《2.2基本不等式》第1課時 基本不等式   教學(xué)設(shè)計一．教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》的第二節(jié)《基本不等式》。以下是本章的課時安排： 第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)課時內(nèi)容等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)基本不等式二次函數(shù)與一元二次方程、不等式所在位置教材第37頁教材第44頁教材第50頁  新教材內(nèi)容分析通過類比初中學(xué)過的等式和方程，梳理等式的基本性質(zhì)，歸納其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，研究不等式的性質(zhì)，為全章提供理論基礎(chǔ).教材從已經(jīng)得到的重要不等式+出發(fā)，通過字母代換得到了基本不等式，并進行了證明，給出了幾何解釋，利用初中建立模型的思想，把基本不等式看成一種數(shù)學(xué)模型，解決了一些典型的最大最小值問題。以求解一元二次不等式為載體，引導(dǎo)學(xué)生通過類比從一元一次函數(shù)的觀點，看一元一次方程、不等式，學(xué)習(xí)從函數(shù)的觀點看一元二次方程、不等式、在建立二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的聯(lián)系中，獲得用二次函數(shù)求解一元二次不等式的方法。 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過觀察實例，理解不等式的性質(zhì)，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).通過字母代換獲得基本不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過基本不等式及其應(yīng)用，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).通過二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，強化了數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)；在求解一元二次不等式的解集的過程中，提升了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).教學(xué)主線比較大小的基本事實基本不等式的模型二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系 二，學(xué)情分析      本章內(nèi)容屬于高中數(shù)學(xué)課程的預(yù)備知識部分，將幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，為學(xué)生整個高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式、知識技能等方面的準(zhǔn)備。學(xué)生在上一節(jié)學(xué)習(xí)了不等關(guān)系及不等式，而基本不等式也是由不等關(guān)系提煉出來的，初中也學(xué)過圓的基礎(chǔ)知識，對于基本不等式的幾何解釋頁比較好理解，利用不等式的性質(zhì)和比較大小的方法，可以對基本不等式進行證明，有了這些基礎(chǔ)，學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容還是比較有興趣的，本節(jié)知識滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。三．學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；會用基本不等式解決簡單問題，強化邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。四．教學(xué)重點重點：基本不等式的定義以及推導(dǎo)過程；利用基本不等式解決簡單的最值問題。難點：基本不等式的證明過程；      利用基本不等式解決簡單的最值問題。五．教學(xué)過程（一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題如圖，是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它依據(jù)我國著名數(shù)學(xué)家趙爽為研究勾股定理作的弦圖進行設(shè)計的，顏色的明暗使其看起來像一個風(fēng)車。 【探究1】依據(jù)這個會標(biāo)，你能找到一些相等或不等關(guān)系嗎？ 【提示】如圖，由圖可知：①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；②a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取“＝”  探索交流，解決問題  ?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．如果a＞0，b＞0，我們用， 分別代替上式中的a，b，可得≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． 【設(shè)計意圖】通過探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的相等關(guān)系與不等關(guān)系，并能用數(shù)學(xué)式子表示出基本不等式的形式，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題的能力。（二）基本不等式基本不等式的定義： 如果a＞0，b＞0，通常稱不等式 ≤（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立）為基本不等式(basic inequality)．其中，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．【思考1】 不等式a2＋b2≥2ab與≤成立的條件相同嗎？如果不同各是什么？【提示】  不同，a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R；≤成立的條件是a，b均為正實數(shù)【思考2】 如何理解“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義？【提示】 “當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：①當(dāng)a＝b時，≥的等號成立，即a＝b?＝；②僅當(dāng)a＝b時，≥的等號成立，即＝?a＝b. 【探究2】 如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC＝a，BC＝b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？【提示】由圖可知，?ACD～△DCB， 因而，由CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為≤ .當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即當(dāng)a=b時，上述不等式等號成立.基本不等式的幾何解釋：圓的半徑不小于圓的半弦。 【拓展】基本不等式的幾種常見變形及結(jié)論(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)；(2)ab≤(a，b∈R)；(3)ab≤2，(a，b∈R)；(4)＋≥2(ab＞0)；(5)a＋≥2(a＞0，k＞0)；(6)≤≤≤ (a，b都是正實數(shù))．【辯一辯】判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　)(2)若a≠0，則a＋≥2 ＝4.(　　)(3)若a，b∈R，則ab≤2.(　　) 【答案】（1）×  （2）×  （3）√ （三）基本不等式的簡單應(yīng)用1.對基本不等式的理解例1.