?6.2平面向量的運算
【知識點梳理】
知識點一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則
1.向量加法的概念及三角形法則
已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖

本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．
2．向量加法的平行四邊形法則
已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．

求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．
對于零向量與任一向量，我們規(guī)定．
知識點詮釋：
兩個向量的和是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點.
知識點二：向量求和的多邊形法則及加法運算律
1.向量求和的多邊形法則的概念
已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．

特別地，當與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有
2．向量加法的運算律
（1）交換律：；
（2）結(jié)合律：
知識點三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法則，可以得到
(1)當不共線時，；
(2)當同向且共線時，同向，則；
(3) 當反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，．
知識點四：向量的減法
1．向量的減法
（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．
相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．
知識點詮釋：
（1）兩種方法給出的定義其實質(zhì)是一樣的．
（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則．
（3）兩個向量的差仍是一個向量．
2．向量減法的作圖方法
（1）已知向量，，作，則=,即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．

（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．

知識點五：數(shù)乘向量
1.向量數(shù)乘的定義
實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：
(1)；
(2)①當時，的方向與的方向相同；
②當時.的方向與的方向相反；
③當時，.
2．向量數(shù)乘的幾何意義
由實數(shù)與向量積的定義知，實數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的倍得到；當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當時，=；當時，=-，與互為相反向量；當時，=．實數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．
3.向量數(shù)乘的運算律
設(shè)為實數(shù)
結(jié)合律：；
分配律：，
知識點六：向量共線的條件
1．向量共線的條件
（1）當向量時，與任一向量共線．
（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．
反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．
2．向量共線的判定定理
是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．
3．向量共線的性質(zhì)定理
若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．
知識點詮釋：
（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；
（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；
（3）有且只有一個實數(shù)，使．
（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.
知識點七： 平面向量的數(shù)量積
1. 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：
已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0.
2. 如圖（1），設(shè)是兩個非零向量，，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

如圖（2），在平面內(nèi)任取一點O，作.過點M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.
知識點詮釋：
1. 兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別
(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定.
(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出.因為其中有可能為0.
2. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0°時投影為；當=180°時投影為.
3. 投影向量是一個向量，當對于任意的，都有.
知識點八：平面向量數(shù)量積的幾何意義
數(shù)量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義。圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即。

事實上，當為銳角時，由于，所以；當為鈍角時，由于，所以；當時，由于，所以，此時與重合；當時，由于，所以；當時，由于，所以。
知識點九：向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)與為兩個非零向量，是與同向的單位向量.
1.
2.
3.當與同向時，；當與反向時，. 特別的或
4.
5.
知識點十：向量數(shù)量積的運算律
1.交換律：
2.數(shù)乘結(jié)合律：
3.分配律：
知識點詮釋：
1.已知實數(shù)a、b、c(b≠0)，則ab=bca=c.但是；

2.在實數(shù)中，有(a×b)c=a(b×c)，但是
顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線.

【典型例題】
類型一：向量的加法運算
例1．已知、是不平行的向量，若，，，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
＝＋＋＝＝＝2．
故選：C
例2．設(shè)，是任一非零向量，則在下列結(jié)論中:
①；②；③；④；⑤.
正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤
【答案】D
【解析】
，
又是任一非零向量，，，，①③⑤正確.
故選：D.
例3．已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中結(jié)果為的是____.(填序號)
【答案】①④
【解析】
①;
②;
③;
④.
故答案為：①④.
變式1．如圖，在平行四邊形中，O是和的交點.

（1）____________；
（2）________；
（3）_______；
（4）_________.
【答案】
【解析】
（1）由平行四邊形法則，；
（2）由向量加法的三角形法則，；
（3）由向量加法法則得，；
（4）由向量加法法則得，．
故答案為：；；；．
變式2．在中，若，．
（1）若P、Q是線段BC的三等分點，求證：；
（2）若P、Q、S是線段BC的四等分點，求證：；
（3）如果、、、…、是線段BC的等分點，你能得到什么結(jié)論？不必證明．（已知）
【解析】
（1）解：當P、Q是線段BC的三等分點時，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，
連接AD，交BC于O點，連接PD、QD，如圖所示，
則 ，因為，，所以且，
所以四邊形APDQ是平行四邊形，所以.

