《3.1.1函數(shù)的概念》教學設(shè)計第1課時一．教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》的第一節(jié)《函數(shù)的概念及其表示》（第一課時）。以下是本節(jié)兩個課時的安排： 第一課時第二課時課時內(nèi)容函數(shù)的概念函數(shù)的表示、概念的應(yīng)用所在位置教材第60頁教材第64頁 新教材內(nèi)容分析函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學中最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮重要的作用.教材通過具體的例子介紹了區(qū)間的概念，通過同一函數(shù)的概念加深學生對函數(shù)的理解，會求函數(shù)的定義域、值域.  核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過這節(jié)內(nèi)容的學習，使學生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學語言和工具，也把函數(shù)理解為實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系。幫助學生養(yǎng)成自主學習、合作交流、歸納總結(jié)的學習習慣，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).借助第一課時的理論依據(jù)得到同一函數(shù)的概念，通過例子讓學生掌握函數(shù)定義域，函數(shù)值的求法，強化學生的數(shù)學運算、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng). 教學主線函數(shù)的概念.   二，學情分析     學生在初中已經(jīng)學習過函數(shù)的概念。初中函數(shù)的概念把函數(shù)看成是兩個變量之間的依賴關(guān)系。根據(jù)這個觀點，有些函數(shù)很難進行深入研究。例如，對于這個函數(shù)，如果用變量觀點來解釋，會顯得特別勉強。但用高中集合、對應(yīng)的觀點來解釋就十分自然。但是有具體的實例歸納出函數(shù)的概念對學生的要求很高，也是一個挑戰(zhàn)。三．學習目標 1、學生能通過觀察、辨析具體實例的共同屬性，逐步抽象出用集合的語言刻畫的函數(shù)的概念；2、函數(shù)的概念及函數(shù)的三要素；3、學生能求出一些簡單函數(shù)的定義域及具體的函數(shù)值；4、通過從實例中抽象概括函數(shù)概念的過程，提高抽象概括能力。四．教學重點 重點：建立“對應(yīng)關(guān)系說”觀點下用集合語言表述的函數(shù)概念，在此過程中培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。難點：從不同的問題情境中提煉出函數(shù)要素，并由此抽象出函數(shù)概念；理解函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。五．教學過程 （一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題    比薩斜塔是意大利的標志性建筑，更是世界建筑史上的一大奇跡。比薩斜塔位于比薩城北面的一個名字叫奇跡廣場上。奇跡廣場的大片草坪上有一組宗教建筑，它們是比薩大教堂、洗禮堂、比薩斜塔和墓園。它們的外墻面均為乳白色大理石砌成，各自相對獨立但又形成統(tǒng)一的羅馬式建筑風格。1987年12月，奇跡廣場（包括大教堂、洗禮堂、比薩斜塔和墓園）被聯(lián)合國教科文組織列入《世界文化遺產(chǎn)》.比薩斜塔位于大教堂后面右側(cè)，它從地面到塔頂高55米，直徑16米，總重約14453噸。塔身向東南方向傾斜，傾斜角度3.99度。某物體從比薩斜塔的塔頂自由下落，物體下落的高度(m)與所用時間t(s)的平方成正比，這個規(guī)律用數(shù)學式子可以描述為＝gt2，其中g取9.8 m/s2 .          【想一想】 物體下落的高度(m)是所用時間t(s)的函數(shù)嗎？【提 示】   是. 探索交流，解決問題【問題】 ① 某“復(fù)興號”高速列車加速到350 km/h后保持勻速運行半小時.這段時間內(nèi)，列車行進的路程S(單位：km)與運行時間t(單位：h)的關(guān)系可以表示為S=350t.   其中，t和S是兩個變量，而且對于t的每一個確定的值，S都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以S是t的函數(shù).