給出下面三個推導(dǎo)過程：①因為a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；②因為a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；③因為x，y∈R，xy<0，所以＋＝－  ≤－2 ＝－2.其中正確的推導(dǎo)過程為(　　)A．①②             B．②③            C．②                D．①③【思維引導(dǎo)】　根據(jù)基本不等式中的條件進行判斷．[解析]　從基本不等式成立的條件考慮．①因為a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的條件，故①的推導(dǎo)過程正確；②因為a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的條件，所以＋a≥2 ＝4是錯誤的；③由xy<0得，均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中將＋看成一個整體提出負(fù)號后，，均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式成立的條件，故③正確．[答案]    D【類題通法】基本不等式≥(a>0，b>0)的2個關(guān)注點(1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)．(2)驗證等號是否成立。【鞏固練習(xí)1】下列命題中正確的是(　　)A．當(dāng)a，b∈R時，＋≥2 ＝2B．當(dāng)a>0，b>0時，(a＋b)≥4C．當(dāng)a>4時，a＋≥2 ＝6D．當(dāng)a>0，b>0時，≥[解析]　A項中，可能<0，所以不正確；B項中，因為a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，所以正確；C項中，a＋≥2 ＝6中的等號不成立，所以不正確；D項中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正確．[答案]   B2.證明不等式例2.(1)已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)， 求證：a＋b＋c>＋＋.(2)已知a，b，c為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1， 求證：   ≥8.  【思維引導(dǎo)】(1)左邊是和式，右邊是帶根號的積式之和，所以用基本不等式，將和變積，并證得不等式；(2)不等式右邊數(shù)字為8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式，可得三個“2”連乘， 又－1＝＝≥，可由此變形入手．[證明]　(1)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c為不全相等的正實數(shù)，故等號不成立．∴a＋b＋c>＋＋.(2)∵a，b，c為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1，∴－1＝＝≥，同理－1≥，－1≥.由上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得≥··＝8.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，等號成立．【類題通法】利用基本不等式證明不等式的注意事項(1)    利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，從而達(dá)到放縮的效果．(2)    注意事項：① 多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；② 累加法是不等式證明中的一種常用方法，在證明不等式時注意使用條件；③ 對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型再使用．【鞏固練習(xí)2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：＋＋≥a＋b＋c.[證明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＞0，＞0，＞0.則 ＋≥2＝2c，＋≥2b，＋≥2a.由不等式的性質(zhì)知，2≥2(a＋b＋c)，∴ ＋＋≥a＋b＋c.3.基本不等式與最值【探究3】 (1)當(dāng)x＞0，y＝x＋的最小值是幾？(2)         當(dāng)x＞0，y＞0，x＋y＝1，xy的最大值是幾？　【提示】（1）當(dāng)x=1是，y取到最小值2.（2）當(dāng)時，y取到最大值.基本不等式與最值：（1）設(shè)x，y為正實數(shù)，若x＋y＝s(s為定值)，則當(dāng)x＝y＝時，積xy有最大值為.（2）設(shè)x，y為正實數(shù)，若xy＝p(p為定值)，則當(dāng)x＝y＝時，和x＋y有最小值為2. 例3.(1)若x＞0，求y＝x＋的最小值，并求此時x的值；(2)設(shè)0＜x＜，求y＝4x(3－2x)的最大值。[解析]（1）　∵x＞0，∴x＋≥2＝4當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x2＝4，x＝2時取等號．∴y＝x＋(x＞0)在x＝2時取得最小值4.（2）　∵  0＜x＜，∴3－2x＞0，∴ y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2 ＝.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3－2x，即x＝時，等號成立．∵ ∈，∴ 函數(shù)y＝4x(3－2x)    的最大值為.【類題通法】若是求和式的最小值，通?；?或利用)積為定值；若是求積的最大值，通?；?或利用)和為定值。【鞏固練習(xí)3】已知x，y>0，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________．[解析]　∵x，y>0，∴＋＝1≥2 ，得xy≤3，當(dāng)且僅當(dāng)＝即x＝，y＝2時，取“＝”號，∴xy的最大值為3.[答案]   3 （四）操作演練  素養(yǎng)提升1.下列不等式中正確的是(　　)A．a＋≥4  B．a2＋b2≥4abC.≥  D．x2＋≥22．若a，b∈R且ab＞0，則下列不等式中恒成立的是(　　)A．a2＋b2＞2ab  B．a＋b≥2C.＋＞                         D.＋≥23.若x＞0，y＞0且x＋y＝4，則下列不等式中恒成立的是(　　)A.＞              B.＋≥1C.≥2               D.≥14.已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{x|0<n＜3}，則m，n之間的大小關(guān)系是(　　)A．m>n　　　　　　 B．m<nC．m＝n  D．m≤n [答案]   1.D   2.D     3.B     4.A 【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。 （六）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？                                                                                                                                                                                               （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                 【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固基本不等式，辨析基本不等式成立的條件,樹立用基本不等式解決相關(guān)問題的意識。  六．布置作業(yè)完成教材：第46頁  練習(xí)     第1，2，3,4,5題 
  

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2.2 基本不等式

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