（2）解：當P、Q、S是線段BC的四等分點時，如圖所示，則Q是BC的中點，
所以.
（3）
結(jié)論：．
變式3．如圖，已知D， E， F分別是△ABC三邊AB， BC， CA的中點，求證：

【解析】
如圖，連接DE， EF， FD,
因為D， E， F分別是△ABC三邊的中點，所以四邊形ADEF為平行四邊形．

由向量加法的平行四邊形法則，得①,
同理②，③，將①②③式相加，

.
類型二：向量的減法運算
例4．在四邊形中，對角線與交于點O，若，則四邊形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形
【答案】B
【解析】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四邊形一定是梯形．
故選：B.
例5．如圖，已知向量，，求作向量．

【解析】
解：(1)如圖，將向量的起點平移到向量的起點，
以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；

(2)如圖，將向量的起點平移到向量的起點，
以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；

例6．在中，設(shè)，.設(shè)點分別是邊的兩個三等分點（其中點離點近，點離點近），試用表示和；
【解析】
解：如圖，，


變式4．如圖，點O是的兩條對角線的交點，，，，求證：．

【解析】
證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以．
因為，
，
所以，
即．
變式5．已知P為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，且向量，，，滿足等式．試根據(jù)題意作圖，觀察四邊形ABCD的形狀．你發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD有什么特殊的性質(zhì)？并說明你的依據(jù)．
【解析】
由題設(shè)，可得如下示意圖，表示同一向量，四邊形ABCD為平行四邊形，

由已知條件，可得：，即，易知：且.
∴四邊形ABCD為平行四邊形.
類型三：與向量的模有關(guān)的問題
例7．（1）已知、、的模分別為1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如圖所示，已知矩形ABCD中，，設(shè)，，，試求|++|的大?。?br />
【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，
∴|++|的最大值為6．
（2）過點D作AC的平行線，交BC的延長線于E，如圖所示．
∵DE∥AC，AD∥BE，∴四邊形ADEC為平行四邊形，
∴，，
于是，
∴．

例8.已知平面上不共線的四點，若，則等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【解析】
解：由，得，即，
所以，即，故選：C.
變式6.已知非零向量，滿足，，且|－|=4，求|+|的值．
【解析】 如圖，，，則．

以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則．
由于．
故，
所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以O(shè)ACB是矩形．
根據(jù)矩形的對角線相等有，即|+|=4．
變式7．設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，＝16，，則||等于________．
【答案】2
【解析】
由，得，
，
而

故答案為：2．

類型四：向量的數(shù)乘運算
例9． 計算下列各式：
（1）4(+)3()；
（2）3(2+)(2+3)；
（3）．
【解析】 （1）原式=43+4+3=+7．
（2）原式=36+32+3=7+6．
（3）原式
．
變式8. 已知，求.
【解析】因為，所以，
所以.
例10.如圖所示，的兩條對角線相交于點，且用表示

【解析】在中


變式9．如圖，在△中，D，E為邊的兩個三等分點，，求．

【解析】
∵，
∴．又D，E為邊的兩個三等分點，
∴，
∴，．
變式10．如圖，四邊形ABCD中，已知.

（1）用，表示；
（2）若，，用，表示.
【解析】
（1）因為，
所以；
（2）因為，
所以.
類型五：共線向量與三點共線問題
例11.設(shè)兩非零向量和不共線，
(1)如果求證三點共線.
(2)試確定實數(shù)，使和共線.
【解析】(1)證明?
　　共線，又有公共點，
　　∴三點共線.
(2)解? ∵ 和 共線，
　　∴存在，使，
　　則由于 和不共線，
　　只能有 則.
例12.已知向量，，其中，不共線，向量，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使向量與共線？
【解析】
因為向量，，
所以

要使與共線，則應(yīng)有實數(shù)，使，
即，
即得.
故存在這樣的實數(shù)λ，μ，只要，就能使與共線.
例13．如圖所示：，在中，向量，AD與BC交于點M，設(shè)，在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設(shè)＝p， ＝q，求證：＋＝1.

【解析】
因為A，M，D三點共線，
所以，
因為B，M，C三點共線，
所以，
解得，
所以，
因為＝p， ＝q，
所以.
因為共線，
所以，即，
所以＋＝1.
變式11.已知向量是不共線的兩個向量，．
（1）若，當時，求的值．
（2）若三點共線，求實數(shù)t的值；
【解析】
（1）當時，
，
由于，
所以，
所以，解得.
（2），，
由于三點共線，所以.
變式12．如圖所示，在中，，，與相交于點，設(shè)，.