② 某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天.如果公司確定的工資標準是每 人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？ 一個工人的工資w(單位：元)是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？顯然，工資w是一周工作天數(shù)d的函數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系是w=350d. 其中，d的變化范圍是數(shù)集A={1，2，3，4，5，6}，w的變化范圍是數(shù)集B={350，700，1 050，1400，1 750，2 100}.對于數(shù)集A中的任一個工作天數(shù)d，按照對應(yīng)關(guān)系w=350d，在數(shù)集B中都有唯一確定的工資w與它對應(yīng).③ 圖3.1-1是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index，簡稱AQI)變化 圖.如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的值I?你認為這里的Ⅰ是t的函數(shù)嗎？  【思考1】（1）根據(jù)對應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350 km/h之后，運行一小時就前進350 km，這種說法對嗎？（2）①和②中的函數(shù)有相同的對應(yīng)關(guān)系，他們是同一個函數(shù)嗎？（3）你能根據(jù)圖3.1-1，找到中午12時的AQI值嗎？（4）上述3個例子有什么共同特征？【提示】  （1）錯誤；沒有關(guān)注到t的取值范圍。（2）不是；自變量的取值集合不同。（3）中午12時，空氣質(zhì)量指數(shù)為良好，數(shù)值介于50到100之間。（4）上述問題的共同特征有： ① 都包含兩個非空的數(shù)集，用A,B來表示；② 都有一個對應(yīng)關(guān)系；③ 盡管對應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但是集合A中的任意一個數(shù)，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它相對應(yīng)。【設(shè)計意圖】 數(shù)學中的概念通常是用符號來表示的。學生總結(jié)三個實例的共同屬性，能夠認識到函數(shù)的本質(zhì)，這時及時地引進數(shù)學符號，不僅可以引導(dǎo)學生把符號和它所代表的實質(zhì)內(nèi)容聯(lián)系起來，使學生在看到符號時就能夠聯(lián)想起符號所代表的本質(zhì)特征，從而可以提高學生的抽象能力、概括能力。（二）函數(shù)的概念1. 函數(shù)：一般地， 設(shè)是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作。其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。2. 對概念的深度剖析：（1）函數(shù)定義中強調(diào)“三性”:任意性、存在性、唯一性,即對于非空數(shù)集A中的任意一個(任意性)數(shù)x都有(存在性)數(shù)集B唯一(唯一性)的數(shù)y與之對應(yīng). 這“三性”只要有一個不滿足,便不能構(gòu)成函數(shù).（2）值域是集合的子集。（3）函數(shù)的三要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域。 【做一做】  下列哪些是的函數(shù)，為什么？；                                                                      （5）某位學生的幾次考試成績情況如下：序號數(shù)123456成績909390缺考9892                【設(shè)計意圖】對函數(shù)概念正例與反例的辨析，通過學生比較、分析、概括，可以使概念的關(guān)鍵屬性變得清晰，使實例成為理解概念的一種思維載體。【探究1】 確定一個函數(shù)需要幾個要素？【提示】  兩個，一個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定，函數(shù)唯一確定。（三）函數(shù)概念的應(yīng)用1.函數(shù)的概念例1  下面對應(yīng)是函數(shù)關(guān)系的是________. (1)y=1(x∈R);(2)y=± (x≥0);(3)y→   ,x≠0,x∈R;(4)路程s與時間t之間的關(guān)系.[解析]   (2)不是函數(shù)關(guān)系.如當x=4時,y=±2,其不滿足函數(shù)的定義,而(1)(3)(4)是函數(shù)關(guān)系.【延伸拓展】  設(shè)M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函數(shù)y=f(x)的定義域為M,值域為N,對于下列四個圖象,不可作為函數(shù)y=f(x)的圖象的是????????????? (　　)【提示】  選C.由函數(shù)定義可知,任意作一條直線x=a,則與函數(shù)的圖象至多有一個交點,結(jié)合選項可知C中圖象不表示y是x的函數(shù).  【類題通法】判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的步驟:(1)判斷A,B是否是非空實數(shù)集.(2)判斷A中任一元素在B中是否有元素與之對應(yīng);(3)判斷A中任一元素在B中是否有唯一確定的元素與之對應(yīng).提醒：1.函數(shù)定義中強調(diào)“三性”:任意性、存在性、唯一性,即對于非空數(shù)集A中的任意一個(任意性)數(shù)x都有(存在性)數(shù)集B唯一(唯一性)的數(shù)y與之對應(yīng).這“三性”只要有一個不滿足,便不能構(gòu)成函數(shù).2.由函數(shù)定義知,任意作一條直線x=a,當與函數(shù)圖象至多有一個交點時,才是函數(shù)的圖像.【鞏固練習1】  下列選項中(橫軸表示x軸,縱軸表示y軸),表示y是x的函數(shù)的是(　　)[解析]   D  y是x的函數(shù),則函數(shù)圖象與垂直于x軸的直線至多有一個交點.若有兩個或兩個以上的交點,則不符合函數(shù)的定義,所對應(yīng)圖象不是函數(shù)圖象．2.求函數(shù)的定義域   【類題通法】1.求函數(shù)的定義域,其實質(zhì)是求使解析式各部分都有意義的未知數(shù)的取值集合.2.函數(shù)的定義域和值域都是集合。常見函數(shù)的定義域：函數(shù)類型整式函數(shù)分式函數(shù)根式函數(shù)0次函數(shù)定義域R分母≠0奇次根式：R偶次根式：被開方數(shù)≥0底數(shù)≠0 【鞏固練習2】求常見函數(shù)的定義域。(1)y=2x+1.                  (2)y=+1.[解析] （1）y=2x+1,是一次函數(shù)，故定義域為R.(2)    因為是偶次根式,所以函數(shù)的定義域為{x|x≥0}.（四）操作演練  素養(yǎng)提升1．（多選題）下列四種說法中，正確的是(　　)A．在函數(shù)值域中的每一個數(shù)，在定義域中都至少有一個數(shù)與之對應(yīng)B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C．定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了D．若函數(shù)的定義域中只含有一個元素，則值域也只含有一個元素2. 函數(shù)f(x)＝的定義域為(　　)A．  B．C．   D．3.設(shè)f：x→x2是集合A到集合B的函數(shù)，若集合B＝{1}，則集合A不可能是(　　)A．{1}  B．{－1}  C．{－1,1}  D．{－1,0}【答案】1.ACD  2.D  3.D 【設(shè)計意圖】通過課堂達標練習，鞏固本節(jié)學習的內(nèi)容。（七）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)：          2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？                                                                                                                                                                                               （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？                                                                                                                                                                                  【設(shè)計意圖】通過課堂小結(jié)，有利于學生對本節(jié)內(nèi)容形成知識網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識體系。 六．布置作業(yè)完成教材：第63頁  練習1,2,3第72頁  習題3.1  第1題                                                                       
  

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3.1 函數(shù)的概念及其表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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