第四講  勾股定理的逆定理課程目標(biāo) 掌握命題、逆命題的概念。 掌握利用勾股定理判斷一個三角形是否為直角三角形的方法。課程重點勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用課程難點勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用教學(xué)方法建議先講后練，讓學(xué)生在自主探索、合作交流中得到提高。一、知識梳理：考點1：互逆命題與互逆定理（1）       互逆命題：一般的如果兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個就叫做它的逆命題。（2）       互逆定理：一般的，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，它也是一個定理，稱為原定理的逆定理，稱這兩個定理為互逆定理。注意：（1）互逆命題是兩個命題形式上的關(guān)系，將一個命題的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到它的逆命題。但是當(dāng)原命題成立時，它的逆命題不一定成立。（2）每一個定理都是一個命題，它有逆命題，當(dāng)且僅當(dāng)這個逆命題經(jīng)過證明是正確的時候，即也是一個定理的時候，才能稱為原定理的逆定理。當(dāng)這個逆命題不成立的時候，原定理沒有逆定理。考點2：勾股定理的逆定理  如果三角形的三邊長度分別是，并且滿足,那么這個三角形是直角三角形。注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三條邊長，且滿足兩條較小的邊的平方和等于最長邊的平方，才可判斷此三角形是直角三角形，最長邊所對的角為直角。（2）在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，注意計算準(zhǔn)確，要寫計算過程。知識點3：勾股數(shù)（1）滿足的三個正整數(shù)就是一組勾股數(shù)（2）對于任意兩個整數(shù)，這三個數(shù)就是一組勾股數(shù)，可見勾股數(shù)有無數(shù)組。（3）常見的勾股數(shù)有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15  二、課堂精講：（一）逆命題例1．寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）同位角相等，兩直線平行。     （2）如果=2，則=4 【隨堂演練一】【A類】1．下列命題的逆命題是真命題的是（  ） A．若，則  B．全等三角形的周長相等   C．若，則    D．有兩邊相等的三角形是等腰三角形 （二）勾股定理逆定理的應(yīng)用例2.判斷由線段組成的三角形是不是直角三角形。（1）   （2）  【隨堂演練二】【A類】1.在下列線段中能組成直角三角形三邊的是（      ）A.7,10,13       B.     C.     D. 2.判斷：三邊長分別為的三角形是否是直角三角形。  3.已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+50 =6a+8b+10c，試判斷△ABC的形狀．  4.在正方形ABCD中，F(xiàn)是DC邊中點，E是BC上的一點，且EC=BC。求證∠EFA=90°。       5.某港口位于東西方向的海岸線上，A、B兩軍艦同時離開港口，各自沿-固定方向航行，A艦每小時航行16海里，B艦每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后，相距30海里，已知A艦沿東北方向航行，問B艦沿哪個方向航行？                （三）勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用例3.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，AB=4，CD=13，CB=12，求四邊形ABCD的面積。          【隨堂演練三】【B類】1.如圖，在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm，試問△ABC是等腰三角形嗎？說明理由。         三．小結(jié)：四、課后鞏固練習(xí)【A類】一、填空：1．在△ABC中，若其三條邊的長度分別為9、12、15，則以兩個這樣的三角形所拼成的圖形的面積是________。2.若一個三角形的三邊之比為5：12：13，且周長為60cm，則它的面積為 _________.3．已知兩條線段的長為3cm和2cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長為______cm時，這三條線段能組成一個直角三角形.4.如圖所示的一塊地，已知AD＝4m，CD＝3m， AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，則這塊地的面積是__________.     二、選擇。（選擇正確的答案的序號填在括號內(nèi)。）1．已知三角形的三邊長之比為1∶1∶，則此三角形一定是（     ）A．銳角三角形　B．鈍角三角形   C．等邊三角形  D．等腰直角三角形2．在Rt△ABC中，若AC＝，BC＝，AB＝4，則下列結(jié)論中正確的是（   ）A．∠C＝90°   B．∠B＝90°   C．△ABC是銳角三角形    D．△ABC是鈍角三角形3．將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形（     ）A．仍是直角三角形   B.不可能是直角三角形    C．是銳角三角形    D．是鈍角三角形4.△ABC的三邊分別為下列各組值，其中不是直角三角形三邊的是（  ）    A．a(chǎn)=41，b=40，c=9     B．a(chǎn)=1.2，b=1.6，c=2   C．a(chǎn)=，b=，c=   D．a(chǎn)=，b=，c=15．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（     ）  A．0     B．1     C．2      D．3    6．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，則BD的長為（  ）A．3   B． C．1    D．4    7.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是（      ）                       三、解答1..已知△ABC的三邊分別為k2－1，2k，k2+1（k＞1），求證：△ABC是直角三角形.    2.如圖，AD=7，AB＝25，BC＝10，DC＝26，DB＝24，求四邊形ABCD的面積.     3.已知：如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，且=AD·BD.求證：△ABC是直角三角形.      4.已知：如圖，直角梯形ABCD，，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四邊形ABCD的面積.      5.如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長        6.如圖在△ABC中，AB=5，AC=13，BC上的中線AD=6，求BC邊的長。         7.如圖，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A B C的距離分別是3、4、5，求∠APB的度數(shù)。     8.如圖所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB邊上一點．（1）求證：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的長．    第四講  勾股定理的逆定理【答案】例1.解：（1）逆命題是：兩直線平行，同位角相等。它是真命題。（2）逆命題是：如果=4，則x=2。它是假命題，x可以取到±2【隨堂演練一】【A類】選C例2.解（1）∵  ∴ ∴是直角三角形。（2）∵  ∴  ∴是直角三角形。【隨堂演練二】【A類】 選C ,所以這個三角形是直角三角形。    由已知得：a=3,b=4,c=5,所以三角形ABC是直角三角形。    連接AE,由    B船沿西北方向航行。例3.答：四邊形ABCD的面積為36.【隨堂演練三】【B類】解：△ABC是等腰三角形，證明如下：∵AD是BC邊上的中線， ∴BD=DC=BC=5cm在△ABD中，AB=13cm，AD=12cm，BD=5cm∴即： ∴△ABD是直角三角形。且∠ADB=90° ∴∠ADC=90°在Rt△ADC中，AD=12cm，DC=5cm ∴∴AC=13=AB  ∴△ABC是等腰三角形  三．小結(jié)：四、課后鞏固練習(xí)一、填空12345412024二、選擇1234567DAACDAC三、解答 提示：，所以三角形ABC是直角三角形。 四邊形ABCD的面積為204. 提示：可證得，所以三角形ABC是直角三角形。 四邊形ABCD的面積為18 EF=13 8.（1）證明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC．∵∠ACE=∠DCE﹣∠DCA，∠BCD=∠ACB﹣∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．（2）解：又∠BAC=45°，∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，即△EAD是直角三角形。∴ 

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17.2 勾股定理的逆定理

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