培優(yōu)課　求數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列是高考必考內(nèi)容，研究數(shù)列就是抓住兩點(diǎn)：一求通項(xiàng)，二求和.求數(shù)列通項(xiàng)的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)構(gòu)造法等，但總的思想是轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列(一般是等差或等比數(shù)列)求解.類型一　利用累加、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例1 (1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，對(duì)任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝·an，求an.解　(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).以上各式兩邊同時(shí)相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，得an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，n≥2.又a1＝1也適合上式，∴an＝，n∈N*.(2)由條件知＝，分別令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得(n－1)個(gè)等式，累乘，得···…·＝×××…·(n≥2).∴＝，又∵a1＝，∴an＝，n≥2.又a1＝也適合上式，∴an＝，n∈N*.思維升華　(1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通項(xiàng)公式.將原來的遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).(2)求形如an＋1＝f(n)an的通項(xiàng)公式.將原遞推公式轉(zhuǎn)化為＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由＝f(1)，＝f(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝f(1)f(2)…f(n－1)，即an＝a1f(1)·f(2)…f(n－1).類型二　構(gòu)造等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式例2 (1)在數(shù)列{an}中，a1＝，6anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*).①證明：數(shù)列是等差數(shù)列；②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.(1)①證明　由6anan－1＋an－an－1＝0，整理得－＝6(n≥2)，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列.②解　由①可得＝3＋(n－1)×6＝6n－3，所以an＝，n∈N*.(2)解　由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以數(shù)列{an－3}是首項(xiàng)為a1－3＝－1，公比為2的等比數(shù)列，則an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.思維升華　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)的遞推公式，可用構(gòu)造新數(shù)列法求得通項(xiàng)公式，步驟如下：第一步　假設(shè)遞推公式可改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步　由待定系數(shù)法，解得t＝；第三步　寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第四步　寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.類型三　利用前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式例3 (1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，則an等于(　　)A.2n＋1  B.2nC.2n－1  D.2n－2(2)已知數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝an，則的最大值為(　　)A.－3  B.－1  C.3  D.1答案　(1)A　(2)C解析　(1)因?yàn)?/span>Sn＝2an－4，所以n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－4，兩式相減可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以＝2.因?yàn)?/span>S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則an＝4×2n－1＝2n＋1，故選A.(2)由Sn＝an得，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝an－1，兩式作差可得an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得＝＝1＋，由此可得，當(dāng)n＝2時(shí)，取得最大值，其最大值為3.思維升華　已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)求an的解題步驟：第一步　利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1的表達(dá)式；第二步　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步　若求出n≥2時(shí)的{an}的通項(xiàng)公式，則根據(jù)a1＝S1求出a1，并代入n≥2時(shí)的{an}的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.如果求出的是{an}的遞推公式，則問題化歸為例2形式的問題. 

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