【最新版】高中數(shù)學(xué)（新蘇教版）習(xí)題+同步課件培優(yōu)課　構(gòu)造法解決不等式問題-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

培優(yōu)課　構(gòu)造法解決不等式問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明不等式、比較大小，解題技巧是構(gòu)造函數(shù)來解決.類型一　利用導(dǎo)數(shù)比較大小例1 已知x>0，a＝x，b＝x－，c＝ln(1＋x)，則(　　)A.a>b>c B.c>a>bC.b>a>c D.a>c>b答案　D解析　令f(x)＝a－c＝x－ln(1＋x)，x>0，則f′(x)＝1－>0，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)>f(0)＝0，可得a>c.令g(x)＝c－b＝ln(1＋x)－x＋，x>0，則g′(x)＝－1＋x＝>0，∴函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)>g(0)＝0，可得c>b.綜上可得a>c>b.思維升華　比較大小的解題類型：(1)通過已知函數(shù)的特點(diǎn)，聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)通過判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號，確定原函數(shù)的單調(diào)性比較大小.類型二　構(gòu)造函數(shù)證明不等式例2 已知函數(shù)f(x)＝x＋aex(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x＜0，a≤1時(shí)，證明：x2＋(a＋1)x＞xf′(x).(1)解　由f(x)＝x＋aex可得f(x)的定義域?yàn)?/span>R，f′(x)＝1＋aex.當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)＞0，則函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù).當(dāng)a＜0時(shí)，由f′(x)＞0可得x＜ln，由f′(x)＜0可得x＞ln，所以函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)證明　設(shè)F(x)＝x2＋(a＋1)x－xf′(x)＝x2＋ax－axex＝x(x＋a－aex).設(shè)H(x)＝x＋a－aex，則H′(x)＝1－aex.∵x＜0，∴0＜ex＜1，又a≤1，∴1－aex≥1－ex＞0.∴H(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，則H(x)＜H(0)＝0，即x＋a－aex＜0.由x＜0可得F(x)＝x(x＋a－aex)＞0，所以x2＋(a＋1)x＞xf′(x).思維升華　證明f(x)＞g(x)的一般方法是證明h(x)＝f(x)－g(x)＞0(利用單調(diào)性)，可構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)(可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù))，并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式.類型三　解不等式例3 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，且f(x)＋1<f′(x)，f(0)＝2，則不等式f(x)＋1>3ex的解集為(　　)A.(1，＋∞) B.(－∞，1)C.(0，＋∞) D.(－∞，0)答案　C解析　令g(x)＝，因?yàn)?/span>f(x)＋1<f′(x)，則g′(x)＝>0，故g(x)在R上單調(diào)遞增，且g(0)＝3.由f(x)＋1>3ex，可得>3，即g(x)>g(0)，所以x>0.思維升華　用單調(diào)性解不等式時(shí)常見的構(gòu)造函數(shù)技巧(1)對于f′(x)>g′(x)，構(gòu)造h(x)＝f(x)－g(x).(2)對于f′(x)＋g′(x)>0，構(gòu)造h(x)＝f(x)＋g(x).(3)對于f′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造h(x)＝exf(x).(4)對于f′(x)－f(x)>0，構(gòu)造h(x)＝.(5)對于xf′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造h(x)＝xf(x).(6)對于xf′(x)－f(x)>0，構(gòu)造h(x)＝.(7)對于>0，分類討論：①若f(x)>0，則構(gòu)造h(x)＝lnf(x)；②若f(x)<0，則構(gòu)造h(x)＝ln[－f(x)].

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