?專訓(xùn)13.3.1.1 應(yīng)用等邊對等角的計算+證明
一、單選題
1．如圖，中，，是邊的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、，連接，若恰好為的平分線，則的度數(shù)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
設(shè)出∠B的度數(shù)，然后利用垂直平分線和角平分線的性質(zhì)表示出∠BAC和∠C的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理列出方程求解即可．
【詳解】
解：設(shè)∠B=x°，
∵DE是邊AB的垂直平分線，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B=x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2x°，
∵BA=BC，
∴∠C=∠BAC=2x°，
在△ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠B=36°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)并列出方程求解．
2．如圖，在△ABE中，∠E＝25°，AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C，連接AC，若AB＝AC，那么∠BAE的度數(shù)是（ ）

A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】B
【分析】
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到CA＝CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAE＝∠E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠ACB＝2∠E，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
解：∵M(jìn)N是AE的垂直平分線，
∴CA＝CE，
∴∠CAE＝∠E=25°，
∴∠ACB＝2∠E＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝50°，
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°，
∴∠BAE=80°+25°=105°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠BAC＝5∠BAE，則∠C的度數(shù)為（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】
設(shè)∠BAE＝x°，則∠BAC＝5x°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠EAC，求出∠C＝4x°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠C＋∠BAC＝90°，求出x即可．
【詳解】
解：設(shè)∠BAE＝x°，則∠BAC＝5x°，
∵ED是AC的垂直平分線，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC＝5x°?x°＝4x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C＋∠BAC＝90°，
∴4x＋5x＝90，
解得：x＝10，
即∠C＝40°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE＝CE是解此題的關(guān)鍵．
4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F(xiàn)為AB延長線一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，則∠ACF的度數(shù)是（ ）

A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B
【分析】
由“HL”可證Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE=∠BCF=15°，即可求解．
【詳解】
解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=15°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=60°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明Rt△ABE≌Rt△CBF是本題的關(guān)鍵．
5．如圖，若，則下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)翻三角形全等的性質(zhì)一一判斷即可．
【詳解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AD=AB，AE=AC，BC=DE，∠ABC=∠ADE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB，
∴∠CDE=180°-∠ADB-ADE，
∵∠ABD=∠ADE，
∴∠BAD=∠CDE
故B、C、D選項(xiàng)不符合題意，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考了三角形全等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是三角形全等的性質(zhì)．
6．如圖，△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P．以下結(jié)論：①PA＝PC；②∠BPC＝90°＋∠BAC；③∠ABP＋∠BCP＋∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正確的有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PA＝PB＝PC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】
解：∵邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PC，
故①正確；
∵PA＝PB，PA＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC＝2∠BAC，
故②錯誤；
同理：∠APC＝2∠ABC，
故④正確；
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°，
∴2∠BAC+2∠PCB＝180°，
∴∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°，
故③正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)證明PA＝PB＝PC是解題關(guān)鍵．
7．如圖，為的中線，將沿著翻折得到，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，與相交于點(diǎn)F，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)翻折的性質(zhì)進(jìn)行分析即可；
【詳解】
由翻折可知，，
∵為的中線，
∴D是BC的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
故一定正確的選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了翻折的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．


二、填空題
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以點(diǎn)B為圓心、以BC的長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ADC的度數(shù)為________；

【答案】109°
【分析】
根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系求出∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠BCD，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ADC．
【詳解】
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=52°，
∴∠B=90°-∠A=90°-52°=38°，
∵BC=BD，∠BCD+∠BDC+∠B=180°，
∴∠BCD=∠BDC=（180°-∠B）=（180°-38°）=71°，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=71°+38°=109°，
故答案為：109°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCD是解決問題的關(guān)鍵．
9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD為∠ABC的平分線，則∠ABD＝_______°．

