數(shù)學(xué)17.2 勾股定理的逆定理導(dǎo)學(xué)案

這是一份數(shù)學(xué)17.2 勾股定理的逆定理導(dǎo)學(xué)案，共24頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，要點(diǎn)梳理，典型例題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?17.2 勾股定理的逆定理（知識講解）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．
2. 能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.
3. 能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
特別說明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.
要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形
（1） 首先確定最大邊（如）.
（2） 驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.
特別說明：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.
要點(diǎn)三、互逆命題
如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.
特別說明：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱它為假命題.
要點(diǎn)四、勾股數(shù)
滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：　
① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.
特別說明：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；
（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；
（3） （是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；
【典型例題】
類型一、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形
1．已知a，b，c是△ABC的三邊長，如果，試判斷△ABC的形狀．
【答案】直角三角形，理由見解析
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b、c的值，利用勾股定理的逆定理即可判斷三角形ABC的形狀．
解：△ABC是直角三角形．理由：
∵，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是以a為斜邊的直角三角形；
【點(diǎn)撥】本題考查了配方法的應(yīng)用及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定三個(gè)未知數(shù)的值．
舉一反三：
【變式1】如圖，在△ABC中，，，．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若AD平分∠BAC，求AD的長．

【答案】（1）見解析；（2）．
【分析】（1）只需要利用勾股定理的逆定理驗(yàn)證即可；
（2）過D作于E，由角平分線的性質(zhì)可得，即可利用勾股定理推出，則，設(shè)，則，，在Rt△DEC中，，則，由此求解即可．
（1）證明：∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（2）過D作于E．
∵AD平分∠BAC，，
∴，
在Rt△ABD中，，
同理，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
在Rt△DEC中，，
∴，
解得，
∴．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意判斷出∠B=90°．
【變式2】判斷以線段為邊的△ABC是不是直角三角形，其中，，．
【答案】是，理由見詳解
【分析】由于，因此為最大邊，只需看是否等于即可求解．
解：∵，，，即，
∴，，，
∴，
∴以線段為邊能構(gòu)成以為斜邊的直角三角形．
【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．
類型二、圖形上與已知兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)
2．如圖所示的方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B在小正方形的頂點(diǎn)上.在圖中畫出△ABC(點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上)，使△ABC為直角三角形.

【分析】本題是直角三角形定義的應(yīng)用問題，如果三角形有一個(gè)內(nèi)角是直角，那么這個(gè)三角形就是直角三角形.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形中是直角的內(nèi)角最多只有一個(gè).從圖中可以看出線段AB沒有經(jīng)過任何一個(gè)小正方形的邊，因此從點(diǎn)A、B處構(gòu)造直角比較困難；所以考慮在點(diǎn)C處構(gòu)造直角，通過點(diǎn)A和點(diǎn)B分別作水平和豎直的直線，則直線交點(diǎn)就是點(diǎn)C的位置.
解：過點(diǎn)A作豎直的直線，過點(diǎn)B作水平的直線，交點(diǎn)處就是點(diǎn)C，如圖①；或者過點(diǎn)A作水平的直線，過點(diǎn)B作豎直的直線，交點(diǎn)處就是點(diǎn)C，如圖②.
?
【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的定義、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的關(guān)鍵是掌握直角三角形的定義、勾股定理和勾股定理的逆定理.
舉一反三：
【變式1】已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形狀．
【答案】ABC是等腰直角三角形，見解析
【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式，分別計(jì)算AB、AC、BC的長，再根據(jù)勾股定理逆定理判斷三條邊的關(guān)系即可解題．
解：利用兩點(diǎn)的距離公式，可得
AB= ，
AC= ，
BC= ，
所以AC=BC，AB2=AC2+BC2
所以△ABC是直角三角形，
綜上所述，△ABC是等腰直角三角形．
【點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)間距離公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常見考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【變式2】點(diǎn)在軸上，、，如果是直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】本題考查的是兩點(diǎn)距離與勾股定理，根據(jù)A、B坐標(biāo)構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理與兩點(diǎn)間距離公式，分類討論即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)
解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在軸正半軸，
作軸于，軸于，軸于，如圖所示：

由勾股定理，得，
即，解得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸，作軸于，軸于，如圖所示：

由勾股定理，得，
即，解得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上所述，如果是直角三角形，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是分類討論點(diǎn)P的情況，并靈活運(yùn)用勾股定理和兩點(diǎn)間距離公式
類型三、網(wǎng)絡(luò)中判斷直角三角形
3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣3，2），B（﹣1，0），C（﹣2，﹣1）．
（1）請?jiān)趫D中畫出△ABC，并畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形．
（2）試判定△ABC的形狀，并說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）△ABC是直角三角形．理由見解析
【分析】（1）補(bǔ)充成網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出點(diǎn)A、B、C的位置，再找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′、B′、C′的位置，然后順次連接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判斷出三角形是直角三角形．
解：（1）△ABC以及它關(guān)于y軸對稱的圖形△A′B′C′如圖所示；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理得，AB=，
BC=，
AC=，
∵AB2+BC2=（2）2+（）2=10，
AC2=（）2=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
【點(diǎn)撥】本題考查了利用軸對稱變換作圖，勾股定理和勾股定理逆定理，補(bǔ)充成網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確確定出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．
已知A、B、C都是格點(diǎn)．
（1）小明發(fā)現(xiàn)∠ABC是直角，請補(bǔ)全他的思路；
（2）請用一種不同于小明的方法說明∠ABC是直角．

