2.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計(jì)算或證明問(wèn)題（難點(diǎn)）
1.探索并證明菱形的性質(zhì)定理（重點(diǎn)）
回憶一下，什么是平行四邊形，它有哪些性質(zhì)？
定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
邊：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.
角：平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ).
對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.
對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.
下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形.觀察這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？
菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．要點(diǎn)精析：(1)菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．二者必須同時(shí)具備，缺一不可．(2)菱形的定義既是菱形的基本性質(zhì)，也是菱形的基本判定方法．
菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．此外，菱形還具有哪些特殊性質(zhì)呢? 根據(jù)菱形的軸對(duì)稱性，你發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊具有什么大小關(guān)系?
1.菱形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分。
2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
在自己剪出的菱形上畫(huà)出兩條折痕,折疊手中的圖形(如圖），并回答以下問(wèn)題:
問(wèn)題1 菱形是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,指出它的對(duì)稱軸. 是，兩條對(duì)角線所在直線都是它的對(duì)稱軸.問(wèn)題2 根據(jù)上面折疊過(guò)程，猜想菱形的四邊在數(shù)量上有什么關(guān)系?菱形的兩對(duì)角線有什么關(guān)系?
猜想1 菱形的四條邊都相等.
猜想2 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒(méi)有的特殊性質(zhì).
對(duì)稱性：是軸對(duì)稱圖形.邊：四條邊都相等.對(duì)角線：互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
角：對(duì)角相等.邊：對(duì)邊平行且相等.對(duì)角線：相互平分.
已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O. 求證:(1)AB=BC=CD=AD； (2)AC⊥BD；
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AD=BC（平行四邊形的對(duì)邊相等）. 又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD.
又∵四邊形ABCD是菱形,
（2）∵AB=AD, ∴ △ABD是等腰三角形.
∴OB=OD（菱形的對(duì)角線互相平分）.在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD, ∴ AO⊥BD，即AC⊥BD.
例1.菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（ ） A.內(nèi)角和為360° B.對(duì)角線互相垂直 C.對(duì)邊平行 D.對(duì)角線互相平分
例2.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)AB和對(duì)角線AC的長(zhǎng)。
解：∵四邊形 ABCD 是菱形，∴AB=AD（菱形的四條邊相等），AC⊥BD（菱形的對(duì)角線互相垂直），OB=OD= BD= =3（菱形的對(duì)角線互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2 + OB2 = AB2，∴OA= .∴AC=2OA= （菱形的對(duì)角線互相平分）
若菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°，那么60°角的兩邊與較短的對(duì)角線可構(gòu)成等邊三角形，且兩條對(duì)角線把菱形分成四個(gè)全等的含30°角的直角三角形.
在菱形中作輔助線經(jīng)常連接對(duì)角線，構(gòu)造三角形來(lái)做題，能夠迎刃而解.
菱形的對(duì)角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，我們通常將菱形問(wèn)題中求相關(guān)線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求直角三角形中相關(guān)線段的長(zhǎng)，再利用勾股定理來(lái)計(jì)算．
1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是 （ ） A.對(duì)角相等 B.對(duì)邊相等 C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線相等
2.如圖，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，則△ABD的周長(zhǎng)是 (　　)A.10 B.12 C.15 D.20
3.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD 相交于點(diǎn)O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD 的長(zhǎng).

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1 菱形的性質(zhì)與判定

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