1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.會(huì)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的運(yùn)算問(wèn)題．2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并會(huì)判斷兩個(gè)向量是否共線(xiàn)或垂直．3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間的距離公式，并能運(yùn)用這些公式解決簡(jiǎn)單幾何體中的問(wèn)題．        1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)運(yùn)算 【自主學(xué)習(xí)】一．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量a，b，其坐標(biāo)形式為a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝                   減法a－ba－b＝                    數(shù)乘λaλa＝               數(shù)量積a·ba·b＝               二．    空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則名稱(chēng)滿(mǎn)足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a·b＝              模|a|＝|a|＝                夾角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝思考：已知點(diǎn)A(x，y，z)，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是多少？    【小試牛刀】1.思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，則a∥b?＝＝.(  )錯(cuò)(2)若a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，則b＝(－2，4，－2).(　　)(3)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，則|a|＝|b|.(　　)(4)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，則a⊥b.(　　)2.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，則4a＋2b等于(　　)A．(16，0，4)    B．(8，－16，4)C．(8，16，4)    D．(8，0，4)【經(jīng)典例題】題型一　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算點(diǎn)撥：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算注意以下幾點(diǎn)(1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于這個(gè)向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則類(lèi)似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵．(3)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．例1 （1）設(shè)a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，則a＋2b＝________.（2）設(shè)a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，則cos〈a，b〉＝________.（3）已知點(diǎn)A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，則||＝________. 【跟蹤訓(xùn)練】1若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且滿(mǎn)足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________. 題型二　空間向量的平行與垂直點(diǎn)撥：利用空間向量坐標(biāo)形式證明兩直線(xiàn)平行或垂直的步驟①建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);②求出有關(guān)直線(xiàn)的方向向量;③證明兩直線(xiàn)平行即證明方向向量共線(xiàn)（特別注意：證明兩直線(xiàn)平行要說(shuō)明兩條直線(xiàn)不重合）;證明兩直線(xiàn)垂直即計(jì)算兩直線(xiàn)方向向量的數(shù)量積為0；④還原到幾何問(wèn)題，得出結(jié)論。例2 設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.  【跟蹤訓(xùn)練】2 已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．(1)若a∥b，分別求λ與m的值；(2)若|a|＝，且a與c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a．  題型三　空間向量夾角及長(zhǎng)度的計(jì)算點(diǎn)撥：利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角與距離的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫(xiě)出向量的坐標(biāo)；(3)論證、計(jì)算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為夾角與距離問(wèn)題．例3在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點(diǎn)．(1)求BN的長(zhǎng)；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值．    【跟蹤訓(xùn)練】3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面邊長(zhǎng)AB＝2，AB1⊥BC1，點(diǎn)O，O1分別是棱AC，A1C1的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)求三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)求異面直線(xiàn)AB1與BC所成角的余弦值.    【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，則a與b的夾角為(　　)A.0°    B.45°       C.90°       D.180°2.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若＝，則點(diǎn)B應(yīng)為(　　)A.(－1，3，－3)   B.(9，1，1)       C.(1，－3，3) D.(－9，－1，－1)3．若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是(　　)A．銳角三角形    B．直角三角形    C．鈍角三角形  D．等邊三角形4.(多選)已知a＝(2，－3,1)，則下列向量中與a平行的是(　　)A．(1,1,1)         B．(－4,6，－2)   C．(2，－3,5)   D．(－2，3, －1)5.向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　)A．1              B.              C.            D.6.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝CD．(1)求證：EF⊥B1C；(2)求cos〈，〉．            【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】一．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)   (a1－b1，a2－b2，a3－b3)   (λa1，λa2，λa3)  二．a1b1＋a2b2＋a3b3         a1b1＋a2b2＋a3b3＝0思考：OA＝||＝．【小試牛刀】1.(1) ×  (2)√  (3)√  (4) √2.D 解析： 4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，所以4a＋2b＝(8，0，4).【經(jīng)典例題】例1（1）(－3，1，7) 解析a＋2b＝(1,－1,3)＋2(－2，1，2)＝(1，－1，3)＋(－4，2，4)＝(－3，1，7).（2）－ 解析： cos〈a，b〉＝＝＝－.（3）2 析：  ||＝＝2.【跟蹤訓(xùn)練】1  2  解析：據(jù)題意，有c－a＝(0,0,1－x),2b＝(2,4,2)，故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2,解得x＝2.例2解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因?yàn)?/span>(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－.因?yàn)?/span>(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝. 【跟蹤訓(xùn)練】2  解：(1)由a∥b，得(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，∴解得∴λ＝，m＝3．(2)∵|a|＝，且a⊥c，∴化簡(jiǎn)，得解得λ＝－1．因此，a＝(0,1，－2)．例3 解：如圖，以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.(1)依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴||＝ ＝，∴線(xiàn)段BN的長(zhǎng)為.(2)依題意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2), ＝(0，1，2)，∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又||＝，||＝，∴cos 〈，〉＝＝.故A1B與B1C所成角的余弦值為.【跟蹤訓(xùn)練】3 解(1)設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為b,則A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，所以＝(，1，b)，＝(－，1，b).因?yàn)?/span>AB1⊥BC1，所以·＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.故側(cè)棱長(zhǎng)為.(2)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，因?yàn)?/span>||＝＝，||＝＝2，·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，所以cos〈，〉＝＝＝.所以異面直線(xiàn)AB1與BC所成角的余弦值為.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】C 解析：∵cos〈a，b〉＝＝＝0，0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°.2. B 解析：設(shè)B(x，y，z)，由＝得(5，－1，2)＝(x－4，y－2，z＋1)，∴∴3.A解析：＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)．由·＞0，得A為銳角；由·＞0，得C為銳角；由·＞0，得B為銳角．所以△ABC為銳角三角形．4. BD 解析：若b＝(－4,6，－2)，則b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b，同理D也平行.5.D 解析：依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.6.解：(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G．＝－＝，＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．所以·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，所以⊥，即EF⊥B1C．(2)因?yàn)?/span>＝－(0,1,1)＝．所以||＝．又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，所以cos〈，〉＝＝．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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