【答案】32.5
【分析】
由已知根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得兩底角的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義即可求解．
【詳解】
解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=65°，
又BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABD=32.5°．
故答案為：32.5．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義；正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，AD是∠BAC的平分線，EF垂直平分AD交BC的延長線于點(diǎn)F，若∠FAC＝65°，則∠B的度數(shù)為______．

【答案】65°
【分析】
根據(jù)角平分線的定義得出∠CAD＝∠BAD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出FA＝FD，推出∠FDA＝∠FAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．
【詳解】
解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
設(shè)∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案為：65°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)，能求出∠FDA＝∠FAD是解此題的關(guān)鍵．
11．如圖，等腰中，，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是______．

【答案】60°
【分析】
由于AB=AC，∠B=40°，根據(jù)等邊對等角可以得到∠C=40°，又AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AE=CE，再根據(jù)等邊對等角得到∠C=40°=∠CAE，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BAC即可求出∠BAE的度數(shù)．
【詳解】
解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
又∵AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C=40°，
∴∠BAE=∠BAE-∠CAE=60°．
故答案為：60°
【點(diǎn)睛】
此題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；利用角的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．
12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E，垂足為D．若∠CAE=42°，則∠B的度數(shù)是_________．

【答案】24°
【分析】
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE，再利用直角三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】
解：∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE=BE，∠ADE=90°，
∴∠EAB=∠B．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠CAE+∠EAB+∠B=90°．
∵∠CAE=42°，
∴2∠B=90°-42°=48°
∴∠B=24°．
故答案為：24°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線的定義和直角三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
13．如圖，是正五邊形的一條對角線，以為圓心，為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，則__________．

【答案】72
【分析】
先根據(jù)正多邊形求得一個內(nèi)角，根據(jù)求得，由題意，即可求得
【詳解】
五邊形是正五邊形
，
，




故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，熟練以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)且不與A、B重合，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)F．若∠A＝40°，當(dāng)△DEF為等腰三角形時，∠ACD＝__________________．

【答案】30°或15°或60°
【分析】
若△DEF為等腰三角形，分EF=DF，ED=EF，DE=EF三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求解．
【詳解】
解：由翻折的性質(zhì)可知∠E=∠A=α，∠CDE=∠ADC，
如圖1，

當(dāng)EF=DF時，則∠EDF=∠E=α，
∵∠EDF=∠CDE-∠CDB，∠CDB=∠A+∠ACD，
∴α=∠ADC-（∠A+∠ACD）
=180°-2（∠A+∠ACD）
=180°-2（α+∠ACD），
∴∠ACD=90°-×40°=30°，
∴當(dāng)∠ACD=30°時，△DEF為等腰三角形，
當(dāng)ED=EF時，∠EDF=∠EFD==70°，
∴2∠ADC=180°+∠EDF=250°，
∴∠ADC=125°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-∠A-125°=15°，
∵∠DFE=∠A+∠ACF，
∴∠DFE≠∠DEF，
如圖2，

當(dāng)DE=EF時，∠EDF=∠EFD=∠A=20°；
∴∠ACF=180°-∠A-∠EFD=120°，
∴∠ACD=∠ACF=60°；
綜上：當(dāng)∠ACD=30°或15°或60°時，△DEF為等腰三角形，
故答案為：30°或15°或60°．
【點(diǎn)睛】
本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．
15．如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)為，當(dāng)時，則的度數(shù)為________．

【答案】
【分析】
如圖，連接，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)可得，，并由平行線的性質(zhì)可推出，最后由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果．
【詳解】
解：如圖，連接

∵點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)為，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了軸對稱、等腰三角形及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握軸對稱、等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，F(xiàn)D＝FE，△DEF的頂點(diǎn)E在邊BC上移動，在移動過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與線段CA相交于點(diǎn)Q，當(dāng)E為BC中點(diǎn)，連接AE、PQ，若AP＝3，AQ＝4，PQ＝5，則AC的長＝________．

