《2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》一．教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》的第三節(jié)《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》。以下是本章的課時(shí)安排： 第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)課時(shí)內(nèi)容等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)基本不等式二次函數(shù)與一元二次方程、不等式所在位置教材第37頁(yè)教材第44頁(yè)教材第50頁(yè)  新教材內(nèi)容分析通過類比初中學(xué)過的等式和方程，梳理等式的基本性質(zhì)，歸納其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，研究不等式的性質(zhì)，為全章提供理論基礎(chǔ).教材從已經(jīng)得到的重要不等式+出發(fā)，通過字母代換得到了基本不等式，并進(jìn)行了證明，給出了幾何解釋，利用初中建立模型的思想，把基本不等式看成一種數(shù)學(xué)模型，解決了一些典型的最大最小值問題。以求解一元二次不等式為載體，引導(dǎo)學(xué)生通過類比從一元一次函數(shù)的觀點(diǎn)，看一元一次方程、不等式，學(xué)習(xí)從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程、不等式、在建立二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的聯(lián)系中，獲得用二次函數(shù)求解一元二次不等式的方法。 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過觀察實(shí)例，理解不等式的性質(zhì)，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).通過字母代換獲得基本不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過基本不等式及其應(yīng)用，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).通過二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)；在求解一元二次不等式的解集的過程中，提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).教學(xué)主線比較大小的基本事實(shí)基本不等式的模型二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系 二，學(xué)情分析     本章內(nèi)容屬于高中數(shù)學(xué)課程的預(yù)備知識(shí)部分，將幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，為學(xué)生整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式、知識(shí)技能等方面的準(zhǔn)備。學(xué)生在小學(xué)和初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式的解法，在知識(shí)上已經(jīng)具備了一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，在能力上初步具備了一定的解決問題的能力，同時(shí)這部分知識(shí)之前學(xué)過的二次函數(shù)也有密切的聯(lián)系，因此學(xué)生對(duì)一元二次不等式的解法有一定的興趣和積極性，但是學(xué)生能力有限，真正掌握還有一定的難度。教學(xué)時(shí)，可以利用具體的一元二次不等式，讓學(xué)生觀察二次函數(shù)的圖象，獲得對(duì)解一元二次不等式方法的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。三．學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。2.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系強(qiáng)化直觀想象的核心素養(yǎng)?！?/span>　四．教學(xué)重點(diǎn) 重點(diǎn)：一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，利用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的實(shí)數(shù)根和不等式的解集;難點(diǎn)：一元二次方程根的情況與二次函數(shù)圖像與x軸位置關(guān)系的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．五．教學(xué)過程 （一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題汽車在行駛的過程中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”，剎車距離是分析事故原因的一個(gè)重要因素.在一個(gè)限速為40 km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行， 突然發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)緊急剎車，但是兩車還是相撞了.現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車的剎車距離略超過12 m，乙車的剎車距離略超過10 m.又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.　【探究1】　判斷甲、乙兩車是否超速，各需用怎樣的不等式？【提示】　對(duì)于甲車，有對(duì)于乙車，有0.05x＋0.005x2>10.  探索交流，解決問題 【思考1】 (1)以上給出的2個(gè)不等式,它們含有幾個(gè)未知數(shù)?未知數(shù)的最高次數(shù)是多少?(2)三個(gè)不等式的表達(dá)形式上有何共同特點(diǎn)?(3)一元二次不等式>0中,a,b,c都不能為零對(duì)嗎?【提示】（1）它們只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)都是2.（2）形如>0(或≤0);其中a,b,c為常數(shù),且a≠0，我們把這樣的不等式叫作一元二次不等式。（3）不對(duì).一元二次不等式中,a≠0,b,c可以為0.【設(shè)計(jì)意圖】通過探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中一元二次不等式特征，并能用數(shù)學(xué)式子表示出來，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題的能力。 （二）一元二次不等式一元二次不等式的定義：          一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.【做一做】下列不等式是否是一元二次不等式？（1）;(2);（3）>0;（4）【提示】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是【設(shè)計(jì)意圖】通過定義辨析，引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握一元二次不等式特征，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng). （三）一元二次不等式的解集【探究2】畫出二次函數(shù)y＝x2－x－6的圖象，你能通過觀察圖象，獲得不等式x2－x－6>0及x2－x－6<0的解集嗎？