（1）試用向量，表示；
（2）過點作直線，分別交線段，于點，.記，，求的值.
【解析】
（1）由，，三點共線，可設(shè)，
由，，三點共線，可設(shè)，
∴，解得，，∴.

（2）∵，，三點共線，設(shè)，
由（1）知，，
∴，，
∴.
變式13．在的邊，上分別取點，，使得，，設(shè)線段與交于點，記，，用，表示向量．
【解析】
設(shè)，又，，，，
所以，，
因為，三點共線，三點共線，
所以，解得，所以．
類型六：平面向量數(shù)量積的運算
例14．1．已知平面單位向量，，且，則在方向上的投影向量為_________；（）的最小值是_________．
【答案】
【解析】
由，兩邊平方得，而在方向上的投影向量為，
，（當時取得最小值）所以其最小值為.
故答案為：，
例15．已知，且，則向量在向量上的投影向量的模等于________．
【答案】4
【解析】
由于，且，
∴向量在向量上的投影向量的模，
故向量在向量上的投影向量的模等于4．
故答案為：4．
例16．已知，，
（1）求；
（2）求向量在向量方向上的投影
【解析】
（1）∵，
∴，
∵，，∴，
∴，
（2）∵，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影為＝＝．
變式14．已知平面向量，滿足，，.
（1）求；
（2）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】
（1）依題意，，得，
，
所以；
（2）由向量與的夾角為銳角，可得，即有，解得，
而當向量與同向時，可知，
綜上所述的取值范圍為.
變式15．已知，且向量與向量的夾角．
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量．
【解析】
解：



；
（2）設(shè)與向量方向相同的單位向量為，則．
向量在向量上的投影為：
，
所以向量在向量上的投影向量為．
類型七：平面向量模的問題
例17．如圖所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，則||＝（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵

，
∴
.
故選：C．
例18．已知向量與滿足，，與的夾角大小為60°，則______．
【答案】
【解析】
解：由題可知，，，與的夾角大小為60°，
則，即，
則，解得：.
故答案為：.
變式16．如圖，在平面四邊形中，，.

（1）求的值；
（2）若是線段上一點（含端點），求的取值范圍.
【解析】
（1）解：因為，所以是邊長為2等邊三角形，
因為，所以是直角邊長為2等腰直角三角形，
且，，，
所以

；
（2）解：由是線段上一點（含端點），設(shè)，，
，
有，
故，
當時，取最小值為；
當時，取最小值為.
變式17．已知，求
（1）；
（2）
【解析】
（1）


∴
（2）
.
變式18．已知向量，滿足：，，.
（1）求與的夾角；
（2）求；
（3）若，求實數(shù)的值.
【解析】
（1）由題意得，
即，∴，
∵，∴.
（2）.
（3）∵，∴，
即.∴.
類型八：向量垂直（或夾角）問題
例19．（多選題）下列命題中假命題的是（ ）
A．向量與向量共線，則存在實數(shù)使
B．，為單位向量，其夾角為θ，若，則
C．若，則
D．已知與是互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是.
【答案】ACD
【解析】
A.根據(jù)共線向量定理可知，此時，故錯誤；
B.因為，所以，所以，所以，
又因為，所以，故正確；
C.當中有零向量時，此時，因為零向量方向是任意的，所以不一定滿足，故錯誤；
D.因為向量與的夾角為銳角，所以，
所以，即，且與不同向，
當向量與共線時，設(shè)，所以，所以，
顯然時，與同向，
綜上可知，的取值范圍是，故錯誤；
故選：ACD.
例20．已知，且向量在向量方向上的投影數(shù)量為.
（1）求與的夾角；
（2）求；
（3）當為何值時，向量與向量互相垂直？
【解析】
（1）因為，所以.
又在方向上的投影數(shù)量為，
所以，
所以，所以.
（2）.
（3）因為與互相垂直，
所以，
所以，所以.
例21．已知，，，求：
（1）與的夾角；
（2）與的夾角的余弦值．
【解析】
（1），
，，
設(shè)與的夾角為，則．
又，
；
（2），，
．，
又．，
設(shè)與的夾角為，
則．
即與的夾角的余弦值為．
變式19．如圖，在平面四邊形中，，設(shè).

