《4.2 指數(shù)函數(shù)》教學設(shè)計一、教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》的《4.2 指數(shù)函數(shù)》。以下是本節(jié)兩個課時的安排： 第一課時第二課時課時內(nèi)容指數(shù)函數(shù)及其圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用所在位置教材第117頁教材第122頁新教材內(nèi)容分析通過《指數(shù)函數(shù)》這節(jié)課的學習，既可以對指數(shù)和函數(shù)的相關(guān)知識進一步鞏固和深化，又可以為后面進一步學習對數(shù)、對數(shù)函數(shù)尤其是利用互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系來研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)打下堅實的概念和圖象基礎(chǔ)，對高中階段研究對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等完整的函數(shù)知識，初步培養(yǎng)函數(shù)的應(yīng)用意識打下了良好的學習基礎(chǔ)，所以《指數(shù)函數(shù)》不僅是本章《函數(shù)》的重點內(nèi)容，也是高中學段的主要研究內(nèi)容之一，有著不可替代的重要作用。此外，《指數(shù)函數(shù)》的知識與我們的日常生產(chǎn)、生活和科學研究有著緊密的聯(lián)系，尤其體現(xiàn)在細胞分裂、貸款利率的計算和考古中的年代測算等方面，因此學習這部分知識還有著廣泛的現(xiàn)實意義。核心素養(yǎng)培養(yǎng)《指數(shù)函數(shù)》是在學習了《指數(shù)》一節(jié)內(nèi)容之后編排的，是培養(yǎng)數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的優(yōu)良素材。教學主線                        指數(shù)函數(shù)的圖象 二、學情分析    針對本節(jié)知識內(nèi)容和學生認知水平而言，初中已經(jīng)對正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)，二次函數(shù)等最簡單的函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)已有了初步認識，學生也對采用“描點法”描繪函數(shù)的圖象及利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)性質(zhì)的途徑已基本掌握，這就能夠為研究《指數(shù)函數(shù)》做好了知識層面的準備。第一課時   指數(shù)函數(shù)及其圖象和性質(zhì)一、學習目標1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，達成數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).2. 掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3. 會求指數(shù)形式的函數(shù)的定義域、值域，發(fā)展數(shù)學運算的核心素養(yǎng).二、教學重難點重點：指數(shù)函數(shù)的概念。難點：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。三、教學過程（一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題拿一張報紙，將這張報紙連續(xù)對折，折疊次數(shù)x與對應(yīng)的層數(shù)y間、折疊次數(shù)x與對折后的面積S(設(shè)原面積為1)之間的對應(yīng)關(guān)系見下表：折疊次數(shù)x對應(yīng)層數(shù)y對折后的面積Sx＝1y＝2＝21S＝x＝2y＝4＝22S＝＝x＝3y＝8＝23S＝＝…………　……【想一想】對應(yīng)的層數(shù)y與折疊次數(shù)x間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？對折后的面積S與折疊的次數(shù)x間呢？你得到的兩個函數(shù)解析式有什么共同特征？【提示】第x次折疊后對應(yīng)的層數(shù)y＝2x(x∈N*)，對折后的面積S＝(x∈N*).這兩個函數(shù)解析式的共同特征：(1)冪的形式；(2)冪的底數(shù)是一個大于0且不等于1的常數(shù)；(3)冪的指數(shù)是一個變量.（二）新知探究2.探索交流，解決問題〖知識點1〗  指數(shù)函數(shù)的概念【問題1】 1.某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,…,一個這樣的細胞分裂x次以后,得到的細胞個數(shù)y與x之間的關(guān)系是什么?【提示】(x∈N*).2．某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過1年剩余的這種物質(zhì)是原來的84%,那么經(jīng)過x年后剩余量y與x的關(guān)系是什么?【提示】.3．你能從以上的兩個例子中得到的關(guān)系式里找到什么異同點嗎?【提示】共同點:變量x與y構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系式是指數(shù)的形式,自變量在指數(shù)位置,底數(shù)是常數(shù);不同點:底數(shù)的取值不同.【設(shè)計意圖】通過這兩個小問題思考與回答，讓學生充分體驗從閱讀、思考、分析到歸納概括的過程，達成數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。  指數(shù)函數(shù)的概念　注意其特征：系數(shù)為1，指數(shù)為x，底數(shù)a>0且a≠1一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.【做一做1】  1．下列函數(shù)：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是(　　)A．0          B．1            C．2              D．32.若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)＝2，則f(x)＝________.【答案】1. B　 2. ()x【設(shè)計意圖】通過問題的設(shè)置與探究，使學生深入理解指數(shù)函數(shù)的概念，發(fā)展數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。〖知識點2〗  指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)[問題2] 1．你能在同一坐標系中用描點法畫出及 的圖象嗎？【提示】　列表：描點并連線：2．結(jié)合圖象你鎖一下發(fā)現(xiàn)它們有什么特點和聯(lián)系嗎?【提示】共同點:都在x軸上方，都過點(0,1).不同點:的圖象是下降的,的圖象是上升的.聯(lián)系:二者關(guān)于y軸對稱.【做一做2】1.函數(shù)y＝2－x的圖象是(　　)2．函數(shù)y＝(－1)x在R上是________函數(shù)．(填“增”“減”)【答案】1. B   2. 減【設(shè)計意圖】通過問題的設(shè)置與探究，使學生深入理解指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，加強直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)。（三）典例透析1. 指數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用【例1】　(1)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是________．(填序號)①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④⑤(2)若函數(shù)y＝(a2－3a＋3)·ax是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a＝________.