1.4.1  用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第1課時 空間向量與平行關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解空間中點、直線和平面的向量表示．2.掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重點)3.熟練掌握用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．(重點、難點)1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運算3、邏輯推理【自主學(xué)習(xí)】一．空間中點、直線和平面的向量表示點P的位置向量在空間中，取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P可以用向量    表示，我們把向量     稱為點P的位置向量.空間直線的向量表示式a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使＝        ，也可以表示為＝         .這兩個式子稱為空間直線的向量表示式.空間平面ABC的向量表示式設(shè)兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面內(nèi)任意一點，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得＝        .那么取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使＝              ，這就是空間平面ABC的向量表示式. 二．直線的方向向量與平面的法向量1.直線的方向向量的定義直線的方向向量是指和這條直線        的非零向量，一條直線的方向向量有    個．2.平面的法向量的定義直線l⊥α，取直線l的         a，則向量a叫做平面α的法向量．解讀：（1）法向量不能為零向量；（2）法向量與平面內(nèi)任一向量垂直；（3）平面的法向量可以有無數(shù)個，任意兩個都是共線向量.三．空間中平行關(guān)系的向量表示線線平行設(shè)兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2?       ?                     線面平行設(shè)l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α?         ?                  面面平行設(shè)α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?         ?   【小試牛刀】1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反．(　　)(2)直線l的一個方向向量為a＝(－1,2,1)，平面α的一個法向量為n＝(－1，－1,1)，l?α，則l∥α.(　　)(3)若點A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的向量參數(shù)方程可以為＝t.(　　)(4)兩個平面的法向量平行，則這兩個平面平行；兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直．(    )2.若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是(　　)A．(2，2，6)    B．(－1，1，3)C．(3，1，1)    D．(－3，0，1)3.設(shè)平面α的法向量為(1，3，－2)，平面β的法向量為(－2，－6，k)，若α∥β，則k＝________．【經(jīng)典例題】題型一　求平面的法向量點撥：求平面法向量的步驟1.設(shè)法向量n＝(x，y，z)；2.在已知平面內(nèi)找兩個不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；3.建立方程組4.解方程組：用一個未知量表示其他兩個未知量，然后對用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個法向量．例1 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中點，求平面EDB的一個法向量．     【跟蹤訓(xùn)練】1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一個法向量．    題型二  證明線線平行點撥：證明兩直線平行的方法法一：平行直線的傳遞性；法二：基向量法，分別取兩條直線的方向向量m，n，證明m∥n，即m＝λn.法三：坐標(biāo)法，建立空間直角坐標(biāo)系，把直線的方向向量用坐標(biāo)表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即證明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.例2 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點．求證：PQ∥RS.   【跟蹤訓(xùn)練】2 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是(　　)A．2，     B．，     C．－3,2      D．2,2 題型三   證明線面、面面平行點撥：1.向量法證明線面平行的思路(1)設(shè)直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證明l∥α，只需證明a⊥u,即a·u＝0.(2)根據(jù)線面平行的判定定理，要證明一條直線和一個平面平行，在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．2.證明面面平行的方法設(shè)平面α的法向量為μ，平面β的法向量為v，則α∥β?μ∥v.例3　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD．    【跟蹤訓(xùn)練】3 已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.   【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.(多選)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1為正方體，則(　　)A.直線DD1的一個方向向量為(0，0，1)B．直線BC1的一個方向向量為(0，1，1)C．平面ABB1A1的一個法向量為(0，1，0)D．平面B1CD的一個法向量為(1，1，1)2.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量．若l1∥l2，則(　　)A．x＝6，y＝15     B．x＝3，y＝    C．x＝3，y＝15    D．x＝6，y＝3.設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b，若a·b＝0，則(　　)A．l∥α        B．l?α     C．l⊥α        D．l?α或l∥α 4.已知u是平面α的一個法向量，a是直線l的一個方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，則l與α的位置關(guān)系是________． 5.已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為，且l∥α，則m＝________.  6.在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．證明：PA∥平面EDB.   【課堂小結(jié)】1.應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線．(3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任意兩個不共線的向量表示．即用平面向量基本定理證明線面平行．2.證明面面平行的方法設(shè)平面α的法向量為n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．3.直線的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有無數(shù)個，且直線的方向向量都是共線向量，平面的法向量也都是共線向量．         【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】一．   ＋ta   ＋t xa＋yb   ＋x＋y二．平行或共線  無數(shù)   方向向量  三．u1∥u2    (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)  u·n＝0   a1a2＋b1b2＋c1c2＝0n1∥n2   (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)【小試牛刀】1.(1) √　(2)√　(3) √　(4)√  2.A解析：＝(1，1，3)，所以與共線的向量都可以充當(dāng)直線l的方向向量．3.4解析：因為α∥β，所以它們的法向量共線，從而＝＝，解得k＝4.【經(jīng)典例題】例1 解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．依題意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，B(1,1,0)，于是＝，＝(1,1,0)．設(shè)平面EDB的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥，于是取x＝1，則y＝－1，z＝1，故平面EDB的一個法向量為n＝(1，－1,1)．【跟蹤訓(xùn)練】1解　設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，由題意知＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．∵n⊥，n⊥，∴解得令x＝1，則y＝z＝1.∴平面ABC的一個法向量為n＝(1,1,1)．例2 證明：法一：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)，∴＝，∴∥，即PQ∥RS.法二：＝＋＝－＋，＝＋＝＋－，∴＝，∴∥，即RS∥PQ.【跟蹤訓(xùn)練】2 A解析：若a∥b，則2μ－1＝0且＝，解得μ＝且λ＝2或λ＝－3，故選A.例3 思路點撥：方法1：可證明與，是共面向量；方法2：可證明與平面A1BD中的DA1是共線向量；方法3：可通過平面A1BD的法向量來證明．證明：方法1：∵＝－＝－＝－－＋＝－，∴，，是共面向量．又∵MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．方法2：∵＝－＝－＝(－)＝，∴∥．又∵MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．方法3：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)正方體的棱長為1，則可求得M，N，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則得取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．∵·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n．又∵MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．【跟蹤訓(xùn)練】3 證明　(1)以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1⊥，n1⊥，即得令z1＝2，則y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因為·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.又因為FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因為＝(2,0,0)，設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量．由n2⊥，n2⊥，得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因為n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.ABC 解析：因為AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，所以A正確；因為AD1∥BC1，＝(0，1，1)，所以B正確；因為AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，所以C正確；因為＝(1，1，1)，但AC1與平面B1CD不垂直，所以D錯誤．2.D解析：由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.3.D 解析：∵a·b＝0，∴l?α或l∥α.4. l?α或l∥α 解析：因為u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.所以u⊥a，所以l?α或l∥α.5.－8解析：∵l∥α，∴l的方向向量與α的法向量垂直．∴(2，m,1)×＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8.6.證明　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點，設(shè)PD＝DC＝a.方法一連接AC，交BD于點G，連接EG，依題意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為(，，0)，所以＝(，0，－)．又＝(a,0，－a)，所以＝2，這表明PA∥EG.而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二　設(shè)平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，＝(0，，)，＝(a，，－)，則有即即令y＝－1，則所以n＝(1，－1,1)，又＝(a,0，－a)，所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥.所以PA∥平面EDB.