【答案】12
【分析】
在CQ上截取CH，使得CH=AP，連接EH，證明△CHE≌△APE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出HE=PE，∠CEH=∠AEP，證明△HEQ≌△PEQ（SAS），得出HQ=PQ，則可求出答案．
【詳解】
解：在CQ上截取CH，使得CH=AP，連接EH，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠EAP=45°，AB=AC，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴AE=CE，
∵在△CHE與△APE中：
，
∴△CHE≌△APE（SAS），
∴HE=PE，∠CEH=∠AEP，
∴∠HEQ=∠AEC-∠CEH-∠AEQ=∠AEC-∠AEP-∠AEQ=∠AEC-∠PEF=90°-45°=45°，
∴∠HEQ=∠PEQ=45°，
∵在△HEQ與△PEQ中，
，
∴△HEQ≌△PEQ（SAS），
∴HQ=PQ，
∴AC=AQ+QH+CH=AQ+PQ+AP=4+5+3=12，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

三、解答題
17．已知在等腰中，，，求的度數(shù)．
【答案】
【分析】
根據(jù)等腰三角形兩底角相等可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列方程即可得解．
【詳解】
解：∵（已知），
∴（等邊對等角）.
∵（已知），
∴（等式性質(zhì)）.
∵（三角形的內(nèi)角和等于180°），
∴，
∴，
∴.
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)．
18．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，作，交邊于點(diǎn)．求證：．

【答案】證明見解析
【分析】
通過等邊對等角、三角形外角的性質(zhì)可得，利用ASA得到≌，即可得證．
【詳解】
證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查等邊對等角、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握上述性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
19．已知：如圖，GB＝FC，AB=AC，D、E是BC上兩點(diǎn)，作GE⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，求證：GE＝FD．

【答案】見詳解
【分析】
由等邊對等角得到∠B＝∠C，由AAS證得△BEG≌△CDF得GE＝FD．
【詳解】
證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵GE⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，
∴∠GEB＝∠FDC＝90°，
又∵GB＝FC，
∴△BEG≌△CDF（AAS），
∴GE＝FD．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握AAS證三角形全等，是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，已知在等腰中，點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是，和邊上的點(diǎn)，且，，試說明．

【答案】見解析．
【分析】
由等腰三角形的性質(zhì)可知，由三角形外角的性質(zhì)和等式的性質(zhì)可證，然后根據(jù)“ASA”證明即可．
【詳解】
解：∵（已知），
∴（等邊對等角）．
∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
（已知），
∴（等量代換）．
∵（已知），
∴（等式性質(zhì)）．
在與中，
，
∴（ASA），
∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
【點(diǎn)睛】
此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21．如圖，中是鈍角，點(diǎn)在邊的垂直平分線上．

（1）如圖1，若點(diǎn)也在邊的垂直平分線上，且，求的度數(shù)：
（2）如圖2，若點(diǎn)也在的外角平分線上，過點(diǎn)作于，試找出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）；（2），見解析
【分析】
（1）先由垂直平分線的性質(zhì)得到PB=PC、PA=PC，于是可和∠BPD=∠CPD和∠APE=∠CPE，由四邊形內(nèi)角和是求出∠DPE的度數(shù)，再用∠BPA =2∠DPE即可求出的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)P作PFAC于F，連接PC，證明可得AH=AF，然后再證明，得到BH=CF，再變形可得到AB、AH、AC之間的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】
證明：（1）如圖1，PD是BC的垂直平分線， PE是AC的垂直平分線，連接，

∵點(diǎn)在邊的垂直平分線上，
，PD⊥BC，BD=CD，
，∠PDC=90°
∵點(diǎn)在邊的垂直平分線上，
，PE⊥AC，AE=CE，
，∠PEC=90°
∵
，
∴∠BPA=2∠DPC+2∠EPC=2∠DPE=2×70°=140°；
（2）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是；
理由如下：
如圖2，過點(diǎn)作于F，連接，
∵點(diǎn)在的平分線上，，，
∴PH=PF，
在Rt△PAH和Rt△PAF中
，
（HL），
，
∵點(diǎn)P在邊的垂直平分線PD上，