【分析】(1) 根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
解：（1）10，20，AB2＋BC2＝AC2，勾股定理的逆定理
（2）證明：如圖，在△ABD與△BCE中，
∵∠ADB＝∠BEC＝90°，AD＝BE，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE.
∴∠ABD＝∠BCE .
∵∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠ABD＋∠CBE＝90° .
∴∠ABC ＝90°

【點(diǎn)撥】此題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理解答．
【變式2】如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長都為1．
（1）求四邊形的面積；
（2）求的度數(shù)．

【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用圖形的割補(bǔ)法可得四邊形的面積等于長方形的面積減去四邊形周邊的三角形與長方形的面積，從而可得答案；
（2）連，利用勾股定理分別求解，，，證明是直角三角形，從而可得答案.
解：（1）
（2）連接，

∵，，
∴
∴是直角三角形，∴
【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，利用割補(bǔ)法求網(wǎng)格多邊形的面積，掌握勾股定理與勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.
類型四、利用直角三角形的逆定理求解
4．如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求證：∠ACB＝90°．


【分析】在直角△ACD和直角△BCD中，運(yùn)用勾股定理得到AC2=5、BC2=20，結(jié)合AB2=25，易得AC2+BC2=AB2，則∠ACB=90°．
解：證明：∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵AD=1，BD=4，CD=2，
∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
舉一反三：
【變式1】 如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四邊形ABCD的面積．

【答案】四邊形ABCD的面積為36．
【分析】連接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的長，利用勾股定理求出AC的長，再由AD及CD的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD為直角三角形，根據(jù)四邊形ABCD的面積=直角三角形ABC的面積+直角三角形ACD的面積，即可求出四邊形的面積．
解：連接AC，如圖所示：

∵∠B=90°，
∴△ABC為直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根據(jù)勾股定理得：AC==5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，
則S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB?BC+AC?CD
=×3×4+×12×5
=36．
答：四邊形ABCD的面積為36．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵．
【變式2】如圖，點(diǎn)A是網(wǎng)紅打卡地詩博園，市民可在云龍湖邊的游客觀光車站B或C處乘車前往，且AB＝BC，因市政建設(shè)，點(diǎn)C到點(diǎn)A段現(xiàn)暫時(shí)封閉施工，為方便出行，在湖邊的H處修建了一臨時(shí)車站（點(diǎn)H在線段BC上），由H處亦可直達(dá)A處，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．
（1）判斷△ACH的形狀，并說明理由；
（2）求路線AB的長．

【答案】（1）△ACH是直角三角形，理由見解析；（2）路線AB的長為km．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根據(jù)勾股定理解答即可．
解：（1）△ACH是直角三角形，
理由是：在△ACH中，
∵CH2+AH2=0.62+0.82=1，
AC2=1，
∴CH2+AH2=AC2，
∴△ACH是直角三角形且∠AHC=90°；
（2）設(shè)BC=AB=x km，則BH=BC-CH=（x-0.6）km，
在Rt△ABH中，由已知得AB=x，BH=x-0.6，AH=0.8，
由勾股定理得：AB2=BH2+AH2，
∴x2=（x-0.6）2+0.82，
解這個(gè)方程，得x=，
答：路線AB的長為km．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理．
類型五、勾股定理的逆定理的實(shí)際運(yùn)用
5．今年暑假，河南鄭州遭遇暴雨，山東人民自愿捐助物資救災(zāi)，找了一個(gè)空閑的四邊形空地ABCD用于集中物資，其中AB⊥AC，AB＝8米，CD＝9米，BC＝17米，AD＝12米，求這塊四邊形空地ABCD的面積．

【答案】這塊四邊形空地ABCD的面積為114平方米．
【分析】本題要先把解四邊形的問題轉(zhuǎn)化成解三角形的問題，再用勾股定理解答．
解：在Rt△ABC中，AB＝8米，BC＝17米，
∴AC=15(米)，
∵AD2+CD2=122+92=144+81=225=152=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴S四邊形=S△ABC+S△ADC=AB?AC+AD?DC
=×8×15+×12×9
=114(平方米)．
【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理及其逆定理，解答此題的關(guān)鍵是解四邊形的問題轉(zhuǎn)化成解三角形的問題再解答．
舉一反三：
【變式1】 如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16nmile，“海天”號每小時(shí)航行12nmile．它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile．如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個(gè)方向航行嗎？請寫出航行方向，并說明理由．