解析　(1)①中指數(shù)式()x的系數(shù)不為1，故不是指數(shù)函數(shù)；②中y＝2x－1，指數(shù)位置不是x，故不是指數(shù)函數(shù)；④中指數(shù)不是x，故不是指數(shù)函數(shù)；⑤中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定的值，故不是指數(shù)函數(shù)，故填③.(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指數(shù)函數(shù)，可得解得a＝2.答案　(1)③　(2)2【類題通法】判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法(1)底數(shù)的值是否符合要求；(2)ax前的系數(shù)是否為1；(3)指數(shù)是否符合要求．【鞏固練習1】(1)若函數(shù)y＝a2(2－a)x是指數(shù)函數(shù)，則(　　)A.a＝1或－1   B.a＝1C.a＝－1   D.a>0且a≠1(2)已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(3，π)，則函數(shù)f(x)的解析式為________.解析　(1)由條件知解得a＝－1.(2)設(shè)f(x)＝ax，將點(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝()x.答案　(1)C　(2)f(x)＝()x2. 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例2】　已知函數(shù)y＝3x的圖象，怎樣變換得到y＝＋2的圖象？并畫出相應(yīng)圖象.解　y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.作函數(shù)y＝3x的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象得函數(shù)y＝3－x的圖象，再向左平移1個單位長度就得到函數(shù)y＝3－(x＋1)的圖象，最后再向上平移2個單位長度就得到函數(shù)y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的圖象，如圖所示.【變式探究】（變條件）函數(shù)y＝＋2的圖象恒過哪個定點呢？解  ，即時，，∴函數(shù)y＝＋2的圖象恒過定點.【類題通法】處理函數(shù)圖象問題的策略(1)抓住特殊點：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點時，只要令指數(shù)為0，求出對應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點．(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．【鞏固練習2】畫出下列函數(shù)的圖象，并說明它們是由函數(shù)f(x)＝2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的．①y＝2x＋1；②y＝－2x.解　如圖．①y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個單位長度得到的．②y＝－2x的圖象與y＝2x的圖象關(guān)于x軸對稱．3. 指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域【例3】　求下列函數(shù)的定義域和值域：(1) (2)y＝－|x|；(3)y＝.解　(1)x應(yīng)滿足x－4≠0，∴x≠4，∴定義域為{x|x≠4，x∈R}．∵≠0，∴≠1，∴y＝的值域為{y|y>0，且y≠1}．(2)定義域為R.∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，∴此函數(shù)的值域為[1，＋∞)．(3)由題意知1－x≥0，∴x≤1＝0，∴x≥0，∴定義域為{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0，∴x≤1.又∵x>0，∴0<x≤1.∴0≤1－x<1，∴0≤y<1，∴此函數(shù)的值域為[0,1).【類題通法】指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域的求法(1)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，首先觀察函數(shù)是y＝ax型還是y＝af(x)型，前者的定義域是R，后者的定義域與f(x)的定義域一致，而求y＝型函數(shù)的定義域時，往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式(組)．(2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，在運用前面介紹的求函數(shù)值域的方法的前提下，要注意指數(shù)函數(shù)的值域為(0，＋∞)，切記準確運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．【鞏固訓練3】求下列函數(shù)的定義域、值域：　(1) 　(2)； 　(3) y＝4x－2x＋1．解　①由5x－1≥0，得x≥，∴所求函數(shù)的定義域為.由≥0，得y≥1，∴所求函數(shù)的值域為[1，＋∞)．　(2)定義域為R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴≤－4＝16.又∵>0，∴函數(shù)的值域為(0,16]．(3)函數(shù)的定義域為R，y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，∵2x>0，∴當2x＝，即x＝－1時，y取最小值，同時y可以取一切大于的實數(shù)，∴值域為.（五）操作演練  素養(yǎng)提升1. 若函數(shù)y＝(m2－m－1)·mx是指數(shù)函數(shù)，則m等于(　　)A．－1或2   B．－1C．2   D.答案　C2.如表給出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為(　　)x－2－10123y141664A.一次函數(shù)模型   B.二次函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型   D.冪函數(shù)模型答案　C3.指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝bx的圖象如圖所示，則(　　)A.a<0，b<0                  B.a<0，b>0C.0<a<1，b>1                D.0<a<1，0<b<1答案　C4.(一題雙空)指數(shù)函數(shù)y＝2x的定義域是________，值域是________.解析　由指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象和性質(zhì)可知定義域為R，值域為(0，＋∞).答案　R　(0，＋∞)5．函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點______．答案　(3,4)【設(shè)計意圖】通過課堂達標練習，鞏固本節(jié)學習的內(nèi)容。  （六）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)：2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？ （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？ 【設(shè)計意圖】通過課堂小結(jié)，有利于學生對本節(jié)內(nèi)容形成知識網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識體系。   四、作業(yè)布置完成教材：第109頁  習題4.1  第1題 五、課堂記錄     六、教學反思       
  

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4.2 指數(shù)函數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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