，
在Rt△PBH和Rt△PCF中
，
（HL），
，
，
．
【點(diǎn)睛】
此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定和性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
22．如圖1，點(diǎn)D在線段AB上，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，DE＝DA，DE∥AC．
（1）求證：BC∥AE；
（2）若D為AB中點(diǎn)，請用無刻度的直尺 在圖2中作∠BAC的平分線AF．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）由DE∥AC可得∠CAB=∠ADE，又AB=AC，DE=DA，根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可得∠ABC=∠DAE，從而證明BC∥AE；
（2）延長ED交BC于點(diǎn)F，則易得CF=AE=BF，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AF平分∠BAC．
【詳解】
解：（1）證明：∵DE∥AC，
∴∠CAB=∠ADE，
又AB=AC，DE=DA，
∴∠ABC=∠ACB=(180°?∠CAB)，
同理可得：∠DAE=∠DEA=(180°?∠ADE)，
∴∠ABC=∠DAE，
∴BC∥AE．
（2）如圖3所示，AF為所作．

【點(diǎn)睛】
本題考查了作圖-基本作圖，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉幾何圖形基本性質(zhì)．
23．如圖，已知．

（1）作的平分線，交邊于點(diǎn)D；作的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）所作的圖中，連接．如果，猜想并說明與存在的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）見解析；（2），證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意在圖中作出角平分線和垂直平分線即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和等邊對等角即可求證
【詳解】
（1）如圖：以點(diǎn)為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，分別以為圓心，大于的長為半徑作弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)；
以大于的長為半徑，分別在兩側(cè)作弧交于點(diǎn)，則即為的垂直平分線，分別交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接


（2）
證明如下：



平分

為的垂直平分線



【點(diǎn)睛】
本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的作圖，垂直平分線的作圖，角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．

（1）當(dāng)時，______，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動時，逐漸變______（填“大或“小”）．
（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，？請說明理由．
【答案】（1），?。唬?）當(dāng)時，．
【分析】
（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案；
（2）當(dāng)時，利用，，得到，根據(jù)，證明．
【詳解】
（1），，
，
由圖形可知，逐漸變??；
故答案為：，??；
（2）當(dāng)時，，
理由：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，在中，，在邊上取一點(diǎn)D，使得，過B作的平行線，過D作的垂線與交于點(diǎn)E，連結(jié)．

（1）求證：．
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）17°
【分析】
（1）由平行線的性質(zhì)得出∠BAC=∠EBD，可證明△ABC≌△BED（ASA）；
（2）由（1）可知AB=BE，則∠EAB=∠AEB，求出∠EAB的度數(shù)，則可求出答案．
【詳解】
解：（1）證明：∵BE∥AC，
∴∠BAC=∠EBD，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDB=∠C，
又∵BD=AC，
∴△ABC≌△BED（ASA）．
（2）∵△ABC≌△BED，
∴AB=BE，
∴∠EAB=∠AEB，
∵∠BAC=34°，
∴∠EBD=34°，
∴∠EAB= =73°，
∴∠AED=90°-∠EAB=90°-73°=17°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，已知在中，．

（1）求證：．
（2）求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）70°
【分析】
（1）由條件可得出∠B=∠C，則結(jié)合已知可證明△BDE≌△CFD；
（2）由（1）可知△BDE≌△CFD，則有∠BED=∠CDF，從而可求得∠BDE+∠CDF=110°，可求得∠EDF的度數(shù)．
【詳解】
解：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）；
（2）由（1）可知△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=180°-∠B=110°，
∴∠EDF=180°-110°=70°．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的證明方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵．
27．如圖1，以AB為腰向兩側(cè)分別作全等的等腰△ABC和△ABD，過頂角的頂點(diǎn)A作∠MAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），將∠MAN的邊AM與AC疊合，繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與射線CB、BD分別交于點(diǎn)E、F．設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為β．
（1）如圖1，當(dāng)0°＜β＜α?xí)r，說明線段BE＝DF的理由；
（2）當(dāng)α＜β＜2α?xí)r，在圖2中畫出符合題意的圖形井寫出此時線段CE、FD與線段BD的數(shù)量關(guān)系是 　 ?。ㄖ苯訉懗龃鸢福?br /> （3）聯(lián)結(jié)EF，在∠MAN繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中（0°＜β＜2α），當(dāng)線段AD⊥EF時，用含α的代數(shù)式表示∠CEA＝　 　（直接寫出答案）．

