?課時2.2 基本不等式
01考點梳理
知識點一 基本不等式
(1)基本不等式
如果a，b都是非負數(shù)，那么___，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，稱上述不等式為基本不等式，其中稱為a，b的_____________，稱為a，b的___________．
(2)基本不等式的文字敘述
兩個非負數(shù)算術(shù)平均數(shù)_______它們的幾何平均數(shù)．
(3)意義
①幾何意義：半徑________半弦．
②數(shù)列意義：兩個正數(shù)的______中項不小于它們的______中項．
知識點二 基本不等式的證明
一般地，對于任意實數(shù)a，b，我們有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)______時，等號成立．特別地，如果a>0，b>0，我們用____，____分別代替a，b可得a＋b≥______，通常把上式寫作≤(a>0，b>0)．
知識點三 兩個常用命題
x、y都為正數(shù)時，下面的命題成立．
(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值________；
(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值________．
知識點四 基本不等式的變形公式
(1)ab≤；(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；(3)()2≥－1(b≠0)；(4)ab≤()2；(5)a＋≥2(a∈R＋)．
知識點五 不等式≥ab和≥的區(qū)別與聯(lián)系
(1)≥ab與≥成立的條件不同．前者中的a、b為___________，后者中的a、b只能取___________．
(2)兩個不等式都是____________時取到等號，在求最值時經(jīng)常用到這一點．
答案：≥ 算術(shù)平均數(shù) 幾何平均數(shù) 不小于 不小于 等差 等比 a＝b 任意實數(shù) 非負實數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b
02考點解讀
題型一 由基本不等式比較大小
1．設(shè)，其中，是正實數(shù)，且，，則與的大小關(guān)系是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，都是正實數(shù)，且，
∴，即，
又∵，
，即，
∴，
故選B.
題型二 由基本不等式證明不等關(guān)系
2．若，，，則下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于A，因為，所以，所以A不正確；
對于B，若，設(shè)，得，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以B正確；
對于C，因為，由，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以C不正確；
對于D，由上面可知，則，得，所以D不正確；
故選：B
題型三 基本不等式求積的最大值
3．如圖，在半徑為4（單位：cm）的半圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其頂點在直徑上，頂點在圓周上，則矩形面積的最大值為（ ）（單位：cm2）.

A．8 B．10
C．16 D．20
【答案】C
【解析】設(shè)BC=x，連結(jié)OC，得OB=，所以AB＝2，
所以矩形面積S＝2，x∈（0，4），
S＝2 ．
即x2＝16﹣x2，即x＝2時取等號，此時

故選：C
題型四 基本不等式求和的最小值
4．已知ab＞0，則的最小值為_____.
【答案】4.
【解析】解：根據(jù)題意，ab＞0，故，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時等號成立，
則原式，又由ab＞0，則4ab+1＞1，
則有4，
當(dāng)且僅當(dāng)4ab+1＝2，即4ab＝1時等號成立，
綜合可得：的最小值為4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時等號成立
故答案為：4.
題型五 二次與二次（或一次）的商式的最值問題
5．（1）若，且，求的最小值；
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）18；（2）-1.
【解析】（1）由，得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
故當(dāng)，取最小值18.
（2）若，則
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號
.
即若，的最大值為．
題型六 條件等式求最值
6．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，則的最小值是______．
【答案】
【解析】已知，
由得，即，
令，
所以，所以，
故

，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號.
故答案為：．
題型七 基本不等式的恒成立問題
7．已知，為正實數(shù)，且，若對于滿足條件的、恒成立，則的取值范圍為.（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】將變形為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.
恒成立等價于恒成立，即，所以
故選：A.
題型八 對勾函數(shù)求最值
8．設(shè)，均為負數(shù)，且，那么有（ ）.
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】D
【解析】設(shè)，，則，.由得.
由函數(shù)的圖像得，當(dāng)時，在處取得最小值，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.
綜上可得，有最小值.
故選D.

題型九 基本不等式的應(yīng)用
9．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)．通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．如圖所示的圖形，在上取一點，使得，，過點作交圓周于，連接．作交于．由可以證明的不等式為　　

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：由射影定理可知，即，
由得，
故選：．
03題組訓(xùn)練
1．已知、，求證：.
【答案】證明見解析
【解析】，，即.
2．已知都是正數(shù)，且.
求證：（1）；
（2）.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】（1），，，由于當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，但，因此不能取等號，；
（2），，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，但，因此不能取等號，.
3．用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長.當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？
【答案】當(dāng)矩形菜園平行于墻的一邊的長為，與之相鄰的邊的長為時，菜園的面積最大，最大面積是.
【解析】設(shè)矩形菜園平行于墻的一邊的長為，與之相鄰的邊的長為，菜園的面積為，
則，.
由基本不等式得.
當(dāng)，即，時，菜園的面積最大，最大面積是.
因此，當(dāng)矩形菜園平行于墻的一邊的長為，與之相鄰的邊的長為時，菜園的面積最大，最大面積是.
4．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價為元，房屋側(cè)面每平方米的造價為元，屋頂?shù)脑靸r為元，如果墻高為，且不計房屋背面和地面的費用，那么怎樣設(shè)計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？
【答案】當(dāng)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為時，房屋總造價最低，為元.
【解析】設(shè)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為，總造價為元，則，即，
.
當(dāng)時，即當(dāng)時，有最小值，最低總造價為元.
答：當(dāng)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為時，房屋總造價最低，為元.
5．已知、、都是正數(shù)，求證：.
【答案】見解析
【解析】，，，由基本不等式可得，，，
由不等式的性質(zhì)可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
6．設(shè)矩形的周長為，把沿向折疊，折過去后交于點，設(shè)，求的最大面積及相應(yīng)的值.
【答案】最大面積是，.
【解析】如圖，設(shè)，由矩形的周長為，可知.設(shè)，則，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面積為
.

由基本不等式與不等式的性質(zhì)，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，的面積最大，面積的最大值為.

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2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

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