6.3.1 平面向量基本定理
教學設計
教學目標
理解平面向量基本定理及其意義；
會用平面向量基本定理解決有關向量問題.
教學重難點
教學重點
平面向量基本定理及其應用.
教學難點
平面向量基本定理的理解及應用.
教學過程
新課導入
復習：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使.
根據這一定理，我們知道，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.那么，平面內任一向量是否可以由同一平面內的兩個不共線向量表示呢？ QUOTE
探索新知
已知兩個力，可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力.如圖，通過作平行四邊形，可以將力分解為多組大小、方向不同的分力.
問題1 類比力的分解，能否通過作平行四邊形，將向量分解為兩個向量，使向量是這兩個向量的和？
問題2 如圖（1），設是同一平面內兩個不共線的向量，是這一平面內與都不共線的向量.如圖（2），在平面內任取一點O，作.將按的方向分解，能發(fā)現(xiàn)什么？
如圖，過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于點M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于點N，則.由與共線，與共線可得，存在實數(shù)，使得，所以.也就是說，與都不共線的向量都可以表示成的形式.
問題3 當是與或共線的非零向量時，是否也可以表示成的形式？當是零向量呢？（可以）
平面內任一向量都可以按的方向分解，表示成的形式，而且這種表示形式是唯一的.事實上，如果還可以表示成的形式，那么.可得.假設，不全為0，不妨假設，則.由此可得共線.這與已知不共線矛盾，由此可推出，全為0，即，.也就是說，有且只有一對實數(shù)，使.
平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.
基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.
任一向量都可以由同一個基底唯一表示.
例1（課本P26）
例2（課本P26）
（三）課堂練習
在中，，，若分別在邊上，且，.則向量表示( )
A.B.C.D.
答案：A
解析：如圖所示，，
因為，所以.
所以.
所以.故選A.
設O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，給出下列向量組：
①與；②與；③與；④與.
其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
答案：B
解析：①與不共線；②，則與共線；③與不共線；④，則與共線．由平面向量基底的概念知，只有不共線的兩個向量才能構成一組基底，故①③滿足題意．故選B.
已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，設，試用基底表示和.

答案：，，
，
，
，
.
小結作業(yè)
小結：
平面向量基本定理及其應用.
作業(yè)：
板書設計
6.3.1 平面向量基本定理
平面向量基本定理；
基底.

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高中數(shù)學人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.3 平面向量基本定理及坐標表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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