（1）若，求x，y的值；
（2）若且與夾角的余弦值為，求與夾角的余弦值.
【解析】
（1）因為，所以，
又，
解得，所以，.
（2）令，則，（），所以，
由（1），則，即，解得，
又，則，所以，
故.
變式20．已知向量，的夾角為，且，，（其中）．當取最小值時，求與的夾角的大?。?br /> 【解析】
由題意，向量，的夾角為，且，，，
可得
，
當時，可得，此時，
又由，
所以，即與的夾角為.
變式21．如圖，在菱形中，是的中點，交于點，設(shè)，.

（1）若，求，的值；
（2）若，，求.
【解析】
（1）在菱形中，，
所以，
則，可得，
，
所以，.
（2）因為，
，
所以.
又為菱形，，，
，，
，，
由，
解得.
變式22．如圖，在正方形中，點是邊上中點，點在邊上上.

（1）若點是上靠近的三等分點，設(shè)，求的值.
（2）若，當時，求的值.
【解析】
解：（1）因為點是上靠近的三等分點，點是邊上中點，
所以，
所以，，所以
（2）因為在正方形中，，設(shè)，
所以，，，
所以，解得.
所以，
所以
，
所以.
同步練習(xí)：
一、單選題
1．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量加法、數(shù)量積、數(shù)乘運算的運算法則判斷．
【解析】
選項A是向量加法的結(jié)合律，正確；
選項B是向量數(shù)量積運算對加法的分配律，正確；
選項C是數(shù)乘運算對向量加法的分配律，正確；
選項D．根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘定義，等式左邊是與共線的向量，右邊是與共線的向量，兩者一般不可能相等，也即向量的數(shù)量積運算沒有結(jié)合律存在．D錯．
故選：D．
2．（2021·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，等腰梯形中，，點為線段上靠近的三等分點，點為線段的中點，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用平面向量的加法和減法以及平面向量的基本定理求解.
【解析】
，
，
，
，
故選：A.
3．（2021·浙江·寧波咸祥中學(xué)高一期中）下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量加減法的法則，分別判斷每個選項，得到正確答案.
【解析】
；
；
；
.
故選：D.
【點睛】
本題考查向量的加減運算，關(guān)鍵是準確靈活使用向量的加法和減法運算法則，注意使用相反向量進行轉(zhuǎn)化.
4．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知向量，不共線，，，如果，那么（ ）
A．且與同向 B．且與反向
C．且與同向 D．且與反向
【答案】D
【分析】
由題意可得：，為實數(shù)），即，由對應(yīng)系數(shù)相等可得，的值，進而可得向量反向．
【解析】
由題意可得：，為實數(shù)），
即，
向量、不共線，，
解得，故，即反向
故選：．
5．（2021·全國·高一課時練習(xí)）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙夾在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，，則=（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由題意結(jié)合平面向量基本定理可得，從而可求得結(jié)果
【解析】
因為此圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，且，，，
所以


，
解得，即，
故選：B
6．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知非零向量與方向相反，則下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)方向相反的兩個向量的和或差的運算逐一判斷.
【解析】
A.可能等于零，大于零，小于零，，A不成立
B.，，B不成立
C.，C成立
D. ，D不成立.
故選：C.
7．（2021·重慶第二外國語學(xué)校高一月考）若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】
首先分別求出與的數(shù)量積以及各自的模，利用向量的夾角公式即得解
【解析】
由已知，，
所以，
，

設(shè)向量與的夾角為，
則

故選：C
8．（2021·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)，，是三個非零向量，且相互不共線，有下列命題：
①；
②；
③不與垂直；
④．
其中，是真命題的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【分析】
由題意，，是任意的非零向量，且相互不共線，①中研究向量的數(shù)量積與數(shù)乘運算，由運算規(guī)則判斷；
②中研究向量差的模與模的差的關(guān)系，由其幾何意義判斷；③中研究向量的垂直關(guān)系，可由數(shù)量積為0驗證；④中是數(shù)量積的運算規(guī)則考查，由數(shù)量積運算規(guī)則判斷．
【解析】
解：由題意①是一個錯誤命題，因為與共線，與共線，由題設(shè)條件，是任意的非零向量，且相互不共線知，不成立；
②是一個正確命題，由向量的減法法則知，兩向量差的模一定小兩向量模的差；
③是個錯誤命題，因為，故與垂直，所以此命題不正確；
④是一個正確命題因為是正確的；
綜上知②④是正確命題
故選：．
9．（2021·福建·泉州科技中學(xué)高一月考）如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點點N與點C不重合，設(shè)，，則的最小值為（ ）

