《2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)一．教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》的第一節(jié)《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》。以下是本章的課時(shí)安排： 第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)課時(shí)內(nèi)容等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)基本不等式二次函數(shù)與一元二次方程、不等式所在位置教材第37頁(yè)教材第44頁(yè)教材第50頁(yè)  新教材內(nèi)容分析通過(guò)類比初中學(xué)過(guò)的等式和方程，梳理等式的基本性質(zhì)，歸納其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，研究不等式的性質(zhì)，為全章提供理論基礎(chǔ).教材從已經(jīng)得到的重要不等式+出發(fā)，通過(guò)字母代換得到了基本不等式，并進(jìn)行了證明，給出了幾何解釋，利用初中建立模型的思想，把基本不等式看成一種數(shù)學(xué)模型，解決了一些典型的最大最小值問(wèn)題。以求解一元二次不等式為載體，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比從一元一次函數(shù)的觀點(diǎn)，看一元一次方程、不等式，學(xué)習(xí)從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程、不等式、在建立二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的聯(lián)系中，獲得用二次函數(shù)求解一元二次不等式的方法。 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過(guò)觀察實(shí)例，理解不等式的性質(zhì)，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).通過(guò)字母代換獲得基本不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過(guò)基本不等式及其應(yīng)用，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).通過(guò)二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)；在求解一元二次不等式的解集的過(guò)程中，提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).教學(xué)主線比較大小的基本事實(shí)基本不等式的模型二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系 二，學(xué)情分析    本章內(nèi)容屬于高中數(shù)學(xué)課程的預(yù)備知識(shí)部分，將幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)渡，為學(xué)生整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式、知識(shí)技能等方面的準(zhǔn)備。學(xué)生在小學(xué)和初中階段已經(jīng)接觸過(guò)不等式，但上升到理論層次，例如比較大小的理論根據(jù)--作差法，對(duì)不等式性質(zhì)的推導(dǎo)與證明，利用不等式性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的證明等問(wèn)題，還有一定的難度，所以在教學(xué)過(guò)程中，注意引導(dǎo)學(xué)生分析不等式個(gè)性質(zhì)的條件及結(jié)論，做到有理有據(jù)、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、條例清楚，提高邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 三．學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2. 進(jìn)一步掌握作差比較法比較實(shí)數(shù)的大小，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)； 3. 能利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式、求代數(shù)式的取值范圍，強(qiáng)化邏輯推理的核心素養(yǎng)。四．教學(xué)重點(diǎn)重點(diǎn)：掌握不等式性質(zhì)及其應(yīng)用．難點(diǎn)：類比等式的基本性質(zhì)及其蘊(yùn)含的思想方法，研究不等式的基本性質(zhì)；等式與不等式的共性與差異．五．教學(xué)過(guò)程（一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題在日常生活中，購(gòu)買火車票有一項(xiàng)規(guī)定：隨同成人旅行，身高超過(guò)1.2 m(含1.2 m)而不超過(guò)1.5 m的兒童，享受半價(jià)客票、加快票和空調(diào)票(簡(jiǎn)稱兒童票)，超1.5 m時(shí)應(yīng)買全價(jià)票.  每一成人旅客可免費(fèi)攜帶一名身高不足1.2米的兒童，超過(guò)一名時(shí)，超過(guò)的人數(shù)應(yīng)買兒童票.【想一想】 設(shè)兒童的身高為米，如何利用不等式或不等式組來(lái)表示“身高超過(guò)1.2 m(含1.2 m)而不超過(guò)1.5 m”、“身高超1.5 m”和“身高不足1.2米”呢？【提示】  探索交流，解決問(wèn)題    日常生活中的多與少、大與小、長(zhǎng)與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重等問(wèn)題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等。相等用等式表示，不等用不等式表示。【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的相等關(guān)系與不等關(guān)系，并能用數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問(wèn)題的能力。 （二）不等式與不等關(guān)系【探究1】在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠?biāo)志：各個(gè)標(biāo)志有什么作用？    如何用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示其含義？【提示】①是最低限速標(biāo)志，限制車輛行駛速度v不得低于50 km/h，可用v≥50表示；②是限重標(biāo)志，限制車輛裝載總重量G不得超過(guò)10 t，可用G≤10表示；③是限高標(biāo)志，限制車輛裝載高度h不得超過(guò)3.5 m，可用h≤3.5表示；④是限寬標(biāo)志，限制車輛裝載寬度a不得超過(guò)3 m，可用a≤3表示；⑤是限時(shí)標(biāo)志，限制時(shí)間t的范圍是[7.5,10]，可用7.5≤t≤10表示．      不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用文字語(yǔ)言描述，也可用符號(hào)語(yǔ)言描述，常用符號(hào)有“>”“<”“≥”“≤”“≠”．  不等式是表示不等關(guān)系的數(shù)學(xué)式子。  