等腰三角形的判定等腰三角形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用
1、等腰三角形是怎樣定義的?
有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形.
①等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.
③等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊 上的高重合(也稱為“三線合一”).
②等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成 “等邊對(duì)等角”) .
2、等腰三角形有哪些性質(zhì)?
思考 我們知道,如果一個(gè)三角形有兩條邊相等,那么它們所對(duì)的角相等. 反過來,如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系?
如圖13.3-4,在△ABC中,∠B=∠C.作△ABC的角平分線AD.在△BAD和△CAD中, ∠1=∠2, ∠B=∠C , AD=AD,∴△BAD ≌△CAD (AAS).∴ AB=AC.
由上面推證,我們可以得到等腰三角形的判定方法: 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等.那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡寫成 “等角對(duì)等邊”).
特別提醒“等角對(duì)等邊”不能敘述為“如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等,那么它的兩條腰相等”,因?yàn)樵谖磁卸ǔ鏊堑妊切沃?,不能用“底角”“頂角”“腰”“底邊”這些名詞.
“等角對(duì)等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法,在證明過程中,經(jīng)常通過計(jì)算三角形各角的度數(shù),或利用角的關(guān)系得到角相等,從而得到所對(duì)的邊相等.
求證:如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角 形的一邊,那么這個(gè) 三角形是等腰三角形. 已知: ∠CAE是△ABC 的外角, ∠1=∠2,AD//BC (圖 13.3-5). 求證: AB=AC. 分析:要證明AB=AC,可先證 明∠B=∠C.因?yàn)椤? = ∠2,所以可以設(shè)法找出∠B,∠C與∠1, ∠2的關(guān)系.
證明: ∵ AD//BC , ∴∠1=∠B ( ), ∠2=∠C( ), 而已知∠1=∠2,所以 ∠B=∠C. ∴AB=AC( ).
等腰三角形的判定方法主要有兩種:一是判定定理;二是定義. 另外還有很多方法,如在同一個(gè)三角形 中,三線中兩線重合,也能說明是等腰三角形. 但不常用,一般是通過推理得出角相等或邊相等, 再得出是等腰三角形.
如圖,∠A=36°, ∠DBC = 36°, ∠C = 72°. 分別計(jì)算∠1, ∠2的度數(shù),并說 明圖中有哪些等 腰三角形.
解: ∠1 = 72°, ∠2= 36°; 圖中的等腰三角形有 △ABD,△BDC, △ABC.
在△ABC中,∠A和∠B的度數(shù)如下,能判定△ABC 是等腰三角形的是(  ) A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40° C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60°
3 如果一個(gè)三角形的一內(nèi)角平分線垂直于對(duì)邊, 那么這個(gè)三角形一定是(  ) A.等腰三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形
已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長 為h, 求作這個(gè)等腰 三角形.
作法: (1)作線段AB=a. (2) 作線段AB的垂直平分線 MN,與AB相交于點(diǎn)D. (3) 在MN上取一點(diǎn)C,使 DC=h. (4) 連接AC,BC,則△ABC 就是所求作的等腰三角形.
等腰三角形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用
等腰三角形的判定與性質(zhì)的異同相同點(diǎn):都是在一個(gè)三角形中;區(qū)別:判定是由角到邊,性質(zhì)是由邊到角.即:等邊 性質(zhì)判定等角.
如圖,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于 點(diǎn)E,交AC的延長線于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)D, 且BE=CF. 求證:DE=DF.
導(dǎo)引:要證DE=DF,可構(gòu)造以DE和DF為對(duì)應(yīng)邊的全 等三角形,不妨過點(diǎn)E作EG∥AC交BC于點(diǎn)G, 則只要證明△EDG≌△FDC即可,缺少的條件 可運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及判定得出.
證明:過點(diǎn)E作EG∥AC交BC于點(diǎn)G,如圖,則∠1=∠F, ∠2=∠3.∵AB=AC,∴∠B=∠3(等邊對(duì)等角). ∴∠B=∠2.∴BE=EG(等角對(duì)等邊). 又∵BE=CF,∴EG=CF. 在△EDG和△FDC中, ∠1=∠F, ∠4=∠5, EG= FC, ∴△EDG≌△FDC(AAS). ∴DE=DF.
1 (中考·泰安)如圖,AD是△ABC的角平分線, DE⊥AC,垂足為E,BF∥AC交ED的延長線于 點(diǎn)F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.給出下 列四個(gè)結(jié)論:①DE=DF;②DB=DC;③ AD⊥BC;④AC=3BF,其中正確的結(jié)論共 有 (  ) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)
2 在下列三角形中,若AB=AC,則不能被一條直 線分成兩個(gè)小等腰三角形的是(  )
等腰三角形的三種判定方法:(1)當(dāng)三角形有兩條邊相等時(shí),應(yīng)用“有兩條邊相等的 三角形是等腰三角形”來判定.(2)當(dāng)三角形中有兩個(gè)角相等時(shí),應(yīng)用“如果一個(gè)三角 形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等” 來證明.

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2.5 等腰三角形的軸對(duì)稱性

版本: 蘇科版

年級(jí): 八年級(jí)上冊(cè)

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