基本不等式的功能在于“和積互化”. 基本不等式的應(yīng)用主要有:證明不等式,求代數(shù)式的最值,輔助解決實(shí)際問(wèn)題,消元,多項(xiàng)式降次,等等. 本節(jié)課學(xué)習(xí)基本不等式在求最值過(guò)程中的應(yīng)用.
用基本不等式求最值
(一) 直接求最值
方法總結(jié): 代數(shù)式局部的和(或積)為定值時(shí),可考慮用基本不等式轉(zhuǎn)化,但要檢查前提條件:一正二定三相等.
(二) 分步求最值
方法總結(jié): 本題代數(shù)式局部為積的形式,用基本不等式可取得消元的效果,再?gòu)恼w結(jié)構(gòu)出發(fā)使用基本不等式,求得最值.
例3. 已知 x>0, y>0 ,x+y+2=xy,則xy的 最小值為 .
(三) 條件最值之和積轉(zhuǎn)化
方法總結(jié): 已知條件同時(shí)含有和與積,而目標(biāo)式只含有積,故先借助于基本不等式將和轉(zhuǎn)化為積,再求最值.
已知 x>0, y>0, 且x2+4y2+5xy=1,則 x+2y 的最小值為 .
(四) 條件最值之代入消元
(五) 條件最值之逆向代換
方法總結(jié): 在求含兩個(gè)變量代數(shù)式的最值時(shí),代入消元是可考慮的一個(gè)方向;如果條件是代數(shù)式等于常數(shù)的結(jié)構(gòu),逆向代換往往是高效的解決途徑.
(四) 配湊條件求最值
(六) 條件最值之結(jié)構(gòu)配湊
方法總結(jié): 用逆向代換時(shí),代數(shù)式結(jié)構(gòu)不完整的,可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐錅? 本題也可以先用代入消元法,再用基本不等式.
(七) 條件最值之等價(jià)變形
方法總結(jié): 條件式應(yīng)該怎樣使用,取決于目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn). 本題目標(biāo)式為積的形式,故先將條件式變形,化歸為“和化積”模型. 但如果問(wèn)題是“求x+2y的最小值”,則條件式無(wú)需變形,只需逆向代換即可.
逆向代換
結(jié)構(gòu)配湊
等價(jià)變形
二、本節(jié)課提升的核心素養(yǎng)
三、本節(jié)課訓(xùn)練的數(shù)學(xué)思想方法
基礎(chǔ)作業(yè): .
能力作業(yè): .

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

2.2 基本不等式

版本: 人教A版 (2019)

年級(jí): 必修 第一冊(cè)

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