【答案】能，“海天”號沿西北方向航行，理由見解析．
【分析】先根據(jù)速度和時(shí)間求出的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理可得，然后根據(jù)角的和差可得，由此即可得出答案．
解：能，“海天”號沿西北方向航行，理由如下：
由題意得：，，，
，
，
是直角三角形，且，
“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，
，
，
“海天”號沿西北方向航行．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．
【變式2】一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠BAC應(yīng)為直角，工人師傅測得∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝4，AB＝12，BC＝13，請你幫他看一下，這個(gè)零件符合要求嗎？為什么．

【答案】這個(gè)零件符合要求，理由見解析
【分析】先根據(jù)勾股定理求AC的長，再利用勾股定理的逆定理，判斷出△ABC的形狀，從而判斷這個(gè)零件是否符合要求．
解：這個(gè)零件符合要求，理由如下：
連接AC．

∵∠ADC=90°，AD=3，CD=4，
∴AC==5，
∵AB=12，BC=13，且,
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
故這個(gè)零件符合要求．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是先求出AC的長，結(jié)合BC和AB的長可判斷出△ABC的形狀．
類型六、勾股定理逆定的拓展運(yùn)用
6．在一次“探究性學(xué)習(xí)”中，老師設(shè)計(jì)了如下數(shù)表：

2
3
4
5
6
…






…

4
6
8
10
12
…





…

（1）觀察上表，用含（且為整數(shù)）的代數(shù)式表示，，，則 ， ， ．
（2）在（1）的條件下判斷：以，，為邊的三角形是否為直角三角形？證明你的結(jié)論．
【答案】（1）；； （2）是直角三角形；證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意找到規(guī)律即可寫出；
（2）由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
解：（1）用含（且為整數(shù)）的代數(shù)式表示，，，為a＝，b＝2n，c＝
故答案為：；；
（2）以a，b，c為邊的三角形是直角三角形
證明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1 ．
∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1
b2＝（2n）2＝4n2
c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1．
又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1
∴ a2＋b2＝c2
∴ 以a，b，c為邊的三角形是直角三角形．
【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
舉一反三：
【變式1】[問題背景]三邊的長分別為,求這個(gè)三角形的面積．
小輝同學(xué)在解這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長為)，再在網(wǎng)格中作出格點(diǎn)(即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖1所示，這樣不需要作的高，借用網(wǎng)格就能計(jì)算出的面積為_ ；

[思維拓展]我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法，若三邊的長分別為,請利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長為)畫出相應(yīng)的，并求出它的面積:

[探索創(chuàng)新]若三邊的長分別為(其中且),請利用構(gòu)圖法求出這個(gè)三角形的面積(畫出圖形并計(jì)算面積)．
【答案】（1）5（2）3.5a2（3）4mn．
【分析】（1）依據(jù)圖像的特點(diǎn)用割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）a是直角邊長為a，2a的直角三角形的斜邊；是直角邊長為a，3a的直角三角形的斜邊；是直角邊長為2a，3a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；
（3）是以2m，n為直角邊的直角三角形的斜邊長；是以2m，3n為直角邊的直角三角形的斜邊長；是以4m，2n為直角邊的直角三角形的斜邊長；繼而可作出三角形，然后求得三角形的面積．
解：（1）△ABC的面積＝3×4?×2×2?×1×4?×2×3＝5，
故答案為：5；
（2）如圖：由圖可得，S△ABC＝3a×3a?×a×2a?×2a×3a?×a×3a＝3.5a2；

（3）如圖，AB=，AC=，BC=
∴S△ABC＝4m×3n?×2m×n?×2m×3n?×4m×2n＝4mn．

【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積問題．注意掌握利用勾股定理的知識畫長度為無理數(shù)的線段是解此題的關(guān)鍵．
【變式2】探究題：如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底邊長為8 cm，腰長為5 cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C以0.25 cm/s的速度移動(dòng)，請你探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間時(shí)，點(diǎn)P與頂點(diǎn)A的連線PA與腰垂直．

【答案】當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7 s或25 s時(shí)，點(diǎn)P與頂點(diǎn)A的連線與腰垂直．
【分析】利用勾股定理求出AD的長，再利用勾股定理逆定理即可證明垂直.
解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.

∵AB＝AC，BC＝8 cm，
∴BD＝CD＝BC＝4 cm.
由勾股定理，得AD＝＝3(cm)．
分兩種情況：(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后有PA⊥AC（P在線段BD上）時(shí)，
∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，
∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝2.25 cm，
∴BP＝4－2.25＝1.75，
∴0.25t＝1.75，解得t＝7.
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后有PA⊥AB（P在線段CD上）時(shí)，同理可得PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝6.25，
∴0.25t＝6.25，解得t＝25.
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7 s或25 s時(shí)，點(diǎn)P與頂點(diǎn)A的連線與腰垂直．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理與勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟悉概念是解題關(guān)鍵.