【拓展】描述不等關(guān)系的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換文字語(yǔ)言大于，高于，超過(guò)小于，低于，少于大于等于，至少，不少于，不低于小于等于，至多，不多于，不超過(guò)符號(hào)語(yǔ)言><≥≤ 【探究2】如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客．你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？                                   【提示】如上圖，設(shè)大正方形四個(gè)角上的直角三角形的兩個(gè)直角邊分別為，則大正方形的面積為，四個(gè)矩形的面積和為，顯然，大正方形的面積大于等于四個(gè)矩形的面積和，所以所以a2＋b2≥2ab.例1.　用一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18 m，要求菜園的面積不小于110 m2，靠墻的一邊長(zhǎng)為x m．  試用不等式表示其中的不等關(guān)系．[解析] 　由于矩形菜園靠墻的一邊長(zhǎng)為x m，而墻長(zhǎng)為18 m，所以0<x≤18，這時(shí)菜園的另一條邊長(zhǎng)為＝m.因此菜園面積S＝x·.依題意有S≥110，即x≥110，故該題中的不等關(guān)系可用不等式表示為【類題通法】1．不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中不等關(guān)系的步驟(1)審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量；(2)列不等關(guān)系．列出待求量具備哪些不等關(guān)系(即滿足什么條件)；(3)列不等式(組)．挖掘題意，建立已知量和待求量之間的關(guān)系式，并分析某些變量的約束條件(包含隱含條件)．2．用不等式表示不等關(guān)系的注意點(diǎn)(1)利用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意必須是具有相同性質(zhì)，可以比較大小的兩個(gè)量才可用，沒(méi)有可比性的兩個(gè)量之間不能用不等式來(lái)表示．(2)在用不等式表示實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要注意單位統(tǒng)一． 【鞏固練習(xí)1】 一輛汽車原來(lái)每天行駛x km，如果該汽車每天行駛的路程比原來(lái)多19 km，那么在8天內(nèi)它的行程將超過(guò)2 200 km，用不等式表示為_(kāi)_______． [解析]  因?yàn)樵撈嚸刻煨旭偟穆烦瘫仍瓉?lái)多19 km，所以汽車每天行駛的路程為(x＋19)km，則在8天內(nèi)它的行程為8(x＋19)km，因此，不等關(guān)系“在8天內(nèi)它的行程將超過(guò)2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200來(lái)表示．[答案]   8(x＋19)>2 200 （三）比較大小的基本事實(shí)【探究3】我們知道，實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，且右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大．對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，它們的大小關(guān)系有幾種？怎樣判斷？【提示】對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，它們的大小關(guān)系有3種，如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；如果a－b是零，那么a＝b.   如果a－b是正數(shù)，那么；如果a－b等于0，那么；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么.反過(guò)來(lái)也對(duì)．這個(gè)基本事實(shí)可以表示為：例2.　（2021·陜西咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）（1）已知實(shí)數(shù)比較+與+大?。?/span>(2)已知a>0，試比較a與的大?。?/span>【思維引導(dǎo)】將兩式作差，化簡(jiǎn)，分析差的符號(hào)得到大小關(guān)系。[解析]（１）又，而故即(2)a－＝＝.∵a>0，∴當(dāng)a>1時(shí)，>0，有；當(dāng)a＝1時(shí)，＝0，有；當(dāng)0<a<1時(shí)，<0，有.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【類題通法】比較兩個(gè)代數(shù)式大小的步驟(1)作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對(duì)差進(jìn)行變形；(3)判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)；(4)作出結(jié)論．[提醒]　上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵．其中變形的技巧較多，常見(jiàn)的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　【鞏固練習(xí)2】已知x＜1，試比較x3－1與2x2－2x的大?。?/span>[解析]  (x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1).∵2＋＞0，x－1＜0，∴(x－1)＜0，∴x3－1＜2x2－2x. 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題及練習(xí)，使學(xué)生熟練比較大小的方法及過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。   （四）等式性質(zhì)【探究4】如何求方程5x+4=0的解？解方程的理論依據(jù)是什么？ 【提示】先將等式兩邊同時(shí)減4，得再將等式兩邊同時(shí)除以5，得,所以方程的解是.解方程的理論依據(jù)是等式的性質(zhì)。 等式性質(zhì)性質(zhì)1   如果那么（對(duì)稱性）性質(zhì)2   如果那么（傳遞性）性質(zhì)3   如果那么性質(zhì)4   如果那么性質(zhì)5   如果那么性質(zhì)3,4,5是等式對(duì)四則運(yùn)算的不變性.【做一做】下列運(yùn)用等式的性質(zhì)，變形不正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則[答案]    D （五）不等式性質(zhì)【探究5】 （1）如果甲同學(xué)比乙同學(xué)大，那么乙同學(xué)比甲同學(xué)小，對(duì)嗎？（2）如果甲同學(xué)比乙同學(xué)大，且乙同學(xué)比丙同學(xué)大，那甲同學(xué)比丙同學(xué)大，對(duì)嗎？（3）如果，那么a＋c與b＋c的大小關(guān)系如何？ac與bc呢？（4）不等式還有哪些性質(zhì)？【提示】 (1), (2)對(duì)；（3）如果.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 不等式性質(zhì)性質(zhì)1  如果如果，那么.性質(zhì)2  如果，那么(傳遞性）符號(hào)表示：性質(zhì)3  如果，那么文字表示：不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向.