?第六章 平面向量及其應(yīng)用
6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、 教學(xué)目標(biāo)
1. 掌握用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積；
2. 會(huì)用坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量的夾角；
3. 能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的充要條件.
二、 教學(xué)重難點(diǎn)
1. 教學(xué)重點(diǎn)
平面向量的數(shù)量積、模、夾角的坐標(biāo)表示及兩向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示.
2. 教學(xué)難點(diǎn)
平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.
三、 教學(xué)過(guò)程
（一） 新課導(dǎo)入
復(fù)習(xí)：平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示：已知，.
（二） 探索新知
問(wèn)題1 已知，，怎樣用坐標(biāo)表示呢？
因?yàn)椋?br /> 所以.
又，，，
所以.
結(jié)論：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.
問(wèn)題2 用坐標(biāo)表示向量的模.
若，則，.
如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，那么
，
.
問(wèn)題3 復(fù)習(xí)：設(shè)是非零向量，.如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量垂直？
設(shè)，，則
.
例10 若點(diǎn)A1，2，B2，3，C(-2，5)，則△ABC是什么形狀？證明你的猜想.
解：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出點(diǎn)A，B，C，我們發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形.證明如下：
因?yàn)锳B=2-1，3-2=(1，1)，
AC=-2-1，5-2=(-3，3)，
所以AB?AC=1×-3+1×3=0.
于是AB⊥AC.
因此，△ABC是直角三角形.

設(shè)都是非零向量，，，θ是a與b的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得
.

例11 設(shè)a=(5，-7)，b=(-6，-4)，求a?b及a，b的夾角θ（精確到1°）.
解：a?b=5×-6+-7×-4=-30+28=-2.
因?yàn)閍=52+(-7)2=74，b=(-6)2+(-4)2=52，所以用計(jì)算器計(jì)算可得
.
利用計(jì)算器中的“cos-1”鍵，得θ≈92°.
例12 用向量方法證明兩角差的余弦公式cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ.
證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以x軸的非負(fù)半軸為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B.則OA=(cosα，sinα)，OB=(cosβ，sinβ).
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有OA?OB=cosαcosβ+sinαsinβ.
設(shè)OA與OB的夾角為θ，則OA?OB=|OA|?|OB|cosθ =cosθ.
所以cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.
另一方面，由圖（1）可知，α=2kπ+β+θ；由圖（2）可知，α=2kπ+β-θ.于是α-β=2kπ±θ，k∈Z .所以cos(α-β) =cosθ.
于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.


（三）課堂練習(xí)
1. 已知向量，，則下列結(jié)論正確的是(???)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：對(duì)于A，因?yàn)椋韵蛄坎黄叫?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，則，B正確；對(duì)于C， ，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選B.
2. 已知，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由向量與垂直，得.
因?yàn)?，所以?br /> 即，解得.故選B.
3. 已知向量，，且，則__________.
答案：12
解析：∵，∴，解得.故答案為12.
（四） 小結(jié)作業(yè)
小結(jié)：
1. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
2. 用坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量的夾角；
3. 用坐標(biāo)表示平面向量垂直的充要條件.
作業(yè)：
四、 板書(shū)設(shè)計(jì)
6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
1. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
2. 用坐標(biāo)表示平面向量的模；
3. 用坐標(biāo)表示平面向量垂直的充要條件；
4. 用坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量的夾角.

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6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

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