【答案】（1）證明見解析，（2）CE﹣FD＝BD，（3）90°﹣α．
【分析】
（1）由“ASA”可證△AEB≌△AFD，可得BE＝DF；
（2）根據(jù)題意即可作出圖形，由“ASA”可證△AEB≌△AFD，得BE＝DF，即可得結(jié)論；
（3）由（2）可得AE＝AF，可得∠AFE＝∠AEF，由角的數(shù)量關(guān)系可求解．
【詳解】
解：（1）如圖1中，
∵等腰△ABC和△ABD全等，
∴AB＝AC＝AD，∠C＝∠ABC＝∠ABD＝∠D，∠BAC＝∠BAD，
∵∠MAN＝∠BAC＝α，
∴∠MAN＝∠BAD＝α，
∴∠EAB＝∠FAD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴BE＝DF．
（2）畫圖如圖所示，線段CE、FD與線段BD的數(shù)量關(guān)系是CE﹣FD＝BD，

理由如下：∵∠MAN＝∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴BE＝DF，
∵BC＝BD，
∴CE﹣FD＝CE﹣BE＝BC＝BD，
故答案為：CE﹣FD＝BD；
（3）如圖3中，設(shè)AE交BD于點(diǎn)O，連接EF．

由（2）得，△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠BAD＝∠EAF，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠AFE，
∵AD⊥EF，
∴∠DAF+∠AFE＝90°，
∵∠DAF＝∠BAE，∠ABD＝∠AFE，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠AOB＝∠AOF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠EAF＝90°﹣α，
∵∠CEA＝∠AFD，
∴∠CEA＝90°﹣α，
故答案為：90°﹣α．
【點(diǎn)睛】
本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明△AEB≌△AFD．
28．如圖，在中，，，，延長交于點(diǎn)E．

求證：（1）．
（2）平分．
（3）若，，，求線段的長度．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8
【分析】
（1）易證AD=BD，即可證明△ACD≌△BCD，即可解題；
（2）由（1）結(jié)論和∠ACB=90°，可得∠ACD=∠BCD=45°，即可求得∠BDC=∠ADC=120°，可得∠CDE=60°，即可解題；
（3）易證△CDE≌△MDE，可得CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，即可求得∠MEF=30°，即可求得MF=BF，即可解題．
【詳解】
解：（1）證明：∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCD，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠BDC=∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，
∴DE平分∠CDB；
（3）∵在△CDE和△MDE中，
，
∴△CDE≌△MDE（SAS），
∴CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，
∴∠MEF=30°，
∵EM=FM，
∴∠MFE=30°，
∵∠CBD=15°，
∴∠FMB=15°，
∴MF=BF，
∴BF=MF=EM=CE=8．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BCD和△CDE≌△MDE是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠BAC，且AE交CD于點(diǎn)E，
（1）如圖1，若AE＝BC；
①求證：△ADE≌△CDB；
②求證：AB＝AC；
（2）如圖2，若AE≠BC，延長AE交BC于點(diǎn)H，過C作CG⊥AH分別交AH、AB于F、G兩點(diǎn)，當(dāng)DB＝DE+CH時，求∠ACB的度數(shù)．

