圖，直線AB與平面相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面的法向量為n，則.

3.二面角：如下圖，平面與平面相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于的二面角稱為平面與平面的夾角.

若平面，的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面與平面的夾角為，則.
例3如圖，在直三棱柱中，，，，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q，R分別在棱，上，，.求平面PQR與平面夾角的余弦值.

解：化為向量問(wèn)題
以為原點(diǎn)，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為，平面PQR的法向量為，則平面PQR與平面的夾角就是與的夾角或其補(bǔ)角.
進(jìn)行向量運(yùn)算
因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為.
根據(jù)所建立的空間直角坐標(biāo)系，可知，，.
所以，.
設(shè)，則，所以，所以.
取，則.
回到圖形問(wèn)題
設(shè)平面PQR與平面的夾角為，則.
即平面PQR與平面的夾角的余弦值為.
三、解決實(shí)際問(wèn)題
例4下圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1 kg，每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大?。ㄖ亓铀俣萭取9.8 m/s2，精確到0.01 N）.

解：如圖，設(shè)水平面的單位法向量為n，其中每一根繩子的拉力均為F.

因?yàn)?，所以F在n上的投影向量為.
所以8根繩子拉力的合力.
又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣洌?
所以.
所以.
四、綜合應(yīng)用
例5 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F.
（1）求證：平面EDB；
（2）求證：平面EFD；
（3）求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.

解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).


（1）連接AC，交BD于點(diǎn)G，連接EG.
依題意得，，.
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以點(diǎn)G是它的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，且，.
所以，即.
而平面EDB，且平面EDB，因此平面EDB.
（2）證明：依題意得，.
又，故.
所以.
由已知，且，所以平面EFD.
（3）已知，由（2）可知，
故是平面CPB與平面PBD的夾角.
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則.
因?yàn)椋?，即，?
設(shè)，則.
所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)為.
又點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以.
所以.
所以，即平面CPB與平面PBD的夾角大小為60°.
五、解決立體幾何問(wèn)題的方法

解決立體幾何中的問(wèn)題，可用三種方法：
（1）綜合法：以邏輯推理作為工具解決問(wèn)題；
（2）向量法：利用向量的概念及其運(yùn)算解決問(wèn)題；
（3）坐標(biāo)法：利用數(shù)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題.
3、課堂練習(xí)
1.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為( )
A. B. C. D.
2.如圖，在長(zhǎng)方體中，M，N分別是棱的中點(diǎn)，若，則異面直線與所成的角為( )

A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如圖，正方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，則平面與平面所成的角的余弦值為( )

A. B. C. D.
4、小結(jié)作業(yè)
小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了用空間向量方法解決距離、夾角問(wèn)題，并掌握了解決立體幾何問(wèn)題的方法.
作業(yè)：完成本節(jié)課課后習(xí)題.
四、板書設(shè)計(jì)
1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
1.點(diǎn)到直線的距離：如圖，向量在直線l上的投影向量為，則是直角三角形.因?yàn)锳，P都是定點(diǎn)，所以，與u的夾角都是確定的.于是可求.再利用勾股定理，可以求出點(diǎn)P到直線l的距離PQ.設(shè)，則向量在直線l上的投影向量.在中，由勾股定理，得.

2.點(diǎn)到平面的距離：如圖，已知平面的法向量為n，A是平面內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作平面的垂線l，交平面于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面的距離就是在直線l上的投影向量的長(zhǎng)度. 因此
.

3.異面直線所成的角：若異面直線，所成的角為，其方向向量分別是u，v，則.
4.直線與平面所成的角：直線AB與平面相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面的法向量為n，則.
5.二面角：若平面，的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面與平面的夾角為，則
.


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1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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