A．2 B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用重心性質(zhì)及，，共線得到，的關(guān)系式，再構(gòu)造重要不等式，求出最小值．
【解析】
為的重心，


又在線段上，






故選：．
10．（2021·浙江慈溪·高一期中）若點是所在平面內(nèi)一點，且滿足：.則與的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
將已知條件轉(zhuǎn)化為，由此求得兩個等高三角形底的比值，從而求得面積的比值.
【解析】

，
即 ，
即，所以 ,
如圖，

故與同高且底的比為1∶4，

故選：A

二、多選題
11．（2021·全國·高一課時練習(xí)）等邊三角形中，，AD與BE交于F，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
可畫出圖形，根據(jù)條件可得出為邊的中點，從而得出選項A正確；
由可得出，進而可得出，從而得出選擇B錯誤；

可設(shè)，進而得出，從而得出，進而得出選項C正確；

由即可得出，從而得出選項D錯誤．
【解析】
如圖，

，為的中點，，A正確；
，，
， B錯誤；
設(shè)，且，，三點共線，
，解得，
，C正確；
，D錯誤.
故選：AC
12．（2021·山東鄒城·高一期中）已知外接圓的圓心為，半徑為2，且，，則有（ ）
A．
B．
C．點是的垂心
D．在方向上的投影向量的長度為
【答案】ABD
【分析】
由條件可得，判斷A，進而可得四邊形是邊長為2的菱形，可判斷BC，然后利用向量的幾何意義可判斷D.
【解析】
因為，
所以，
所以，故A正確；

由，可得，
所以四邊形為平行四邊形，
又為外接圓的圓心，所以，
又，所以為正三角形，
因為外接圓的半徑為2，
所以四邊形是邊長為2的菱形，
所以，所以，即，
所以，故B正確；
由以上分析可得，為鈍角三角形，
故的外心不是垂心，故C錯誤；
由四邊形是邊長為2的菱形，可得，
所以在方向上的投影向量的長度為，故D正確．
故選：ABD．
13．（2021·全國·高一課時練習(xí)）在中，，P為線段上任意一點，則的可能值有（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】CD
【分析】
由于，，，所以把作為基底，而P為線段AC上任意一點，所以設(shè)，然后利用向量的加減法法則把分別用基底表示出來，再求其數(shù)量積化簡可求其最值，即可求解.
【解析】
設(shè)，則，
因為,
所以



因為，所以，
所以的取值范圍為，
故選：CD
14．（2021·重慶第二外國語學(xué)校高一月考）下列說法不正確的是（ ）
A．已知均為非零向量，則 存在唯一的實數(shù)，使得
B．若向量共線，則點必在同一直線上
C．若且，則
D．若點為的重心，則
【答案】BC
【分析】
根據(jù)平行向量基本定理可判斷A，根據(jù)平面向量共線的含義可判斷B，根據(jù)平面向量的數(shù)量積可判斷C，根據(jù)平面向量的運算與三角形重心的性質(zhì)可判斷D．
【解析】
解：由平行向量的基本定理可知，選項A是正確的；
向量共線的意思是向量所在的基線平行或共線，只有當向量，所在的直線線共線時，點，，，才在同一直線上，即B不正確；
由平面向量的數(shù)量積可知，若，則，所以，無法得到，即C不正確；
設(shè)線段的中點為，若點為的重心，則，而，所以，即D正確；
故選：BC．

15．（2021·廣東高州·高一期末）已知向量，，滿足，且，，向量與，與，與的夾角都是，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】AD
【分析】
設(shè)與的夾角為，由，解得，由數(shù)量積夾角公式計算即可求得結(jié)果.
【解析】
設(shè)與的夾角為，則，得，解得．
又與的夾角都是，而，
，，
所以，解得或，
故選：AD．
16．（2021·廣東·仲元中學(xué)高一期中）已知?是兩個單位向量，時，的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?的夾角是 B．?的夾角是
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根據(jù)條件知，的最小值為，結(jié)合二次函數(shù)與方程的特點可求出的夾角為或，從而求出的值．
【解析】
，是兩個單位向量，且的最小值為，
的最小值為，
的最小值為，
即在上有唯一一個解，
所以，所以
與的夾角為或，所以正確，
或3，
或，所以正確，
故選：．


