學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 探索并證明菱形的性質(zhì)定理. 2. 應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計(jì)算或證明問題．
思考：如果從邊的角度，將平行四邊形特殊化，內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等，這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢?
菱形是特殊的平行四邊形.
平行四邊形不一定是菱形.
將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可得到一個(gè)菱形.
畫出菱形的兩條折痕，并通過折疊手中的圖形回答以下問題：
1. 菱形是軸對稱圖形嗎？
2. 菱形有幾條對稱軸？
3. 對稱軸之間有什么關(guān)系？
4. 你能看出圖中哪些線段和角相等？
AB=CD=AD=BC OA=OC，OB=OD
∠DAB=∠BCD ， ∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC，△ DBC ，△ACD，△ABD
Rt△AOB， Rt△BOC ，Rt△COD，Rt△DOA
Rt△AOB ≌Rt△BOC≌Rt△COD ≌Rt△DOA△ABD≌△CBD ，△ABC≌△ADC
菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì).
由此我們可以得到菱形的性質(zhì)：
菱形是軸對稱圖形， 對稱軸有兩條，是菱形兩條對角線所在的直線.
問題：猜想菱形的四條邊在數(shù)量上有什么關(guān)系？ 菱形的兩條對角線有什么關(guān)系？
猜想1：菱形的四條邊都相等.
猜想2：菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
已知：如圖，四邊形ABCD是菱形. 求證：(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=AD. 又∵AB = CD，AD = BC, ∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四邊形ABCD是菱形, ∴OB = OD . 在等腰三角形ABD中， ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可證∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
例1：如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，求證：AE＝AF.
證明：連接AC. ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
問題1：菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形面積公式計(jì)算菱形ABCD的面積嗎?
思考：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對角線互相垂直，那么能否利用對角線來計(jì)算菱形ABCD的面積呢?
能.過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,則S菱形ABCD=底×高 =BC·AE.
問題2：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，試用對角線表示出菱形ABCD的面積.
解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
菱形的面積 = 底×高 = 對角線乘積的一半
例2：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對角線AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.又∵菱形兩組對邊的距離相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ .
1. 如圖，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，則△ABD的周長是 （ ） A.10 B.12 C.15 D.20
2. 如圖，菱形ABCD的周長為48cm，對角線AC、BD相交于O點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接OE，則線段OE的長為_______.
3. 如圖，已知菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則這個(gè)菱形的高DE為（　　） A. 2.4cm B. 4.8cm C. 5cm D. 9.6cm
4. 如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長10cm.
求：(1)對角線AC的長度; (2)菱形ABCD的面積.
∵四邊形ABCD是菱形，
(2)菱形ABCD的面積
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
5. 如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點(diǎn)，CD＝5cm，OD＝3cm；過點(diǎn)C作CE∥DB，過點(diǎn)B作BE∥AC，CE與BE相交于點(diǎn)E.(1)求OC的長；(2)求四邊形OBEC的面積．
解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm.(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四邊形OBEC為平行四邊形.又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四邊形OBEC為矩形.∵OB＝OD＝3cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
1.（3分）（2021?河南6/23）關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是（ ） A．四條邊相等 B．對角線相等 C．對角線互相垂直 D．是軸對稱圖形
【解答】解：A、菱形的四條邊相等，正確，不符合題意，B、菱形的對角線互相垂直且平分，對角線不一定相等，不正確，符合題意，C、菱形的對角線互相垂直且平分，正確，不符合題意，D、菱形是軸對稱圖形，正確，不符合題意，故選：B．
2.（3分）（2021?西藏9/27）已知一元二次方程x2-10x+24=0的兩個(gè)根是菱形的兩條對角線長，則這個(gè)菱形的面積為（ ） A．6B．10 C．12 D．24
3.（3分）（2021?山西13/23）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=8，AC=6，OE∥AB，交BC于點(diǎn)E，則OE的長為 ．
【分析】由菱形的性質(zhì)可得：AO=3，BO=4，AC⊥BD，借助勾股定理求出AB=5，再證明OE是△ABC的中位線即可求解．
1.周長=邊長的四倍2.面積=底×高=兩條對角線乘積的一半
1.兩組對邊平行且相等；2.四條邊相等
兩組對角分別相等，鄰角互補(bǔ)
1.兩條對角線互相垂直平分；2.每一條對角線平分一組對角

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18.2.2 菱形

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