【暑假提升】(人教A版2019)數(shù)學高一（升高二）暑假-1.3.2《空間向量運算的坐標表示》講學案（必修1）-學案下載-教習網

?1.3　空間向量及其運算的坐標表示
1．3.1　空間直角坐標系

知識點一　空間向量的坐標運算
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量運算
向量表示
坐標表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數(shù)量積
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

知識點二　空間向量的平行、垂直及模、夾角
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
⑴ 當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
⑵ a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
⑶ |a|＝＝；
⑷ cos〈a，b〉＝＝ .

知識點三　空間兩點間的距離公式
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
則P1P2＝||＝.

題型一、空間向量的坐標運算
1．已知，，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】,,，故選：D

2．空間中，與向量同向共線的單位向量為（???????）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【詳解】因為，所以，
所以與向量同向共線的單位向量，
故選：C.

3．若向量，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由已知可得，故．故選：C.

4．已知空間向量，，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意，空間向量，，，
可得，
則.
故選：A.
5．已知點A的坐標為，向量，則點B的坐標為______．
【答案】
【詳解】設，則，
因為，所以，所以，得，
所以點B的坐標為，
故答案為：

6．已知向量，，計算：
(1)，，；
(2)．
【詳解】(1)由已知，，
，
則
(2)

題型二、向量的坐標表示的應用
命題點1 空間平行垂直問題
1．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
【詳解】(1)如圖，建立空間直角坐標系，

設AC∩BD＝N，連接NE，
則點N，E的坐標分別為，(0,0,1)．
∴＝.
又點A，M的坐標分別是，，
∴＝.
∴＝.
又NE與AM不共線，∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0,0)，F(xiàn)(，，1)，
∴＝(0，，1)，∴·＝0，
∴⊥.
同理，⊥.
又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.

2．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
【詳解】證明：（1）在平面內，因為AB⊥AD，，所以.

又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因為平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因為平面，所以 .
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因為AC平面ABC，
所以AD⊥AC.

命題角度2　夾角、距離問題
1．如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點.建立適當?shù)目臻g直角坐標系，解決如下問題：

(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求證：平面.
【詳解】(1)因為平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則，，所以，，則.
(2)依題意得、、、，
所以，，，，
又，，
所以，.
(3)證明：依題意得、、、、，
則，，，
所以，，，
則，，即，，
又因為，所以，平面.

2．如圖，長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝CD，
H為C1G的中點．

(1)求證：EF⊥B1C；
(2)求FH的長．
(3)求EF與C1G所成角的余弦值；
【詳解】(1)證明　如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，D為坐標原點，則有E，F(xiàn)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.

＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵F，H，
∴＝，
∴||＝＝.
∴FH的長為.
(3)∵＝－(0,1,1)＝.
∴||＝.
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝.
即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為.

1．已知，，則_______.
【答案】6
【詳解】由，，得，，
.
.
故答案為：.

2．向量，，則_______．
【答案】
【詳解】由，，得，
，
故答案為：.
3．已知向量，，．若，則______．
【答案】
【詳解】因為，，，所以，
又因為，所以，解得，
故答案為：.

4．如圖，在空間直角坐標系中有長方體，，，．求：

(1)向量，，的坐標；
(2)，的坐標．
【詳解】(1)由已知，
則，，
(2),
.

5．設向量，，計算以及與所成角的余弦值．
【答案】，，，
【詳解】
．
.
∵，，
∴

6．已知點，若，求．
【答案】
【詳解】設故
由，可得，解得：，故

7．如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB1.

求證:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D．
【詳解】如圖,以C1點為原點,C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

設AC=BC=BB1=2,則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2), =(-2,2,-2), 所以·=0-4+4=0, 因此⊥, 故BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中點E,連接DE,由于E(1,0,1),所以=(0,1,1).
又=(0,-2,-2), 所以=-.
又ED和BC1不共線,所以ED∥BC1.
又DE?平面CA1D,BC1?平面CA1D,
故BC1∥平面CA1D.

8．如圖，在四面體PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA

(1)求證：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G為垂足，求證：AG⊥BD．
【詳解】(1)由AD⊥平面PAB，面，則，
又PB⊥PA，，則PB⊥平面APD；
(2)由（1）及面，則面面APD，
又面面APD，AG⊥PD，面APD，
所以面，而面，
所以AG⊥BD．

9．如圖，在棱長為1的正方體ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分別DD1、BD、BB1是中點.

(1)證明：EFCF；
(2)求EF與CG所成角的余弦值；
(3)求CE的長.
【詳解】(1)建立如圖所示空間直角坐標系：

則，
所以，,
因為,
所以，即EFCF.
(2)由（1）知，
所以，
所以與所成角的余弦值是；
(3)由（1）知，
所以，
即CE的長為.

10．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側棱底面ABCD，E?F?G分別為AB?SC?SD的中點.若，.

(1)求；
(2)求；
(3)判斷四邊形AEFG的形狀.
【詳解】(1)以D為原點，分別以射線DA?DC?DS為x軸?y軸?z軸的正半軸，建立空間直角坐標系.
則?????，
所以，則.

(2)由（1）知：，，
所以；
(3)由，故四邊形AEFG是平行四邊形，
又，則，即，而，
所以四邊形AEFG是矩形.

1．若，則=（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】.
故選：D
2．已知向量，，則（???????）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【詳解】由題設，則.
故選：C
3．已知向量，，且與互相垂直，則的值是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，，
所以，，
因為與垂直，
所以，解得；
故選：C
4．已知向量，，則下列結論不正確的是（???????）
A． B． C． D．，不平行
【答案】C
【詳解】，A正確；，B正確；
，C錯誤；
，，不平行，D正確.
故選：C.

5．一束光線自點P(1,1,1)出發(fā)，被xOy平面反射到達點Q(3,3,6)被吸收，那么光線所經過的距離是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【詳解】P關于xOy平面對稱的點為P′(1,1，－1)，則光線所經過的距離為
|P′Q|＝＝.

6．已知O為坐標原點，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當·取得最小值時，點Q的坐標為(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【詳解】設＝λ，
則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.
所以當λ＝時，·取得最小值，此時＝＝，即點Q的坐標為.

7．已知，，，則的坐標為______．
【答案】
【詳解】由題設，，所以. 故答案為：

8．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，則=___________．
【答案】2
【詳解】因為

故答案為：2

9．向量，，，且，，則______.
【答案】
【詳解】因，，而，則有，解得，即
又，且，則有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案為：

10．若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍是________．
【答案】(－∞，－2)
【詳解】由題意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，設a，b的夾角為θ，
因為θ為鈍角，所以cos θ＝0，|b|>0，
所以a·b

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