勾股定理的簡單應(yīng)用（重點）
用勾股定理在數(shù)軸上表示數(shù)
我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸 上畫出表示 的點嗎？ 如果能畫出長為 的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示 的點.容易知道，長為 的線段是兩條直角邊的長都為1的直角三角形的斜邊.長為 的線段能是直角邊的長為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？
利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，直角邊的長為正整數(shù)2, 3的直角三角形的斜邊長為 .由此，可以依照如下方法在數(shù)軸上畫出表示 的點. 如圖,在數(shù)軸上找出表示3的點A， 則OA=3,過點A作直線l垂直于OA，在l上取點B，使AB = 2,以原點O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點C即為表示 的點.
類似地，利用勾股定理，可以作出長為 …的線段(圖1).按照同樣方法，可以在數(shù)軸上畫出表示 …的點 (圖 2).
利用 a＝ 可以作出．如圖2，先作出與已知線段AB垂直，且與已知線段的端點A相交的直線l，在直線l上以A為端點截取長為2a的線段AC，連接BC，則線段BC即為所求．如圖2，BC就是所求作的線段．
如圖1，已知線段AB的長為a，請作出長為 a的 段．(保留作圖痕跡，不寫作法)
這類問題要作的線段一般是直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理由要作的線段確定兩直角邊的長是解題的關(guān)鍵．
1 在數(shù)軸上做出表示 的點.
如圖所示．作法：(1)在數(shù)軸上找出表示4的點A，則OA＝4；(2)過A作直線l垂直于OA；(3)在直線l上取點B，使AB＝1；(4)以原點O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與 數(shù)軸的交點C即為表示 的點．
2 如圖，點C表示的數(shù)是(　　) A．1 B. C．1.5 D.
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為(－2，3)，以點O為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點A，則點A的橫坐標(biāo)介于(　　)A．－4和－3之間 B．3和4之間C．－5和－4之間 D．4和5之間
勾股定在幾何問題中的應(yīng)用
如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC ＝10. 求BC的長．
導(dǎo)引：題中沒有直角三角形，可以通 過作高構(gòu)建直角三角形；過點 A作AD⊥BC于D，圖中會出現(xiàn) 兩個直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，這兩 個直角三角形有一條公共邊AD，借助這條公共邊， 可建立起直角三角形之間的聯(lián)系．
解：如圖，過點A作AD⊥BC于D. ∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝ AC＝5. 在Rt△ACD中， AD 在Rt△ABD中， BD ∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
利用勾股定理求非直角三角形中線段的長的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問題．
1 如圖，等邊三角形的邊長是6.求： (1)高AD的長； (2)這個三角形的面積.
(1)由題意可知，在Rt△ADB中， AB＝6，BD＝ BC＝3，∠ADB＝90°. 由勾股定理， 得AD＝(2)S△ABC＝ BC·AD＝ ×6×3 ＝
如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的“田字格”，只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出長度為 的線段________條．
3 如圖，每個小正方形的邊長均為1，則△ABC中， 長為無理數(shù)的邊有(　　) A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
1．勾股定理與三角形三邊平方關(guān)系的綜合應(yīng)用：單一應(yīng)用：先由三角形三邊平方關(guān)系得出直角三角形后， 再求這個直角三角形的角度和面積：綜合應(yīng)用：先用勾股定理求出三角形的邊長，再由三角形 平方關(guān)系確定三角形的形狀，進而解決其他問題；逆向應(yīng)用：如果一個三角形兩條較小邊長的平方和不等于 最大邊長的平方，那么這個三角形就不是直角三角形.

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3.3 勾股定理的簡單應(yīng)用

版本： 蘇科版

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