為了綠化荒山,某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管,在山坡上建一座揚(yáng)水站,對(duì)坡面綠地進(jìn)行噴灌.先測(cè)得斜坡的坡腳(∠A)為30o,為使出水口的高度為35m,需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管?
已知直角三角形的邊長(zhǎng)求正弦值
已知正弦值求直角三角形的邊長(zhǎng)
從上述情境中,你可以找到一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？能否結(jié)合數(shù)學(xué)圖形把它描述出來(lái)？
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90o,∠A=30o,BC=35m,求AB.
根據(jù)“在直角三角形中,30o角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”.即可得AB=2BC=70(m).也就是說(shuō)，需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管.
如果出水口的高度為50 m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？
歸納：在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30o,那么無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于1 : 2.
Rt△ABC中,如果∠C=90o,∠A= 45o,那么BC:AB是一個(gè)定值嗎？
因?yàn)椤螦=45o,則AC=BC,由勾股定理得:AB2=AC2+BC2=2BC2.
當(dāng)∠A是任意一個(gè)確定的銳角時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢？
任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A′B′C′,使得∠C=∠C′=90o,∠A=∠A′=α,，那么 與 有什么關(guān)系?你能解釋一下嗎?
∵∠C=∠C′=90o,∠A=∠A′=α,∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′. ∴
這就是說(shuō),在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),不管三角形的大小如何,∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90o,我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦(sine),記作sinA即
正弦的幾種表示方法：①sinA；②sinα；③sin30o④sin∠1；⑤sin∠BAC；⑥(sinA)2=sin2A⑦2msinA (注意：順序)
對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值,sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),所以sinA是∠A的函數(shù).注意:(1)sinA是一個(gè)比值 (2)sinA沒(méi)有單位 (3)sinA不是一個(gè)角 (4)sinA不是sin與A的乘積
【例1】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90o,求sinA 和sinB的值.
解：如圖(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得：如圖(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得：
當(dāng)∠A=30o時(shí),sinA=sin30o=____.當(dāng)∠A=45o時(shí),sinA=sin45o=____.當(dāng)∠A=60o時(shí),sinA=sin60o=____.
sinα隨α的增大而增大。
1.用“＞”“＜”“＝”填空：sin15o____sin20o.
1.在平面直角平面坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(3,0)和B(0,-4),則sin∠OAB=____.2.如圖,點(diǎn)D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一條弦,則sin∠OBD=_____.
∴ AB = 3BC =3×3=9.
1.在Rt△ABC中,∠C=90o,sinA= ,BC=6,則AB的長(zhǎng)為( ) A.4 B.6 C.8 D.102.在△ABC中,∠C=90o,如果sinA= ,AB=6,那么BC=___.
3.在△ABC中,∠C=90o,AC=24cm,sinA= ,求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).
所以△ABC的周長(zhǎng)為:AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).
1.如圖,點(diǎn)D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一條弦,則 sin∠OBD=______.
解析：連接CD,可得出∠OBD=∠OCD,根據(jù)點(diǎn)D(0,3),C(4,0),得OD=3,OC=4,由勾股定理得出 CD=5,再在直角三角形中得出利用三角函數(shù)求出sin∠OCD即可．
2.如圖,在△ABC中,AB=BC=5,sinA= ,求△ABC的面積.
解：作BD⊥AC于點(diǎn)D， ∵sinA= ，
又∵△ABC為等腰三角形,BD⊥AC， ∴AC=2AD=6， ∴S△ABC=AC×BD÷2=12.

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

28.1 銳角三角函數(shù)

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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