【提示】二次函數(shù)y＝x2－x－6的圖象如圖，觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時(shí)，y>0，即x2－x－6>0的解集為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸下方，此時(shí)y<0，即x2－x－6<0；所以，不等式x2－x－6<0的解集是.1.二次函數(shù)的零點(diǎn)：一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．注意：(1)二次函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn).2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}?? 注意：(1)對(duì)于一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為正且存在兩個(gè)根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再對(duì)照上述情況求解． 例1.解下列不等式：(1)  －x2＋5x－6>0；(2)  3x2＋5x－2≥0；(3)  x2－4x＋5>0.【思維引導(dǎo)】先求出對(duì)應(yīng)一元二次方程的解，再結(jié)合對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集. [解析]　(1)不等式可化為x2－5x＋6<0.因?yàn)?/span>Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：x1＝2，x2＝3.由二次函數(shù)y＝x2－5x＋6的圖象(如圖①)，得原不等式的解集為{x|2<x<3}．(2)因?yàn)?/span>Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x2＋5x－2＝0的兩實(shí)根為x1＝－2，x2＝.由二次函數(shù)y＝3x2＋5x－2的圖象(圖②)，得原不等式的解集為.(3)    方程x2－4x＋5＝0無實(shí)數(shù)解，函數(shù)y＝x2－4x＋5的圖象是開口向上的拋物線，與x軸無交點(diǎn)(如圖③)．觀察圖象可得，不等式的解集為R.【類題通法】解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對(duì)不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；(2)計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式；(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集.【鞏固練習(xí)1】解下列不等式：(1)－x2＋7x>6；(2)(2－x)(x＋3)<0；(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．[解析] (1) 原不等式可化為x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－7x＋6的圖象知，原不等式的解集為{x|1<x<6}．(2)    原不等式可化為(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0兩根為2和－3.結(jié)合二次函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－3或x>2}．(3)    由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等價(jià)于9x2－12x＋4>0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.結(jié)合二次函數(shù)y＝9x2－12x＋4的圖象知，原不等式的解集為.【設(shè)計(jì)意圖】通過例題及練習(xí)，使學(xué)生熟練一元二次不等式的解法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 （四）三個(gè)二次之間的關(guān)系例2. 已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解析]　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為. 【類題通法】應(yīng)用三個(gè)“二次”之間的關(guān)系解題的思想一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．【鞏固練習(xí)2】已知x2＋px＋q＜0的解集是，解關(guān)于x的不等式qx2＋px＋1＞0.[解析]　由已知得，x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q＝0的根，∴－p＝－＋，q＝－×，∴p＝，q＝－.∵不等式qx2＋px＋1＞0，∴－x2＋x＋1＞0，即x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3，故不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}．【設(shè)計(jì)意圖】通過例題及鞏固練習(xí)，使學(xué)生熟練三個(gè)二次之間的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行逆向應(yīng)用求參數(shù)，提高學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)。 （五)含有參數(shù)的一元二次不等式的解法例5. 解關(guān)于x的不等式，ax2＋(1－a)x－1＞0.[解析]　原不等式化為(x－1)(ax＋1)＞0(1)當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式為x－1＞0，∴x＞1，(2)當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式為(x－1)(x＋)＞0. 兩根為1與－  且1＞－，∴得x＞1或x＜－；(3)當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為(x－1)(x＋)＜0，  兩根為1與－，又∵當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，－＞1， ∴得1＜x＜－.當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式為(x－1)2＜0，解集為?，當(dāng)a＜－1時(shí)，－＜1，∴得－＜x＜1.綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，解集為{x|x＞1，或x＜－}；當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x＞1}；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，解集為{x|1＜x＜－}；當(dāng)a＝－1，解集為?；當(dāng)a＜－1時(shí)，解集為{x|－＜x＜1}．【類題通法】在解關(guān)于含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮：(1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0.(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程是否有根的討論：二根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ＜0)．(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.【鞏固練習(xí)3】解關(guān)于x的不等式：x2－2x＋1－a2≥0.[解析]　原不等式等價(jià)于(x－1－a)(x－1＋a)≥0.①當(dāng)a＞0時(shí)，1＋a＞1－a，所以原不等式的解集為{x|x≥1＋a或x≤1－a}．②當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為全體實(shí)數(shù)R.③當(dāng)a＜0時(shí)，1－a＞1＋a，原不等式的解集為{x|x≥1－a或x≤1＋a}．綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，解集為{x|x≥1＋a或x≤1－a}；當(dāng)a＝0時(shí)，解集為R；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為{x|x≥1－a或x≤1＋a}.【設(shè)計(jì)意圖】通過例題分析，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的一元二次不等式進(jìn)行討論，明確分類的原則，提高學(xué)生解決問題的能力。    （六）不等式恒成立問題例4. 已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（    ）A．     B．    C．或     D．或【思維引導(dǎo)】原不等式對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都成立，即原不等式(關(guān)于x)的解集為R.注意到二次項(xiàng)的系數(shù)為參數(shù)k，故應(yīng)分k＝0與k≠0兩種情況分類討論．[解析]當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)任意恒成立，則，解得；當(dāng)時(shí)，不等式不能對(duì)任意恒成立。綜上，的取值范圍是.[答案]  A【類題通法】不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對(duì)于一元二次不等式，它的解集為R的條件為一元二次不等式，它的解集為R的條件為【鞏固練習(xí)4】已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍．[解析] 若a＝0，則原不等式為－x－1<0，即x>－1，不合題意，故a≠0.令y＝ax2＋(a－1)x＋a－1，∵原不等式對(duì)任意x∈R都成立，∴二次函數(shù)y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的圖象在x軸的下方，∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0，即∴a<－.【設(shè)計(jì)意圖】通過例題學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)恒成立問題的解法，提高學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)。 （七）一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用例5. 一家車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x（單位：輛）與創(chuàng)造的價(jià)值y（單位：元）之間有如下的關(guān)系：.若這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收60000元以上，則在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？[解析] 設(shè)這家工廠在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該利用這條流水線生產(chǎn)x輛摩托車，根據(jù)題意，得 . 移項(xiàng)整理，得對(duì)于方程，=100>0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根=50，=60.畫出二次函數(shù)y=的圖像，結(jié)合圖象得不等式的解集為{x|50<x<60}，從而原不等式的解集為{x|50<x<60}.因?yàn)?/span>x只能取整數(shù)值，所以當(dāng)這條流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在  51~59輛時(shí)，這家工廠能夠獲得60000元以上的收益. 【類題通法】利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟如下：①選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)；②由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；③求解所列出的不等式(組)；④結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．【鞏固練習(xí)5】某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(rùn)＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷售量．(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？  [解析]　(1)由題意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．(2)要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，必須有即解得0<x<，所以投入成本增加的比例x應(yīng)在0<x<的范圍內(nèi)．【設(shè)計(jì)意圖】通過例題探究，引導(dǎo)學(xué)生解決生活中的有關(guān)一元二次不等式的問題，并能用數(shù)學(xué)方法解決，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 （八）操作演練  素養(yǎng)提升1.（多選題）下面所給關(guān)于x的不等式是一元二次不等式的有(　　) A.3x＋4＜0    B.x2＋mx－1＞0    C.ax2＋4x－7＞0    D.x2＜0 2.不等式x＞x2的解集是(　　)A．{x|x＞1}　　　　 B．{x|x＜0}C．{x|0＜x＜1}  D．R3.不等式x2＋6x＋10＜0的解集是(　　)A．?  B．RC．{x|x＞5}  D．{x|x＜2}4.不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，則a－b的值為(　　)A．14  B．－14  C．10  D．－10[答案]   1.BD   2.C     3.A    4.D【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。（九）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識(shí)總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？                                                                                                                                                                                               （2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                 【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固一元二次不等式的解法,樹立用不等式解決相關(guān)問題的意識(shí)。 六．布置作業(yè) 完成教材：第53頁(yè)  練習(xí)     第1，2題 第54頁(yè)  練習(xí)    第1，2 ，3題 第55頁(yè)   習(xí)題2.3   第1，2，3,4，5題                                                                                                                                                  
  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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