移項(xiàng)法則：性質(zhì)4   如果那么； 如果那么文字表示：不等式的兩邊同乘一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；不等式的兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向.性質(zhì)5  如果，那么注意：同向不等式相加得同向不等式，并無(wú)相減。性質(zhì)6  如果，那么注意：同向不等式相乘得同向不等式，并無(wú)相除。另外“大于0”的條件不能忽略。性質(zhì)7  如果那么.注意：“大于0”的條件不能忽略。重要結(jié)論：如果,那么,如果那么. （六）不等式性質(zhì)的應(yīng)用判斷不等式是否成立例3.    如果a，b，c滿足，且，那么下列不等式中不一定成立的是(　　)[解析]  由于且，因此，b的符號(hào)不確定，則不一定成立的不等式可能與b有關(guān)．不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)C中的b為0時(shí)，不等式不成立．[答案]  C【類題通法】利用不等式判斷正誤的2種方法(1)直接法：對(duì)于說(shuō)法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說(shuō)法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性．【鞏固練習(xí)3】(多選題)若,則下列命題:(1)            .     (2).      (3).      (4)中能成立的是(　　)A.(1)       B.(2)      C.(3)      D.(4)[解析]    因?yàn)閍>0>b,c<d<0,所以ad<0,bc>0,所以ad<bc,所以(1)錯(cuò)誤.因?yàn)閍>0>b>-a,所以a>-b>0,因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0,所以a(-c)>(-b)(-d),所以ac+bd<0,所以,所以(2)正確.因?yàn)閏<d,所以-c>-d,因?yàn)閍>b,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d,所以(3)正確.因?yàn)閍>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-c),所以(4)正確.[答案]   BCD 證明不等式例4.    已知，   求證：.證明：法一：又，∴.，∴上式同乘e得，不等式得證．法二：－＝＝.∵∴∵，∴，∴【類題通法】利用不等式的性質(zhì)證明不等式應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)    利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)    應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．　【鞏固練習(xí)4】  已知，求證：. 證明：∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0， ?＜ ?＞.  3.利用不等式性質(zhì)求取值范圍 例5.已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求2a＋3b與a－b的取值范圍．【思維引導(dǎo)】欲求2a＋3b與a－b的取值范圍，先求 的取值范圍，再利用不等式的性質(zhì)求解。[解析]　∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a－b＜2.故2a＋3b的取值范圍是8<2a＋3b<32，a－b的取值范圍是－7<a－b<2.【類題通法】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)    建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．(2) 同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．[提醒]　求解這種不等式問(wèn)題要特別注意不能簡(jiǎn)單地分別求出單個(gè)變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．【鞏固練習(xí)5】已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范圍．[解析]  設(shè)a＋3b＝λ(a＋b)＋(a－2b)＝(λ＋)a＋(λ－2)b，解得λ＝，＝－.又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，所以－≤a＋3b≤1.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)不等式的判斷、證明，使學(xué)生熟練掌握不等式的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。  （七）操作演練  素養(yǎng)提升1. 完成一項(xiàng)裝修工程,請(qǐng)木工共需付工資每人500元,請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元,現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元,設(shè)木工x人,瓦工y人,則工人滿足的關(guān)系式是(　　)A.5x+4y<200   B.5x+4y≥200C.5x+4y=200   D.5x+4y≤2002．若x∈R，y∈R，則下列關(guān)系正確的是(　　)A．x2＋y2>2xy－1　　　 　B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2<2xy－1   D．x2＋y2≤2xy－13.下列命題中正確的是(　　)A．若a>b，c>d，則ac>bd               B．若ac>bc，則a>bC．若<，則a<b                    D．若a>b，c>d，則a－c>b－d  4.給出下列命題:①若ab>0,a>b,則;②若a>b,c>d,則a-c>b-d;③對(duì)于正數(shù)a,b,m,若a<b,則.其中真命題的序號(hào)是________.  [答案]   1.D   2.A     3.C     4.①③【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。（六）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識(shí)總結(jié)：    2.學(xué)生反思：（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？                                                                                                                                                                                               （2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固不等式的性質(zhì)，辨析不等式成立的條件,樹(shù)立用不等式解決相關(guān)問(wèn)題的意識(shí)。 六．布置作業(yè) 完成教材： 第39頁(yè)  練習(xí)     第1，2，3題 第42頁(yè)  練習(xí)    第2 題 第42頁(yè)   習(xí)題2.1   第2，3，5，6，7，8題  
  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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