1.下列不等式的證明過程正確的是( )





A.若a,b∈R,則ba+ab≥2ba·ab=2


B.若x>0,則x-1+1x-1≥2(x-1)·1x-1=2


C.若x0,則a+b2,ab,a2+b22,2aba+b中最小的是( )


A.a+b2B.abC.a2+b22D.2aba+b


3.已知m=a+1a-2(a>2),n=(2-x)(2+x)(-20,y>0,且x+y=10,則xy有( )


A.最大值25B.最大值50C.最小值25D.最小值50


5.已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值是( )


A.2B.22C.4D.5


6.若x>0,y>0,且xy=10,則2x+5y的最小值為 .


7.若x>0,y>0,且x+4y=20,則xy的最大值是 .


8.已知a>3,則4a-3+a-316的最小值為 .


9.已知a,b,c都是正數(shù),求證:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.























10.已知a,b,c都是實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2≥(a+b+c)23.


參考答案


1.下列不等式的證明過程正確的是( )





A.若a,b∈R,則ba+ab≥2ba·ab=2


B.若x>0,則x-1+1x-1≥2(x-1)·1x-1=2


C.若x0,則a+b2,ab,a2+b22,2aba+b中最小的是( )


A.a+b2B.abC.a2+b22D.2aba+b


解析:(方法一)特殊值法.


令a=4,b=2,則a+b2=3,ab=8,a2+b22=10,2aba+b=83.


故2aba+b最小.


(方法二)2aba+b=21a+1b,由21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22,可知2aba+b最小.


答案:D


3.已知m=a+1a-2(a>2),n=(2-x)(2+x)(-20,y>0,且x+y=10,則xy有( )


A.最大值25B.最大值50C.最小值25D.最小值50


解析:∵x>0,y>0,x+y=10,


∴x+y≥2xy,


∴xy≤x+y22=25,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=5時(shí)取“=”,


∴xy有最大值25.


答案:A


5.已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值是( )


A.2B.22C.4D.5


解析:1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4,


當(dāng)且僅當(dāng)a=b,ab=1時(shí),取“=”,即a=b=1時(shí),原式取得最小值4.


答案:C


6.若x>0,y>0,且xy=10,則2x+5y的最小值為 .


解析:∵x>0,y>0,且xy=10,


∴y=10x,


∴2x+5y=2x+x2≥2,


當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=5時(shí),取等號.


答案:2


7.若x>0,y>0,且x+4y=20,則xy的最大值是 .


解析:∵20=x+4y≥2x×4y=4xy,


∴xy≤5?xy≤25.


等號成立的條件是x=4y=10,即x=10,y=52.


∴xy的最大值是25.


答案:25


8.已知a>3,則4a-3+a-316的最小值為 .


解析:∵a>3,∴a-3>0,


∴4a-3+a-316≥24a-3·a-316=1,


當(dāng)且僅當(dāng)4a-3=a-316,即a=11時(shí),取等號.


答案:1


9.已知a,b,c都是正數(shù),求證:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.


證明:∵a,b,c都是正數(shù),∴a+b≥2ab>0,b+c≥2bc>0,c+a≥2ac>0,


∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab·2bc·2ac=8abc,即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號成立.


10.已知a,b,c都是實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2≥(a+b+c)23.


證明:a2+b2≥2ab,①


b2+c2≥2bc,②


c2+a2≥2ac,③


a2+b2+c2=a2+b2+c2,④


由①+②+③+④,得3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,


即a2+b2+c2≥(a+b+c)23.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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