相關(guān)學(xué)案

【同步導(dǎo)學(xué)案】高中數(shù)學(xué)人教A版(2019)選修第一冊-- 1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）導(dǎo)學(xué)案（有答案）：

這是一份【同步導(dǎo)學(xué)案】高中數(shù)學(xué)人教A版(2019)選修第一冊-- 1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）導(dǎo)學(xué)案（有答案），共11頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)習(xí)過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第一章 空間向量與立體幾何1.4 空間向量的應(yīng)用精品第2課時導(dǎo)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第一章 空間向量與立體幾何1.4 空間向量的應(yīng)用精品第2課時導(dǎo)學(xué)案，共16頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，自主學(xué)習(xí)，小試牛刀，經(jīng)典例題，跟蹤訓(xùn)練，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)，課堂小結(jié)，參考答案等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用精品第1課時導(dǎo)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用精品第1課時導(dǎo)學(xué)案，共13頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，自主學(xué)習(xí)，小試牛刀，經(jīng)典例題，跟蹤訓(xùn)練，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)，課堂小結(jié)，參考答案等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用第2課時學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用第2課時學(xué)案
高中人教A版 (2019)1.4 空間向量的應(yīng)用第2課時導(dǎo)學(xué)案

高中人教A版 (2019)1.4 空間向量的應(yīng)用第2課時導(dǎo)學(xué)案
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用第1課時學(xué)案設(shè)計

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用第1課時學(xué)案設(shè)計
人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用精品第1課時學(xué)案及答案

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊1.4 空間向量的應(yīng)用精品第1課時學(xué)案及答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部