高中同步學案優(yōu)化設計GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI第六章2022內容索引知識網絡系統(tǒng)構建題型突破深化提升知識網絡系統(tǒng)構建題型突破深化提升名師點析1.向量加法是由三角形法則定義的,要點是“首尾相接”,即 .2.向量減法實質是向量加法的逆運算,是相反向量的作用.3.數(shù)乘運算即通過實數(shù)與向量的乘積,實現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換.名師點析向量數(shù)量積的求解策略(1)利用數(shù)量積的定義、運算律求解.在數(shù)量積運算律中,有兩個形似實數(shù)的完全平方公式在解題中的應用較為廣泛,即(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2,上述兩公式以及(a+b)·(a-b)=a2-b2這一類似于實數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應用.(2)借助零向量.即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”,再合理地進行向量的移項以及平方等變形,求解數(shù)量積.(3)借助平行向量與垂直向量.即借助向量的分解,將待求的數(shù)量積轉化為有垂直關系或平行關系的向量數(shù)量積,借助a⊥b,則a·b=0等解決問題.(4)建立平面直角坐標系,利用坐標運算求解數(shù)量積.答案 D 例3(1)(2021全國甲卷)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,則k=　　　　　.?(2)設A,B,C,D為平面內的四點,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).解析 ∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0, 所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1),即(1,-5)=(x-4,y-1).名師點析1.證明向量共線問題常用的方法(1)向量a,b(a≠0)共線?存在唯一的實數(shù)λ,使b=λa.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共線?x1y2-x2y1=0.(3)向量a與b共線?|a·b|=|a||b|.(4)向量a與b共線?存在不全為零的實數(shù)λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.2.證明平面向量垂直問題的常用方法a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).所以ka-b=(k-3,-5k+2),a+3b=(10,-11).因為ka-b與a+3b垂直,例4在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)求證:A=2B;證明 由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0

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