矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形
問(wèn)題1：什么樣的圖形是矩形？
問(wèn)題2：平行四邊形有哪些性質(zhì)呢？
平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等
平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行
平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分
平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等
欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？
前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí),成為什么圖形?
(矩形,由角變化得到)
如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,讓它有一組鄰邊相等,這個(gè)特殊的四邊形叫什么呢?
在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長(zhǎng)度，能否得到一個(gè)特殊的平行四邊形？``x``xk
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
∵四邊形ABCD是平行四邊形， AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形.
可以這樣做：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，展開(kāi)即可得到一個(gè)菱形.你知道其中的道理嗎？
如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個(gè)菱形的紙片？
畫(huà)出菱形的兩條折痕,并通過(guò)折疊手中的圖形回答以下問(wèn)題：
問(wèn)題1：菱形的四條邊在數(shù)量上有什么關(guān)系?
猜想1：菱形的四條邊都相等.
問(wèn)題2 菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如果是,指出它的對(duì)稱(chēng)軸.
問(wèn)題3 根據(jù)上面折疊過(guò)程，菱形的兩條對(duì)角線有什么性質(zhì)?
猜想3:菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
猜想2：是，兩條對(duì)角線所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸.
已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD， 對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O. 求證: AB = BC = CD =AD.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四邊形的對(duì)邊相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O. 求證：（1）AC⊥BD；（ 2 ）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
證明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴OB = OD （平行四邊形的對(duì)角線互相平分）.在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.同理可證∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.
菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
幾何語(yǔ)言:∵四邊形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD ;AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC.
例1 如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周長(zhǎng)．
解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周長(zhǎng)＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)．
1.已知菱形的周長(zhǎng)是36cm，那么它的邊長(zhǎng)是______.
2. 菱形ABCD中,O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，已知AB＝5cm,AO=4cm，求兩對(duì)角線AC , BD的長(zhǎng).
解：∵四邊形ABCD是菱形, ∴OA=OC，OB=OD,AC⊥BD. ∵Rt△AOB中， AB= 5，AO= 4, OB2+OA2=AB2，
∴OB= 3.∴BD= 2OB = 6 cm， AC= 2OA = 8 cm.
知識(shí)點(diǎn)三：菱形的面積公式
問(wèn)題1 菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計(jì)算菱形ABCD的面積嗎?
思考 前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對(duì)角線互相垂直,那么能否利用對(duì)角線來(lái)計(jì)算菱形ABCD的面積呢?
能.過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,則S菱形ABCD=底×高 =BC·AE.
如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O,試用對(duì)角線表示出菱形ABCD的面積.
解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·BO+ AC·DO = AC ·(BO+DO) = AC·BD.
菱形的面積 = 底×高 = 對(duì)角線乘積的一半
菱形的對(duì)角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，平行四邊形只被對(duì)角線分成兩隊(duì)全等的三角形。 我們通常將菱形問(wèn)題中求相關(guān)線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求直角三角形中相關(guān)線段的長(zhǎng)，再利用勾股定理來(lái)計(jì)算．
菱形的面積有三種計(jì)算方法：(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來(lái)求；(2)對(duì)角線分得的四個(gè)全等直角三角形面積之和；(3)兩條對(duì)角線乘積的一半．
例2 如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為20 m，∠ABC=60°，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD. 求兩條小路的長(zhǎng)(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)和花壇的面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).
解：∵花壇ABCD的形狀是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°. 在Rt△OAB中，AO = AB = ×20=10，∴花壇的兩條小路長(zhǎng)AC = 2AO =20 (m)， BD = 2BO=20 ≈34. 64 (m). 花壇的面積S四邊形ABCD=4×S△OAB = AC·BD=200 ≈346. 4 (m2).
菱形ABCD的兩條對(duì)角線BD，AC長(zhǎng)分別是6cm和8cm，求菱形面積.
1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ） A.對(duì)角相等 B.對(duì)邊相等 C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線相等
2.如圖,在菱形ABCD中,E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),如果EF=2,那么線段CD的長(zhǎng)是(　　)A.4 B.8 C.12 D.16
3.如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則△ABD的周長(zhǎng)等于（　　） A.18 B.16 C.15 D.14
4. 如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,若∠BCO=55°,則∠CBO=　　°.
5. 如圖,在△ABC中,AB=AC,四邊形ADEF是菱形.求證:BE=CE.
證明:∵四邊形ADEF是菱形,∴DE=FE,AB//FE,DE//AC,∴∠B=∠CEF,∠C=∠BED.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BED=∠CEF.在△DBE和△FCE中,∵∠B=∠C,∠BED=∠CEF,DE=FE,∴△DBE≌△FCE,∴BE=CE.
6.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.

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18.2.2 菱形

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