三、填空題
17．（2021·全國·高一單元測試）已知，則___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)向量模的計算公式即可求出．
【解析】
因為，所以，解得，所以．
故答案為：．
18．（2021·河北·張家口市第一中學(xué)高一月考）已知，，，且是與方向相反的單位向量，則在上的投影向量為______.
【答案】
【分析】
先求解出，然后根據(jù)投影向量的計算公式可直接求解出結(jié)果.
【解析】
因為，，，所以，
所以在上的投影向量為，
故答案為：.
19．（2021·天津市軍糧城中學(xué)高一期中）已知，，，且與垂直，則______.
【答案】
【分析】
由題設(shè)向量的垂直關(guān)系有且，而，結(jié)合已知條件即可求的值．
【解析】
由題設(shè)知：且，
∴，又，
∴.
故答案為：
20．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知向量，，則______．
【答案】##
【分析】
利用向量的線性運算即得.
【解析】
∵向量，，
∴.
故答案為：
21．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知，且，則實數(shù)___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)向量共線和向量數(shù)乘求解即可.
【解析】
解：因為，
所以三點共線，其位置關(guān)系如圖，

其中點在線段的四等分點靠近點的位置，
所以，所以
故答案為：
22．（2021·河北武強中學(xué)高一月考）已知M是邊長為1的正六邊形ABCDEF內(nèi)或其邊界上的一點，則的取值范圍是________.
【答案】
【分析】
根據(jù)數(shù)量積的定義與幾何意義求解．
【解析】
如圖，作，垂足為，作于，于，
則，
當是銳角時，，此時，
當是鈍角時，，此時，取最小值，
當是直角時，，
綜上，的取值范圍是．
故答案為：．

23．（2021·云南·昆明八中高一月考）已知菱形的邊長為2，，點?分別在直線?上，，若，則實數(shù)的值為___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，分別用和表示和，結(jié)合數(shù)量積的運算公式，即可求解.
【解析】
根據(jù)題意，由，，
得，
，
因為菱形的邊長為2，，且，
所以
，解得.
故答案為：.
四、解答題
24．（2021·全國·高一課時練習(xí)）計算：
（1）；
（2）．
【解析】
（1）.
（2）.
25．（2021·上海·高一課時練習(xí)）已知，.
（1）當k為何值時，與共線？
（2）若，且A，B，C三點共線，求m的值．
【解析】
(1)因，，則，，
因與共線，則有，解得，
所以當時，與共線；
(2)因A，B，C三點共線，則有，λ∈R，即，而與不共線，
于是得，解得，
所以m的值是.
26．（2021·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)m為實數(shù)，若，，，，是不共線的兩個向量，且A，B，C三點共線，求m的值．
【解析】
解：，，
因為A，B，C三點共線，所以，
故存在唯一實數(shù)使得，
即，
所以，解得，
所以.
27．（2021·湖南·嘉禾縣第一中學(xué)高一月考）已知，與的夾角為，設(shè)．
（1）求的值；
（2）若與的夾角是銳角，求實數(shù)t的取值范圍．
【解析】
（1）；
（2）∵與的夾角是銳角，
∴且與不共線．
∵，
∴，解得．
當與共線時，則存在實數(shù)，使，
∴，解得．
綜上所述，實數(shù)t的取值范圍是．
28．（2021·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在直角三角形ABC中，，，．求：

（1）；
（2）．
【解析】
（1）根據(jù)題意，得.
（2）因為，
所以
.
29．（2021·上海·高一課時練習(xí)）如圖，中，AD為三角形BC邊上的中線且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．

【解析】
在中，令，因AD為三角形BC邊上的中線，則，
而BE交AD于G，則，，
又點E在AC上，且AE=2EC，則有，顯然有，且與不共線，
于是得，解得，即，，從而得，
，即有，則.
30．（2021·上?！じ咭徽n時練習(xí)）如圖，在邊長為1的正△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．設(shè)EF的中點為M，BC的中點為N．

（1）若A，M，N三點共線，求證：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
【解析】
（1）由A，M，N三點共線，得∥，設(shè)＝λ (λ∈R)，
即，
∴，
所以m＝n．
（2）因為＝m，＝n，EF的中點為M，BC的中點為N ,
∴,

又m＋n＝1，所以，
∴
，
故當m＝時，．




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