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）∠ACB＝90°．
【分析】
（1）①由“HL”可證Rt△ADE≌Rt△CDB；
②由全等三角形的性質(zhì)可得∠AED＝∠B＝67.5°，∠DAE＝∠DCB＝22.5°，可證∠B＝∠ACB，進(jìn)而可得AB＝AC；
（2）連接GH，由“ASA”可證△AFG≌△AFC，可得AG＝AC，等腰三角形的性質(zhì)可得AH是GC的垂直平分線，可證GH＝HC，由“ASA”可證△ADE≌△CDG，可得DE＝DG，由線段關(guān)系可證BG＝CH＝GH，由外角的性質(zhì)可求∠BCG＝22.5°，即可求解．
【詳解】
解：（1）①證明：∵∠BAC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
在Rt△ADE和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDB（HL）；
②證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，
∴∠AED＝67.5°
∵Rt△ADE≌Rt△CDB，
∴∠AED＝∠B＝67.5°，∠DAE＝∠DCB＝22.5°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝67.5°＝∠B，
∴AB＝AC；
（2）如圖2，連接GH，

∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，
又∵AF＝AF，∠AFC＝∠AFG＝90°，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG＝67.5°，
∵AG＝AC，AH⊥GC，
∴AH是GC的垂直平分線，
∴GH＝HC，
∴∠GCH＝∠CGH，
∴∠GHB＝∠GCH+∠CGH＝2∠GCH，
∵∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠DAC＝45°，
∴AD＝AC，∠DCG＝∠ACG﹣∠ACD＝22.5°＝∠DAE
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，
∵DB＝DE+CH＝DG+CH，DB＝DG+BG，
∴BG＝CH，
∴∠B＝∠GHB，
∴∠B＝2∠GCH，
∵∠AGC＝∠B+∠GCH，
∴67.5°＝3∠GCH，
∴∠GCH＝22.5°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝90°．
【點(diǎn)睛】
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
30．如圖1，ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．
（1）在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是_____、______．
（2）將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ．請你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是____、______．
（3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP、BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由

【答案】（1）相等、垂直；（2）相等、垂直；（3）成立，見解析
【分析】
(1) 由AC⊥BC，且AC=BC，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．可得∠ACB=∠ACP=90°，∠ABC=∠APC=，可證AB=AP，∠BAP=180°-90°=90°即可；
（2）將EFP沿直線l向左平移，∠QCP=90°，∠EPF=45°可證QC=PC，再證△BCQ≌△ACP（SAS）即可；
（3）成立．理由如下：延長QB交AP于點(diǎn)M，由△ABC和△EFP是全等，可得AC=BC，∠ACB=90°，∠EPF=45°，由∠CPQ=∠EPF=45°，∠BCQ=180°-∠ACB=90°
再證△BCQ≌△ACP即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：(1) ∵AC⊥BC，且AC=BC，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．
∴∠ACB=∠ACP=90°，∠ABC=∠APC=，
∴AB=AP，∠BAP=180°-90°=90°，
故答案為：相等、垂直；
（2）將EFP沿直線l向左平移，∠QCP=90°，∠EPF=45°，
∴∠PQC=180°-90°-45°=45°=∠EPF，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中，
，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=EP，∠QBC=∠CAP，
∵∠CAP+∠APC=90°，
∴∠QBC +∠APC=90°，
∴AQ⊥AP，
故答案為：相等、垂直；
（3）成立．理由如下：
延長QB交AP于點(diǎn)M，
∵△ABC≌△EFP ，
兩個等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，∠EPF=45°，
∵∠CPQ=∠EPF=45°，∠BCQ=180°-∠ACB=90°，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴CP=CQ，
∴△BCQ≌△ACP，
∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，
∵在△ACP中，
∠CAP+∠APC=90°，
∴∠BQC+∠CAP=90°，
在△AQM中，∠AMQ=90°，
∴PQ⊥AP．

【點(diǎn)睛】
本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，平移變換，等腰直角三角形性質(zhì)，掌握三角形全等判定與性質(zhì)，平移變換，等腰直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．


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